基于次級通道在線辨識新算法交叉更新ANC 系統

袁 軍，呂韋喜，劉東旭，張 濤

（重慶郵電大學 光電工程學院，重慶400065）

近年來，由于人均機動車保有量的增加，隨之而來的交通噪聲嚴重影響人們的身體健康。傳統降噪方法采用被動噪聲控制，即利用聲學包裝、安裝消聲器和設計隔聲結構來降低噪聲。這種方法因其在中高頻率范圍內的高衰減噪聲而受到重視，但在較低的頻率范圍內所取得的降噪效果并不明顯且體積大、成本高，應用場合受到限制。而主動噪聲控制對低頻噪聲卻有著很好的降噪效果[1]，因而受到很大的關注。

主動噪聲控制作為噪聲消除中的重要組成部分，在室內噪聲消除中其設計所面臨的主要挑戰與有源噪聲消除ANC（active noise cancellation）系統的收斂速度和降噪性能相關。由于自適應濾波器的權值更新采用最小均方LMS（least mean square）算法，該算法存在的主要問題是當潛在的輸入過程在高度有色化時的慢收斂狀態。由于真實的噪聲環境中噪聲信號的功率譜密度大都不是平坦的，甚至是高度有色化的，故在此采取修改的LMSN（LMS Newton） 算法來更新第3 個濾波器的權值。由于LMS 算法在對ANC 系統的次級通道收斂速度和建模精確度等方面較為不足，故在此采用變步長VSS（variable step size）LMS 算法來更新次級通道的建模濾波器的權值。

1 ANC 的基本原理和結構

1.1 ANC 的基本原理

有源噪聲消除ANC 是根據聲波的疊加原理，通過產生同等振幅并且相位相反的信號，進行消除主通道中噪聲的方法。如圖1 所示，使用濾波X 最小均方FxLMS（filtered X LMS）算法，P（z）是位于參考傳聲器和誤差傳聲器之間的主路徑，S（z）是跟隨有源噪聲消除自適應濾波器W（z）的次級路徑，抗噪信號y′（n）由W（z）的輸出y（n）而產生。y′（n）與主路徑的噪聲d（n）相結合以減少誤差揚聲器周圍的聲壓。

圖1 ANC 系統中FxLMS 算法框圖Fig.1 Block diagram of FxLMS algorithm in ANC system

1.2 LMS 算法收斂分析

傳統的ANC 系統采用LMS 算法更新權系數。LMS 算法是最陡下降算法的隨機實現；簡單地將瞬 時的粗略估計代替代價函數ξ（n）=E［e2（n）］。w（n）由以下方程式更新：

此外

式中：q0，q1，…，qN-1為與λ0，λ1，…，λ（N-1）相對應的R 的特征向量。

其結果表明，對于N 抽頭橫向濾波器，最陡下降算法的暫態行為取決于N 個指數項之和，其中每個指數項由自相關矩陣R 的一個特征值所控制。每個特征值λi在對應的特征向量qi所定義的方向上確定了一個特定的收斂模式。不同的模式在相互獨立地起作用。

離散時間平穩隨機過程的｛x（n）｝的自相關矩陣R 的特征值介于該過程的功率譜密度Φxx（ejw）的最小值與最大值之間，即

為了保證最陡下降法的收斂性步長必須滿足

為此可以看出，當噪聲源產生的噪聲信號功率譜密度不平坦的時候，在保證LMS 穩定性的前提下，必須使得步長μ 的取值很小，在這種情況下LMS 收斂速度會受到很大的影響。

2 次級通道在線建模的方法

2.1 現有結構

2.1.1 Eriksson 所提方法

在文獻[2]中，Eriksson 所提出的次級路徑在線建模系統如圖2 所示。

圖2 Eriksson 提出的次級路徑在線建模系統Fig.2 Eriksson’s secondary path online modeling system

假設，控制濾波器W（z）是一個長度為L 的實權值FIR 濾波器，此時次級路徑的信號y（n）為

其中

式中：w（n）為主控制濾波器的實權值向量；xL為參考信號選取L 個樣本組成的向量；x（n）為通過參考麥克風而得到的參考信號。圖中，v（n）為內部產生的零均值高斯白噪聲，并與參考信號x（n）不相關，在輸入中被注入控制濾波器中的y（n）。殘余噪聲信號e（n）被定義為

其中

式中：d（n）為在誤差麥克風周圍主要的干擾信號；y′（n）為次級消除信號；v′（n）為建模信號；p（n）和s（n）分別為主路徑傳遞函數P（z）和次級路徑傳遞函數S（z）的信道參數。殘余誤差信號e（n）是作為誤差W（z）的誤差信號，作為理想的響應，即g（n）=ds（n）=e（n）。因此W（z）和的誤差信號分別為

控制濾波器的系數由FxLMS 算法來更新，即

其中

式中：μw為控制過程的步長為參考信號x（n）通過建模濾波器卷積而來。顯而易見，控制過程被不需要的干擾項所干擾。

其中

其中

式中：μs為建模濾波器的步長。由建模濾波器估計而來。由式（13）顯示，建模過程的精度被誤差μsv（n）［d（n）-y′（n）］所影響，在最壞的情況下建模的過程會產生發散的情況。

2.1.2 Zhang 所提方法

在文獻[3]，Zhang 所提出的關于有源噪聲消除系統的次級路徑在線建模如圖3 所示。

圖3 Zhang 提出的次級路徑在線建模系統Fig.3 Zhang’s secondary path online modeling system

其中，誤差信號g（n）被用作第3 個自適應濾波器的期望響應。因為H（z）由x（n）和g（n）所驅動，［d（n）-y′（n）］與x（n）相關，所以它的輸出收斂于［d（n）-y′（n）］，輸出信號u（n）=e（n）-H（z），從而為了得到理想的關于建模濾波器的響應，ds（n）=e（n）-u（n）。因此給出LMS 算法中的誤差信號為

故

當H（z）收斂時，

因此，產生了適當的信號并希望提高性能，文獻[8]所展現的交叉更新的有源噪聲消除系統，在已有的方法中表現出了很好的性能。但是，該方法當參考信號的自相關矩陣的特征值極度分散的情況下，整個ANC 系統的收斂速度會受到很大的影響。

2.2 改進的結構

在此對Zhang 的方法所做的修改如圖4 所示。使用VSS LMS[4-5]更新建模濾波器的權值，再用LMSN[6-7]更新第3 個自適應濾波器權值。

圖4 提出次級通道在線建模算法Fig.4 Proposed algorithm for online secondary path modeling

為解決最陡下降法對于輸入信號相關矩陣R=E［x（n）xT（n）］的特征值分散時，最陡下降法會遭遇慢的收斂模式。這意味著如果能以某種方式消除特征值的分散特性，就則可以獲得更好的收斂模式。一個隨機過程x（n）稱為是階數M 的自回歸AR（AutoRegressive）的差分方程來產生。

式中hi為AR 系數。而v（n）是一個零均值的白噪聲過程，稱為x（n）的新息，它們與之前的樣本不相關。

采用一個階數M′≥M 的預測器，可得

和

令

一個自適應橫向濾波器輸入過程的相關矩陣可由一個AR 過程來刻畫，其階數可能比自適應濾波器的階數要小得多。

對于實值輸入的自適應濾波器，LMSN 算法的遞推方程為

其中

式中：w（n）為濾波器的實權值向量；x（n）為濾波輸入向量；為輸入自相關矩陣Rxx的估計；E｛.｝為統計平均； μ 為算法的步長；e（n）為濾波器輸出的測量誤差；d（n）為期望響應；y（n）為濾波器輸出。

理想的LMSN 算法是一個不切實際的版本，首先假設Rxx是已知的，這在實際中是不可能實現的，但這是一個有用的算法，可用于分析LMSN 算法的擬合版本的預期性能。為了解決計算計算復雜度比較高的問題，輸入序列x（n）被建模成M 階的（M 遠小于濾波器長度）自回歸模型，結果表明該算法的計算復雜度與傳統的LMS 算法相當。本文算法繼承了LMS 算法的魯棒性。

為了實現LMS Newton 算法，每次迭代更新都要計算采用傳統的方法效率較低，有必要尋找其他解決方案。對此，提出了一種直接更新向量的方法，即將輸入向量x（n）轉換為其的后向預測誤差，此外x（n）和b（n）的關系為

其中

式中：L 為預測因子系數，由下三角的矩陣構成；ai，j為第i 階第j 個預測值。因此，b（n）中的元素互不相關，這意味著相關矩陣Rbb=E｛b（n）bT（n）｝是主對角矩陣，從而得到Rbb的逆矩陣。此外可以獲得

將式（29）取逆，且分別左乘LT，右乘L

再定義

注意到

和

應用LMSN 算法來更新wE（n），此外由于原來的濾波器的抽頭權向量對應于w0（n） … wN-1（n），wE（n）開頭M 個和最后M 個元素固定為零，通過對這些權系數初始化為零并且分配零步長來完成。此時（其中L 和Rbb具有適當的維數）開頭的M 個和最后的M 個元素的計算無關緊要。自適應濾波器抽頭權向量更新方程式為

其中

式中：w（n）為所定義的濾波器抽頭權向量。Rbb是一個與列向量L1xE（n）相一致的對角矩陣，且Rbb的對角元素是后者向量元素的功率估計。矩陣L1和L2

L1，L2的維數分別為（N+M）×（N+2M）和N×（N+M）。L1的行數僅為N，是因為在此無需要計算的前面M 個和最后M 個元素。

分析式（35）可見，每次ua（n）的更新只需要向量的第1 個元素，然后更新最后結果ua（n）的第1 個元素。2 個向量的其余元素是它們第1 個元素的時間延遲版本。將其整合在一起，圖5 描述了修改版LMSN 算法的完整結構。圖中，包含一個后向預測誤差濾波器的HbM（z），利用一個自適應算法來更新其系數aM，i（n）。由后向預測誤差濾波器的連續輸出樣本，即bM（n+M）乘以其能量估計值的倒數，表示為，給出的更新。

由接下來的濾波器對后續結果進行濾波，給出序列ua（n）（即其元素）的樣本。該濾波器的系數是逆序排列的后向預測誤差濾波器系數的復制。

圖5 修改的LMSN 算法框圖Fig.5 Modified LMSN algorithm block diagram

3 算法仿真與結果分析

3.1 主動噪聲消除算法仿真

所提的ANC 系統在MatLab 2016b 進行仿真。為準確衡量在線辨識的收斂性能辨識的精確性，定義次級通路辨識誤差ΔS/dB 為

為了直觀地衡量系統的降噪性能，定義衡量標準為

R（n）值越大，則系統降噪量越大，反之亦然。

主路徑和次級路徑的試驗數據使用文獻[2]所提供的試驗數據，得到P（z）和S（z）的實權值長度；控制濾波器W（z）和建模濾波器為長度分別為L=32，M=16 的實權值濾波器。

在Zhang 的方法中，第3 個自適應濾波器H（z）選擇長度為16 的FIR 濾波器，Δ=16。在初始化的時候控制濾波器選為一組零向量w（0）。在Zhang 的方法中的第3 個自適應濾波器初始化選一組零向量h（0），LMSN 中重構階數Q=2。

設仿真中初級通路的傳遞函數為

次級通路的傳遞函數設為

3.2 噪聲信號控制算法仿真結果

在仿真過程中，分別針對Eriksson，Zhang 及本文改進算法進行2 種不同狀態下的仿真。

3.2.1 輸入噪聲信號為高度有色化信號的仿真

為驗證算法的性能，參考信號選用將方差為2的、零均值、信噪比為30 dB 的白噪聲，通過色化濾波器H（z）產生。建模濾波器的激勵信號v（n）選用方差為0.05，均值為0 的高斯白噪聲。

Eriksson 算法設置uw=1×10-4，us=3×10-3；Zhang算法設置uw=3.5×10-4，us=4×10-3，uh=1×10-4；本文改進算法設置uw=5×10-4，us，max=1.25×10-2，us，min=4×10-4，uh=2×10-2。

將高斯白噪聲通過自定義的傳遞函數F（z）后，可以使參考信號產生1000 以上的特征值分散度。

產生時域如圖6 所示，功率譜密度如圖7 所示。由圖7 可見，輸入信號的特征值分散度大到10000 的范圍內。

圖6 輸入噪聲的的時域圖Fig.6 Time domain plot of input noise

圖7 輸入噪聲的功率譜密度Fig.7 Power spectral density of input noise

本文改進算法、Eriksson 和Zhang 的算法在降噪性能R（n）上的比較如圖8 所示。由圖可見，通過LMSN算法消除誤差信號，改進算法表現出了更好的降噪效果。次級通道辨識誤差的對比如圖9 所示。由圖可見，本文改進算法的ΔS（n）很快穩定下降至-40 dB，表明該方法可以加快建模濾波器的收斂速度。本文方法建模濾波器的步長us（n）如圖10 所示。

圖8 降噪效果R（n）對比Fig.8 Noise reduction effect R（n） contrast

圖9 次級通道辨識誤差Fig.9 Secondary channel identification error

圖10 本文方法建模濾波器的步長us（n）Fig.10 Step size of the modeling filter us（n）

3.2.2 參考噪聲為室內噪聲信號

為驗證算法的性能，參考噪聲為室內噪聲信號。建模濾波器的激勵信號v（n）選用方差為0.00625，均值為0 的高斯白噪聲。

產生時域如圖11 所示，功率譜密度如圖12 所示，從圖12 可以看出，輸入信號的特征值分散度大到10000 以上的范圍內。

圖11 輸入噪聲的的時域圖Fig.11 Time domain plot of input noise

圖12 輸入噪聲的功率譜密度Fig.12 Power spectral density of input noise

在室內噪聲環境下，本文改進算法、Eriksson 和Zhang 的算法在降噪性能R（n）上的比較如圖13 所示。由圖可見，通過LMSN 算法消除誤差信號，改進算法同樣具有更好的降噪效果。次級通道辨識誤差的對比如圖14 所示。由圖可見，在室內噪聲環境下，ΔS（n）很快穩定下降到-40 dB，這說明改進算法可以加快建模濾波器的收斂速度。本文方法建模濾波器的步長us（n）如圖15 所示。

圖13 降噪效果R（n）對比Fig.13 Noise reduction effect R（n） contrast

圖14 次級通道辨識誤差Fig.14 Secondary channel identification error

圖15 本文方法建模濾波器的步長us（n）Fig.15 Step size of the modeling filter us（n）

4 結語

提出了一種基于次級通道在線辨識新算法交叉更新有源噪聲控制系統，將其應用到室內噪聲消除中，通過分析該算法可以消除主動控制環節和次級通道建模環節的相互影響，提高整個ANC 系統的收斂速度和降噪行性能，并結合單通道前饋有源ANC 系統對其進行了性能仿真。仿真結果表明，與現有方法相比，所提方法對ANC 系統具有更好的降噪性能和對次級通道具有更精確的建模精度以及更快的收斂速率。