空間圓擬合在鋼安全殼閘門套筒安裝測量中的應用

范祖貴

(中機國能電力工程有限公司，上海 200061)

1 概述

核電廠鋼安全殼結構是壓水堆核電廠反應堆的內層屏蔽結構[1]，由中間柱形筒體及上下兩個橢圓形封頭組成，其中包括2 個設備閘門、2 個人員閘門及其它數以百計的貫穿件等(見圖1)。 這些大型閘門套筒、貫穿件等均為圓環柱體結構(與鋼安全殼焊接在一起)，在拼裝階段，與安全殼同步完成[2]。

在安裝測量時，對于直徑較小的部件(如貫穿件)，可先制作圓心靶座，然后直接測定內外側圓心;對于直徑較大的部件，無法直接制作圓心靶座[3]，可采用全站儀在圓環端面上設站，通過測量套筒端面上平分的4 個點來間接獲取圓心位置(其兩兩連線的交點被認定為圓心)。 由于測量及擬合方法的誤差，使得該方法的安裝精度較差。 而通過端面上的測量點，采用最小二乘方法擬合套筒端面圓心的方法，在核電行業中的應用案例極少。

圖1 人員/設備閘門平面布置

關于空間圓擬合的方法很多，如文獻[4]直接把空間圓看成平面圓進行擬合，但這種三維轉二維的擬合方法存在一個明顯缺陷，即無法保證所有的測量點完全在一個平面上，故其擬合精度不高。 文獻[5，6]則是利用坐標投影、坐標轉換等方式，對擬合平面上的測量點進行擬合，然后經過坐標反算，得到空間圓的圓心。 這種方法是目前使用最多也是較為成熟的一種方法，但其擬合過程復雜，實現起來也較為繁瑣。 文獻[7-13]則是分別擬合空間平面和球殼。 球殼的擬合采用球體的標準二次方程形式，用空間平面和球殼相交的方法確定空間圓，其方法大同小異，區別在于約束條件。 這種方法的數學模型更為嚴密，擬合計算過程也相對簡單。

以下采用與文獻[7-13]類似的方法，且以擬合空間平面作為約束條件，最終解算出空間圓的參數以及閘門套筒安裝的其它參數，并判斷其安裝精度是否滿足工程需求。

2 技術方案

鋼安全殼人員/設備閘門現場安裝的設計要求:(1)閘門中心線與水平/垂直方向的夾角誤差不超過0.5°;(2)閘門實際位置(x，y，h)與設計位置(x，y，h)的誤差不超過±25 mm。 為滿足上述要求，可根據空間球體的性質，將套筒端面看成是一個球殼與過球心的空間平面形成的大圓，其球心即為套筒端面的圓心(見圖2)。 擬合出空間平面后，運用中垂面理論和空間向量，推導出誤差函數式(以空間平面為約束條件)，利用最小二乘原理直接解算套筒內外側端面圓心的坐標，同時計算出半徑、平整度及圓度等參數，再通過兩圓心的連線計算其與水平面(即過理論中心線的水平面)和垂直面(即與水平面垂直的豎向平面)的夾角，為現場安裝指導以及安裝后的檢測提供依據。

圖2 空間圓擬合示意

3 數學模型

3.1 數據采集

基于鋼安全殼組裝場地基準網[2]，利用免棱鏡全站儀分別測量布置于閘門套筒端面12 個測量點的三維坐標Pi(xi，yi，hi)，如圖3 所示。

圖3 測量點布置示意

3.2 擬合方法

(1) 空間平面擬合

根據實測的閘門套筒端面點位三維坐標Pi(xi，yi，hi)(i=1，2，3，…，12)，建立端面所在平面的平面方程axI+byi+chi-D=0，由于套筒端面圓平面不經過原點，為方便起見，直接認定D=1，同時將測量點的坐標值Pi(xi，yi，hi)代入，有

根據最小二乘原理VTPV=min，由于12 個測量點均為等精度觀測，權陣取單位權陣，可得到平面方程的最小二乘解，也即是空間平面法向量的方向系數，表示為

(2)空間圓擬合

根據球體的中垂面性質，球心一定在球體上任意兩點連線的中垂面上，而多個中垂面的交點一定是球心[3]。 設空間圓的圓心P0(x0，y0，h0)，測量點Pj、Pk(j和k=1，2，3，…，12，j≠k)，根據空間幾何理論，向量

12 個測量點可以列出66 個中垂面等式，但是只有11 個中垂面等式是相互獨立的，所以取k=i，j=j+1(i=1，2，…，11)。 同時認定第一步空間平面擬合的誤差對空間圓擬合沒有影響，并作為一個約束條件與11 個獨立的中垂面等式聯立，獲得間接平差函數式

式中，

根據最小二乘原理，可得空間圓圓心的最優解為

由于加入了約束條件，權陣的選取應考慮權的差異性。 按照文獻[8]的方法，令每一個中垂面方程的權為1，由于不在一條直線上的3 個點構成一個平面，該平面是由個平面擬合而成的最優平面，故擬合空間平面的權可取

(3) 精度評價

平面擬合的殘差[4]

可理解為平整度，用實測點到擬合平面的距離來表示，計算式為

擬合圓的殘差[4]可理解為圓度，用實測點到圓心距離ri與擬合半徑r 的差值來表示，計算式為

其中ri= (xi- x0)2+ (yi- y0)2+ (hi- h0)2，

當某測量點的殘差大于限差(限差一般可設定為2mΔd或3mΔd)時，則認為該點的觀測值存在粗差。 應剔除粗差后重新解算參數，或重新測量該點的數據，從而獲取最佳的擬合平面與擬合圓。

4 工程實例

以其中一個設備閘門套筒的安裝測量數據為例，其內外側測量點的觀測數據如表1、表2 所示。

4.1 套筒內外側圓心和平整度、圓度

根據表1、表2 的測量數據，利用式(2)、式(5)，可分別計算門套管內外側圓心(P、Q)的坐標和PQ 連線中心點O 的坐標，并計算其與設計坐標的差值(如表3 所示)。

表3 圓心擬合坐標及差值

根據式(6)、式(8)可分別計算各個測量點的平整度和圓度，如表4、表5 所示。

表4 各個測量點的平整度與圓度(內側) mm

表5 各個測量點的平整度與圓度(外側) mm

根據式(7)、式(9)，分別計算內外側測量點的殘差中誤差:md內= 3.8 mm，md外= 3.5 mm;mΔd內= 3.3 mm，mΔd外=3.1 mm。 表4 和表5 中，P12的平整度值最大，為8.2 mm，超過了2 倍殘差中誤差，但未超過3 倍的限差;而其余各測量點的平整度和圓度均未超過2 倍的限差。

4.2 與垂直面和水平面的夾角

理論上，閘門套筒內外側端面圓心應處于同一水平面上，且圓心的連線PQ 應通過鋼制安全殼的中心。 由于結構本身的制造誤差、變形及安裝誤差，連線PQ 與垂直面和水平面存在一定的夾角，該夾角可利用三角函數理論公式直接計算。 本實例中，其水平面之間的夾角為16′22.23″，垂直平面的夾角為5′13.71″。

5 結束語

針對空間圓環柱體結構的安裝與檢測，提出一種新的數據處理方法。 該處理方法思路清晰，計算簡單方便，可進行編程計算，亦可直接采用EXCEL公式進行計算。 配合高精度全站儀免棱鏡測量功能，直接采集閘門套筒上測量點的三維坐標，可實現現場同步安裝與檢測，具有高效、快捷、精度高等特點。 數據采集時，測量點位應均勻分布，以避免病態矩陣的產生。