用聯(lián)系的觀點(diǎn)看“冪的運(yùn)算”

◎黃秀旺（特級(jí)教師）

數(shù)學(xué)知識(shí)之間是彼此聯(lián)系的，如果我們明晰這種聯(lián)系，必將使我們的學(xué)習(xí)更加輕松且更為有效。“冪的運(yùn)算”與哪些數(shù)學(xué)知識(shí)有必然的聯(lián)系呢？我們將從整式運(yùn)算的角度分析學(xué)習(xí)“冪的運(yùn)算”的必然性，再?gòu)臄?shù)的運(yùn)算的角度分析“式（代數(shù)式）”與“數(shù)”的一致性。

一、為什么要學(xué)冪的運(yùn)算？

回答“為什么要學(xué)冪的運(yùn)算”，先要回顧整式及其運(yùn)算。我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了單項(xiàng)式及其系數(shù)、次數(shù)，多項(xiàng)式及其項(xiàng)數(shù)、次數(shù)，整式及整式的加減運(yùn)算等，而整式的加減運(yùn)算的實(shí)質(zhì)是合并同類項(xiàng)，并且整式的加減運(yùn)算中我們運(yùn)用了加法的交換律和結(jié)合律。

類比有理數(shù)的運(yùn)算，你認(rèn)為接下來(lái)我們要研究整式的什么運(yùn)算？回顧研究有理數(shù)運(yùn)算的過(guò)程，我們經(jīng)歷了有理數(shù)的加法、減法，然后是乘法、除法，最后是乘方的學(xué)習(xí)。因此類似的，在學(xué)習(xí)了整式的加減運(yùn)算后，也應(yīng)當(dāng)學(xué)習(xí)整式的乘法、除法，乃至乘方。

整式是單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的統(tǒng)稱，我們可以設(shè)想整式的乘法包括單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式。其中，多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式較為復(fù)雜，比如（3x+2y）（2x-3y），我們可以把（3x+2y）看成一個(gè)字母A，則（3x+2y）（2x-3y）=A·（2x-3y）=A·2x-A·3y=（3x+2y）·2x-（3x+2y）·3y＝3x·2x+2y·2x-3x·3y-2y·3y（還需繼續(xù)計(jì)算）。這其實(shí)就是利用分配律將多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式的乘積之和，再利用乘法交換律、結(jié)合律進(jìn)行單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的運(yùn)算。所以，上述三種基本類型的乘法，是以單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式為基礎(chǔ)的。而單項(xiàng)式的乘積有三種基本類型：同底數(shù)冪的乘法am·an，冪的乘方（am）n，積的乘方（ab）n。只要我們知道了它們的運(yùn)算法則，就可以用乘法的交換律、結(jié)合律以及這些法則進(jìn)行單項(xiàng)式的乘法運(yùn)算了。

因此，學(xué)冪的運(yùn)算就是為了進(jìn)一步學(xué)習(xí)整式的乘法運(yùn)算。

二、如何理解冪的運(yùn)算與有理數(shù)運(yùn)算之間的關(guān)系？

我們知道有理數(shù)的運(yùn)算涉及的是具體的數(shù)，而冪的運(yùn)算涉及的既可以是具體的數(shù)，也可以是字母。當(dāng)字母取一個(gè)確定的數(shù)時(shí)，其形式就是數(shù)的運(yùn)算，因此，它們?cè)谶\(yùn)算的順序上是一致的，舉例如下。

有理數(shù)混合運(yùn)算的運(yùn)算順序?yàn)椋合瘸朔剑俪顺詈蠹訙p。如果有括號(hào)，先進(jìn)行括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算。

例 2 計(jì)算：（-2x3）2·x3-（3x3）3。

解：（-2x3）2·x3-（3x3）3

=4x6·x3-27x9（先算積的乘方、冪的乘方）

=4x9-27x9（然后做同底數(shù)冪的乘法）

=-23x9。（最后做減法）

觀察以上兩例，例1是有理數(shù)的混合運(yùn)算，例2是冪的運(yùn)算，它們都遵循了基本的運(yùn)算順序：先算乘方，后乘除，最后加減。也就是說(shuō)，代數(shù)式的運(yùn)算與數(shù)的運(yùn)算在運(yùn)算順序以及運(yùn)算律的應(yīng)用上是一致的。