“以學定教”深化數學核心素養

周連莉

摘? 要：“平行四邊形面積”在圖形面積公式教學中占據著承上啟下的重要地位。轉化方法的習得和轉化思想的滲透是本課教學的重要目標。我們的教材是否遵循學生的認知基礎？我們的教學是否適合學生認知水平？我們在對人教版教材與名師的課堂教學的兩種不同的教學思路進行分析的基礎上，對學生的學前學習情況進行調查與分析，驗證兩種思路各自的合理性，和可以改進的地方。進而，形成自己的平行四邊形面積計算公式的推導思路。

關鍵詞：平行四邊形;面積計算公式;研究調查

數學學習內容對于學生來說應當是現實的、有意義的、富有挑戰性的，為學生選擇的這些內容要有利于學生主動地進行觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流 [1]。關于“平行四邊形面積公式的計算”教學的思考與探索源于拜讀了《小學教學》（數學版）2010年第7-8期特級教師朱國榮的《追尋基于學生的理想課堂——“平行四邊形的面積”教學實踐與研究》。朱老師開門見山，直接出示平行四邊形圖形，讓學生根據自己的測量結果，直接求平行四邊形的面積，當學生出現鄰邊相乘的情況時，逐步驗證，發現錯誤并推導出正確的面積計算公式。但是，當我們看人教版的教材編排，是從數格子的方法，逐步讓學生發現平行四邊形的面積與平行四邊形的底和高的關系。這兩種不同的思路分別基于學生怎樣的學習基礎？這兩種思路哪一種更符合學生的前學習狀態？我們在實際教學中可以怎樣進行借鑒，融合兩者的優點，形成自己的學習教學思路？帶著這些問題，我們進行了以下平行四邊形面積計算公式推導的教學重建。

教育心理學研究發現，不同的教學方式產生的教學效率是不大相同的 [2]。鑒于此，筆者選取了五年級兩個班共79名學生在沒有任何暗示的情況下獨立完成調查。調查的目的是了解學生關于長方形面積公式推導的理解程度，在計算平行四邊形面積時是否受長方形面積公式的干擾？在教學之前學生是否已經會計算平行四邊形面積。

1. 調查內容

出示長方形與平行四邊形圖形，分別要求學生通過獨立測量求面積，并回答相關問題。

2. 調查結果

長方形面積計算正確率100℅。平行四邊形面積計算中有7位學生求了圖形的周長，其余71名學生對三個圖形的計算過程均為鄰邊相乘即：4×2=8（平方厘米），占總人數的89.87℅。在訪問抽取的10名不同層次學生怎樣計算平行四邊形面積時，他們認為“和長方形面積計算一樣，用底×鄰邊”，不同層次的學生對于“為什么平行四邊形面積計算用底×鄰邊”回答大致相同。其中一位中上生表示“長方形也是平行四邊形，長×寬=長方形面積，因此底×鄰邊=平行四邊形面積”;中下生普遍認為“平行四邊形拉動可以變成長方形，所以面積計算方法一樣”。

教學過程的有效性在很大程度上取決于教學視角與學生的“已知”狀態是否匹配。那么引發學生轉化意識的切入點在哪里？轉化后如何探求平行四邊形面積的計算方法？帶著這些困惑，筆者從學生的前學習狀態出發，有機結合上述兩者思路，在課堂教學中進行了嘗試。

一、出示平行四邊形，學生求面積

出示一個平行四邊形圖形（底是6厘米，對應的高是4厘米，鄰邊是5厘米），直接提問：“你能求出這個平行四邊形的面積嗎？”讓學生進行主動學習和思考。學生測量計算過程中，教師巡視，收集學生的不同方法。針對學生出現的6×5=30（平方厘米）和6×4=24（平方厘米）兩種方法進行交流。在交流過程中，總結出兩種計算公式：底×鄰邊、底×高，并讓具有“底×鄰邊”想法的同學說明為什么要這么算，你是怎么想的。學生說到“長方形面積=長×寬”，而平行四邊形容易變形，可以將平行四邊形拉成長方形，所以可以用“底×鄰邊”的方法算面積。（教師在黑板上出示一個平行四邊形拉動后的長方形圖形和一個活動的平行四邊形框架）這樣的認識會得到大多數同學的認可。在交流中形成以下板書：

1. 在獨立探究中生成教學資源

通過辨析，很多學生會發現剛才認為正確的方法其實是錯的，這對學生來說是一個很強的認知沖突。同時，也給學生帶來了機遇和挑戰，產生強烈的探究動機。當學生在初次嘗試出現兩種方法時，沒有因為“結果錯誤”來否定“底×鄰邊”，學生只是明白了“這樣才是正確的”，始終不清楚“那樣為什么就是錯誤的”。筆者以為，發現錯誤比建立正確認識更重要。在學生獨立探索前，教師要鼓勵學生獨立地、不受干擾地按照自己理解去解決新問題，而不是給予太多的鋪墊，學生這種理解或正確或清晰或錯誤，不同學生的不同思維成果的呈現和交流就是課堂最生動的教學資源。

2. 在留白過程中引發后續思考

如果簡單粗暴地封殺鄰邊相乘的方法，學生在全面理解了平行四邊形中鄰邊相乘的原理，從持續發展的角度來講，是不可取也不科學的。不管是正方形、長方形還是平行四邊形面積，都可以通過鄰邊相乘再乘以兩邊夾角的正弦值來求得，只不過長方形、正方形正弦值正好是1。如果我們現在封殺了這條路徑，將來還會有這方面的探究欲望嗎？

二、利用方格圖，觀察變化

只有在“做”數學中，學生才能經歷知識發生的過程，體驗數學思想和方法的形成過程，領悟數學學習的真諦 [3]。針對學生出現的不同意見，教師不做判斷。先讓學生在格子圖中畫出平行四邊形，然后把這個平行四邊形下邊的一條底邊不動，把它推拉成一個長方形并畫出來，讓學生說說是怎么畫的？教師課件出示，引導學生比較拉動前后兩個圖形的面積，初步感知推拉后的長方形面積變大。

1. 在方格圖中構建新知識

在教學中，如果直接出示一個平行四邊形，通過測量推測平行四邊形面積，不僅增大難度而且會耽誤時間。而方格圖能有效地幫助學生，不僅能快速準確地完成操作，而且能清晰地看出所畫平行四邊形的鄰邊和底與長方形長和寬之間的關系。更重要的是能有效利用長方形面積推導時的面積度量意義，使學生明白面積公式推導的真正含義，也為直接借助空間想象轉化推導降低難度。

2. 利用框架演示感受“變”的過程

面對學生拉動后面積“變”和“不變”的爭議，及時讓學生在方格中畫出推動后的平行四邊形和教師演示“長方形框架推拉逐漸變形”的實驗，可以使學生直觀地感受“變”的真實過程，如果一直往下來，這個長方形會越來越“扁”，直到上下兩條邊重合為止，也就變成“零”。這就好像在變魔術，本來在興致盎然地做著實驗，突然“全場寂靜”，為什么會變成“零”了，迫使學生逆向思維，推動著學生換一個思維角度重新看待平行四邊形面積問題，為后面的理性探究活動指明方向。

三、將錯就錯，推導公式

組織學生利用網格（一個方格代表1平方厘米）數平行四邊形的面積，教師提出“不滿一格的怎么數？”學生會想到可以把每一行左右兩邊不夠一格的合到一起數，正好是一格或者平行四邊形右邊那個直角三角形平移到左邊拼成一個新的長方形。學生從割補后的長方形中數或計算出了原來平行四邊形的面積，領悟了平行四邊形的面積計算公式。為了計算的方便可以用底×高代表單位面積的排列數量。

1. 在意義建構過程中產生割補意識

站在學習者的角度，教材中“不滿一格的都按半格計算”的提示是難以接受的。不滿一格都要按半格計算，這樣數出來的面積是不是平行四邊形的面積？其準確性有多高？在割補時教材給了提示，要畫平行四邊形的高，要準備一把剪刀，這都為學生產生割補轉化的意識提供了條件。通過學習材料的暗示，學生借助長方形面積推導中數方格的經歷，很自然地想到平行四邊形面積也用數，但在數的過程中碰到有不滿一格的，就產生了割補的欲望，真正實現意義建構。

2. 在度量意義的反復體驗中獲取面積公式

筆者以為對平行四邊形面積度量意義的體驗不能淺嘗輒止，而應在操作與想象的轉化對照中反復體悟、加深理解，逐漸形成計算公式。教師首先引導學生思考為什么要轉化，而這背后也隱藏著這樣的思維邏輯：轉化為長方形只是因為用以度量的單位面積是個小正方形而已，如果用其他圖形作為度量單位就另當別論了。其次使學生清楚意識到轉化的前提在于面積的大小不能變化，在教學中，讓學生通過擺一擺、說一說、找一找理解底和高代表的意義，將面積度量的形象操作階段逐漸過渡到表象形成階段。

參考文獻：

[1]? 康建華. 我們需要什么樣的小學數學課堂[J]. 上海教育科研，2015（4）：74-76.

[2]? 施俊進. 數學教學從“以教定學”到“以學定教”[J]. 教學與管理，2009（31）：60-62.

[3]? 秦文，李海英. 讓學生真正經歷數學學習的過程——《平行四邊形面積的計算》一課兩上的實踐與分析[J]. 教學與管理，2012（23）：50-52.