位于現實邊緣的虛數

介明達

引入“虛構”的數，開啟一個全新的數學世界。

當第一次遇到“虛構”的數時，你可能會自問：“我何時會用上這個？”畢竟，有什么能比虛構的數更不切實際的呢？

事實上，虛數以及它們與實數組成的復數是非常有用的，它們在數論、幾何學、物理學和工程學等方面有著廣泛的應用。它們還是進入不同的數學世界的第一步。現在，讓我們來看看這些“虛構”的數是如何植根于我們所熟悉的數的，同時，也來了解一下它們的不同之處。

虛構出來的數

實數是我們最熟悉的數系（數的集合），它們都可以用十進制數字來表示，比如5、8.2、-13.712、0、10.33333…和π≈3.1415926…。我們可以加減乘除這些實數，在課堂上和日常生活中，我們經常用它們來處理各種問題。但是，實數并不足以解決所有的數學問題。

16世紀時，意大利學者、“解方程大師”吉羅拉莫·卡爾達諾正試圖求解多項式方程。他求解諸如x2-8x+12=0這樣的方程是沒有問題，因為很容易找到兩個數總和為8且乘積為12的數，即2和6。這意味著x2-8x+12可以被分解為（x-2）（x-6），這樣就把這個多項式轉換為兩個因子的乘積，使得解此方程變得容易。

但是，對于諸如x2-3x+10=0這樣的方程來說，這樣做并不容易。找到兩個數總和為3且乘積為10，似乎是一件不可能的事情。如果這兩個數的乘積是正數，那么它們必須具有相同的符號，并且因為它們的和是正數，這意味著它們都必須是正數。但如果兩個正數總和為3，則兩者必須小于3，這意味著它們的乘積將小于3×3=9，不可能會等于10。所以說，這個方程似乎無解。

然而，卡爾達諾發現，如果允許，即-1的平方根的數出現的話，那么就可以求解類似上面的方程。這是一個令人困惑的發現。一個數k的平方根，或者，就是一個乘以它自身后等于k的數。當你對一個實數進行平方時，結果永遠不會是負的。例如，3×3=9，（-1.2）×（-1.2）=1.44和0×0=0。這意味著沒有實數乘以它自己可以等于-1。卡爾達諾使用來求解他的實數方程，但是本身肯定不是實數。

當時的卡爾達諾卻認為，關于這種數的算術是毫無用處的。17世紀，法國數學家笛卡爾將負數的平方根命名為“虛數”，之所以起這個名字，其實是表達對這種數的貶低之意。直到18世紀，因兩大數學家——瑞士數學家歐拉和德國數學家高斯——對虛數的相關研究，虛數才被數學家廣泛接受。

復數的加減乘除

虛數與實數一起組合成了復數。復數通常的形式是a+bi，其中a和b都是實數，而i=，也稱為“虛數單位”。實數a叫做復數的實部，而b叫做復數的虛部。實數可以被認為是虛部為零的復數。

復數還可以看作二維平面上的點。做一個二位坐標軸，可以把x-軸稱為實軸，y-軸稱為虛軸，一個復數的實部用沿著x-軸的位移表示，虛部用沿著y-軸的位移表示。這樣，所有的復數都可以在這個平面上表示出來。這個平面被稱為復平面。

復數起初可能看起來很奇怪，但我們完全可以把虛單位i看作一個代數，把復數的加減乘除看作一元多項式的加減乘除。例如，對復數進行加減，你只需把實部和虛部彼此結合起來即可，這類似于對多項式進行合并同類項;復數的乘法，可以借助適用于分配律來完成的。對于除法，我們完全可以轉換為乘法，只不過乘上去的是除數的倒數。

跟實數一樣，復數的乘法遵循乘法交換律，這意味著當你以任意順序乘以兩個復數時，其結果是相同的。此外，復數的乘法也遵循乘法結合律，這意味著將兩個以上的復數相乘時，你可以自由選擇先乘哪一對。但是正如我們將在后面看到的，對于某些數系來說，乘法的交換律或結合律并不總是適用的。

虛數的引入，開啟了一個全新的數學世界。這是一個奇怪的世界，平方可以是負的，但是它的算術與我們熟悉的實數非常相似。但對實數的擴展，這只是一個開始。

有3個虛單位的四元數

復數可以看作二維平面上的點，那么更高維度上的點對應著什么數呢？19世紀愛爾蘭數學家威廉·哈密頓正嘗試把復數擴展到更高維度，他無法找到三維空間上的例子，但他發現，四維空間上的點可以創造出一種新的數系，叫做四元數

四元數的結構類似于復數，但-1的平方根除了i以外還有兩個，哈密頓稱之為j和k。每個四元數都具有a+bi+cj+dk這種形式，其中a、b、c和d是實數，i2=j2=k2=-1。類似于復平面，建立一個包含四個坐標軸的四維空間，那么其中的每個點都可以對應一個四元數。

就像建立一個游戲，你得首先設定好游戲規則一樣，為了確保四元數能夠進行加減乘除，而不會導致各種矛盾的出現，哈密頓必須設定這3個虛單位之間如何進行乘法。哈密頓一直苦思冥想，直到1843年的某一天，他跟他的妻子在都柏林的皇家運河上散步時，終于找到了解決方案，于是他就把自己的想法刻在了所經過的布魯穆橋上：

i2=j2=k2=i×j×k=-1

盡管哈密頓的石刻早已風化不清了，但自1989年以來，愛爾蘭國家大學每年都會在那里舉辦一起徒步活動，行程由鄧辛克天文臺起始，到皇家運河結束，以紀念哈密頓的這個發現。

哈密頓設定的虛單位之間的關系，允許我們對四元數進行加減乘除，但這個設定反而導致了四元數的乘法不再遵守乘法交換律。也就是說，用不同的順序乘兩個四元數，得到結果可能不再相同。放棄交換律是一個大損失，畢竟交換律是一種很有用的性質。但是放棄這個，我們就能得到一個新的數系，并且我們可以類似對復數那樣進行加減乘除。

和復數一樣，四元數也是非常有用的。它們可以用來描述物體如何在三維空間旋轉，這使得它們在渲染3D視頻，以及定位和校準物體（如宇宙飛船和手機）方面具有不可估量的價值。

有7個虛單位的八元數

根據哈密頓的思路，一位漢密爾頓的同事還提出了八元數，對應于八維空間上的點。它有7個虛單位（e1、e2、e3…e7），。你也可以對八元數進行加減乘除。就像四元數一樣，我們需要一些特殊的規則來決定虛單位之間如何相乘。像四元數一樣，這些規則導致了八元數乘法不遵守交換律。此外，八元數的乘法也不再遵守結合律。也就是說，當3個八元數x、y和z相乘時，（x×y）×z=x×（y×z）不一定成立。

所以現在我們有一個數系，不再遵守交換律和結合律，而-1的平方根總共有7個。那么，這種數系有什么應用呢？一些物理學家認為，在描述強核力、弱核力和電磁力如何作用于夸克、輕子及其相應的反粒子時，八元數可能是一個極為有用的工具。如果這是真的，這將有助于解決粒子物理學中許多難題。

通過添加一個或多個“虛構”的數，我們可以把實數拓展為復數、四元數和八元數。這些數系看似遠離了現實，但是它們能給我們帶來思考數學世界的新的方式，而且，我們總能給它們找到用武之地。