基于分數階傅里葉變換的非同步水下測距影響因素研究

曹清剛，石米娜

(1. 大連測控技術研究所，遼寧 大連 116000；2. 大連海洋大學，遼寧 大連 116023)

0 引 言

水聲測距是水下測量中的一個必要組成部分。測距精度對測量結果有重要影響。現有設備多采用時間同步觸發方式，檢測時間差計算距離。在無時間同步前提下不能很精確的測量發射聲源距離。本文采用線性調頻信號通過分數階傅里葉變換（FrFt）[1–3]處理信號，利用可獲取的輔助信息實現測距，并進一步研究了使用此種方法測距時的主要影響因素。

1 分數階傅里葉變換理論

時間x（t）的分數階傅里葉變換和逆變換定義為[1]：

式中：p為FrFt的階數，可為任意實數；Fp為FrFt的算子符號；為變換核，其表達式如下：

F為調頻寬度，T為信號脈寬。

此時“最佳”FrFt階數p0為

FrFt可以認為是一種廣義的傅里葉變換。傅里葉變換是線性變換，是FrFt的一個特例。即若將FrFt的變換算子逆時針旋轉時間軸到u軸的任意角度時就是傅里葉變換。當處理的信號為LFM信號時，其原理如圖1所示。

圖 1 FrFt變換原理示意圖Fig. 1 Schematic diagram of the principle of FrFt transformation

2 聲傳播理論模型

在距離為較近時，聲線在水中傳播時彎曲不大，可以認為聲線直線傳播[4]。利用射線聲學理論，建立淺海近程聲傳播模型如圖2所示。

圖 2 海洋近程聲線傳播圖Fig. 2 2 Marine short-range ray travel map

在所獲得信號距離分辨率較高的前提下，試驗中可將海面、海底的反射信號區分開來。若經過海底、海面信號與直達聲信號的聲程差為s，在已知接收水聽器與海面距離z，發射換能器與海面距離h和海深H的前提下，設聲速c已知（一般取c=1 500 m/s）可通過式（5）或式（6）得到發射換能器與接收水聽器的距離x，及未經過反射直接到達聲線的聲程。式（5）是當s為聲線經過海面反射與直達聲的聲程差時，獲得直達聲距離的反演式。式（6）是當s為聲線經過海底反射與直達聲的聲程差時，獲得直達聲距離的反演公式

3 計算機仿真與可行性分析

在式（5）和式（6）的所有變量中，s為通過信號處理后獲得的量，s=c*t；c為聲速，t為最早到達的信號時刻與第2個或第3個到達時刻的時間差。這里使用第2個還是第3個取決于實際情況，即是使用海面反射還是使用海底反射來反演直達聲程。這里采用線性調頻信號（LFM）并使用分數階傅里葉變換來對信號進行處理。

通過FrFt處理可以提高距離分辨率ds=c/B，其中c為聲速，B為LFM信號帶寬；當c=1 500 m/s時，B=20 000 Hz時，LFM信號為20 000～40 000 Hz線性調頻信號，脈寬為0.01 s，則ds=0.075 m。

通過仿真可以得到，使用FrFt可以提高距離分辨率，其距離分辨率與信號帶寬有關如表1所示。

當時間差為0.000 05 s時，距離為0.075 m，當時間差為0.000 5 s時，距離為0.75 m。所以當ds=0.075 m及B=20 000 Hz時，可以分開距離大于0.01 m的反射信號，如圖3~圖6所示。

綜上所述，若需要下一個脈沖不受前一個脈沖的影響，這里應去發射間隔大于0.15 s。

當接收深度為20 m時，直達聲聲程和經海面反射距離差隨水平距離和深度變化見圖7和圖8。經海底、海面反射距離/時間差隨水平距離和深度變化見圖9～圖11。經海面海底反射的時間差隨水平距離和發射深度的變化規律見圖12。

海深變化對反演結果的影響見圖13，海底所使用深度影響到所反演的直達聲程。在其他均為理想值的條件下，當海底不確定度為1 m時，使用公式反演的直達聲程不確定度為3 m。所以若想達到3 m的不確定度，海深的精度不能超過0.5 m。

表 1 FrFt中帶寬與距離分辨率關系表Tab. 1 FrFt bandwidth and range resolution table

圖 3 時間差值為0.000 05 s時的混跌信號Fig. 3 Mixed drop signal with a time difference of 0.000 05 s

圖 4 時間差值為0.000 05 s時分數階傅里葉變換后的信號Fig. 4 The signal after fractional Fourier transform when the time difference is 0.000 05s.

圖 5 時間差值為0.000 5 s時的混跌信號Fig. 5 Mixed drop signal with a time difference of 0.00 05 s

圖 6 時間差值為0.000 5 s時分數階傅里葉變換后的信號Fig. 6 The signal after fractional Fourier transform when the time difference is 0.0005 s

圖 7 直達聲程隨水平距離和發射深度變化規律圖Fig. 7 The change rule of direct distance of sound with horizontal distance and emission depth

圖 8 經海面反射的距離差隨水平距離和發射深度變化規律圖Fig. 8 Variation rule of distance difference with horizontal distance and emission depth reflected by sea surface

圖 9 經海底反射的距離差隨水平距離和發射深度變化規律圖Fig. 9 Variation rule of distance difference with horizontal distance and launching depth reflected by sea bottom

圖 10 經海面反射的時間差隨水平距離和發射深度變化規律圖Fig. 10 The time difference of horizontal reflection and the depth of horizontal transmission

圖 11 經海底反射的時間差隨水平距離和發射深度變化規律圖Fig. 11 The time difference of seafloor reflection with horizontal distance and emission depth

圖 12 經海面海底反射的時間差隨水平距離和發射深度變化規律Fig. 12 The time difference of sea bottom reflection with horizontal distance and emission depth

4 誤差分析驗證與仿真預測

由式（6）可知，式中的H，h，z，s等變量沒有相互依存的關系。其通過海底反射與直達到達間距離差反演的誤差分析考慮各個分量誤差的累加如式（7）～式（21）所示。通過海面反射與直達到達間距離差反演的誤差分析如式（11）、式（12）所示。

圖 13 海深變化對反演結果的影響Fig. 13 Changes of deep impact on the inversion results of the sea

其中：

假設聲速c=1 500 m/s；發射深度：h=1 m ～75 m，dh=0.1 m；接收深度z=20 m，dz=0.1 m；水平距離：mh=1 ～100 m；帶寬：B=5 000 Hz；距離分辨率：ds=c/B=0.3 m；海深H=75 m，dH=0.2 m(或0.5 m)；通過Matlab軟件仿真可以得到當參數不同時的距離反演誤差，如圖14所示。

圖 14 通過海底海面反演誤差隨發射深度和水平距離變化圖Fig. 14 The variation of error with depth of emission and horizontal distance is retrieved from the bottom and sea surface

當使用海面反演時

5 試驗驗證

在2014年12月，在大連錨地做了一次驗證性試驗。試驗設計：一船拋錨，一船隨海流漂泊，漂泊船只每間隔1 min發射間隔為1 s的10個LFM信號。發射信號形式為1.5 ～5 kHz，脈寬30 ms的LFM信號。拋錨船只接收信號。接收深度10 ~12 m，通過反演可以擬合得到接收為10.65 m發射深度25 m，海深H45 m，分別有海底、海面反演海底海面與直達聲聲程差，這里取聲速c=1 500 m/s，如圖15所示，所使用海深如圖16所示。

圖 15 海上實驗實際獲得信號的時域圖和經FrFt變換圖Fig. 15 Real time signal obtained from marine experiment and FrFt transformation map

圖 16 反演時所用海深簡圖（精度0.1 m）Fig. 16 Sea depth map used for inversion (precision 0.1m)

計算公式為：

其中：x為反射與接收間距離，m；c為聲速，m/s；t為時間差，s；z為接收水聽器距離海面深度，m；h為發射換能器距離海面深度，m。

通過圖17和圖18可以得到由于現有數據的距離分辨率較低ds=1/5 000*1 500=0.3 m，距離大于200 m，使得測距精度較低，所以這里的實際數據的處理只是對該方法進行可行性驗證。當獲得更精確的反演條件，增大LFM信號帶寬及距離分辨率提高后，可使得定位精度獲得提高。

6 結 語

使用LFM信號，通過分數階傅里葉變換可有效提高測距精度。在已知海深的前提下可精確測量發射源位置。測量精度與已知海深精度和發射信號頻率帶寬積有關。

圖 17 通過海底發射反演值與真實值對比及誤差Fig. 17 Comparison and error between inversion value and real value of submarine launching

圖 18 通過海面發射反演值與真實值對比及誤差Fig. 18 Comparison and error between the inversion value and the real value of the sea surface launch

1）使用海底反射信號與直達聲信號差值反演直達距離時，受到海深的影響較大，當獲得海深的精度較高時，其定位精度較高。且隨發射深度增加，誤差變大，距離變遠，誤差增大。

2）使用海面反射信號與直達聲信號差值反演直達距離時，隨發射深度減小，誤差變大；距離變遠，誤差增大。由于海面起伏較大，所以其發射距離海面深度變化大，只有當海面較平穩時使用此種定位較好。