用聯系的觀點看“冪的運算”

◎黃秀旺（特級教師）

數學知識之間是彼此聯系的，如果我們明晰這種聯系，必將使我們的學習更加輕松且更為有效。“冪的運算”與哪些數學知識有必然的聯系呢？我們將從整式運算的角度分析學習“冪的運算”的必然性，再從數的運算的角度分析“式（代數式）”與“數”的一致性。

一、為什么要學冪的運算？

回答“為什么要學冪的運算”，先要回顧整式及其運算。我們已經學習了單項式及其系數、次數，多項式及其項數、次數，整式及整式的加減運算等，而整式的加減運算的實質是合并同類項，并且整式的加減運算中我們運用了加法的交換律和結合律。

類比有理數的運算，你認為接下來我們要研究整式的什么運算？回顧研究有理數運算的過程，我們經歷了有理數的加法、減法，然后是乘法、除法，最后是乘方的學習。因此類似的，在學習了整式的加減運算后，也應當學習整式的乘法、除法，乃至乘方。

整式是單項式與多項式的統稱，我們可以設想整式的乘法包括單項式乘單項式、單項式乘多項式、多項式乘多項式。其中，多項式乘多項式較為復雜，比如（3x+2y）（2x-3y），我們可以把（3x+2y）看成一個字母A，則（3x+2y）（2x-3y）=A·（2x-3y）=A·2x-A·3y=（3x+2y）·2x-（3x+2y）·3y＝3x·2x+2y·2x-3x·3y-2y·3y（還需繼續計算）。這其實就是利用分配律將多項式乘多項式轉化為單項式的乘積之和，再利用乘法交換律、結合律進行單項式乘單項式的運算。所以，上述三種基本類型的乘法，是以單項式乘單項式為基礎的。而單項式的乘積有三種基本類型：同底數冪的乘法am·an，冪的乘方（am）n，積的乘方（ab）n。只要我們知道了它們的運算法則，就可以用乘法的交換律、結合律以及這些法則進行單項式的乘法運算了。

因此，學冪的運算就是為了進一步學習整式的乘法運算。

二、如何理解冪的運算與有理數運算之間的關系？

我們知道有理數的運算涉及的是具體的數，而冪的運算涉及的既可以是具體的數，也可以是字母。當字母取一個確定的數時，其形式就是數的運算，因此，它們在運算的順序上是一致的，舉例如下。

有理數混合運算的運算順序為：先乘方，再乘除，最后加減。如果有括號，先進行括號內的運算。

例 2 計算：（-2x3）2·x3-（3x3）3。

解：（-2x3）2·x3-（3x3）3

=4x6·x3-27x9（先算積的乘方、冪的乘方）

=4x9-27x9（然后做同底數冪的乘法）

=-23x9。（最后做減法）

觀察以上兩例，例1是有理數的混合運算，例2是冪的運算，它們都遵循了基本的運算順序：先算乘方，后乘除，最后加減。也就是說，代數式的運算與數的運算在運算順序以及運算律的應用上是一致的。