基于格心型有限體積法的滑動軸承液膜壓力分析

楊國棟， 曹貽鵬， 明平劍， 張文平

(哈爾濱工程大學(xué) 動力與能源工程學(xué)院，哈爾濱 150001)

滑動軸承由于形式簡單，接觸面積和承載能力大，廣泛應(yīng)用于工業(yè)生產(chǎn)和生活領(lǐng)域中。當(dāng)前，滑動軸承動壓潤滑現(xiàn)象的求解方法主要包括有限差分法[1]、有限元法[2]及CFD軟件仿真[3-4]等。有限差分方法(Finite Differential Method，F(xiàn)DM)是計算機數(shù)值模擬最早采用的方法，發(fā)展也較為成熟，但是FDM對求解域的幾何特征要求較高，其結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格不易處理復(fù)雜的區(qū)域，同時在網(wǎng)格數(shù)較少時，較難滿足積分守恒；有限元法(Finite Element Method， FEM)主要應(yīng)用于結(jié)構(gòu)力學(xué)領(lǐng)域，近些年開始應(yīng)用于流體力學(xué)領(lǐng)域，能夠采用非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格處理幾何特征復(fù)雜的區(qū)域，但是FEM需要求解剛度矩陣，當(dāng)單元數(shù)較多時，會占用較大的計算機內(nèi)存，進(jìn)而使求解速度下降[5]；一些學(xué)者也采用CFD軟件仿真的方法來研究軸承的潤滑性能，通過求解N-S方程來得到軸承的壓力分布，這種方法更為準(zhǔn)確，但是求解較復(fù)雜，而且油膜厚度是微米級，厚度方向的網(wǎng)格劃分較為困難[6]。

李強等[7]基于FVM(Finite Volume Method)研究了考慮氣穴現(xiàn)象的滑動軸承油膜壓力特性，但是其方程推導(dǎo)是基于結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格進(jìn)行的，這種方法本質(zhì)上有限差分法一致，沒有體現(xiàn)出來有限體積法對復(fù)雜網(wǎng)格的適應(yīng)性。

格心型有限體積法(Cell-Centered Finite Volume Method， CCFVM)是基于CFD技術(shù)中的FVM的離散方法建立起來的[8]，所有變量定義在單元中心，要求因變量的積分守恒對任意一組控制體積都得到滿足，進(jìn)而對整個計算區(qū)域也滿足守恒；該方法對復(fù)雜的求解域有很好的適應(yīng)性，當(dāng)網(wǎng)格數(shù)較多時，處理效率也比較高，因此該方法廣泛應(yīng)用于流場數(shù)值計算和力學(xué)相關(guān)領(lǐng)域，而在潤滑領(lǐng)域應(yīng)用較少。

本文基于CCFVM離散雷諾方程，推導(dǎo)適用于求解非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格的方程離散形式，將計算域的網(wǎng)格要求由結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格擴展到非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，可用于復(fù)雜幾何表面之間的潤滑特性研究，并對文獻(xiàn)[9]中的算例進(jìn)行了驗證，在此基礎(chǔ)上，以水潤滑橡膠軸承為例，分析了長徑比、偏心率對其潤滑特性的影響。

1 理論方程

1.1 雷諾方程

雷諾方程是由簡化的納維-斯托克斯方程和連續(xù)方程推導(dǎo)而得的，常用來求解轉(zhuǎn)子機構(gòu)的動靜壓潤滑問題，適用于二維、穩(wěn)態(tài)、不可壓流體動壓潤滑計算的雷諾方程形式為[10]

(1)

式中：x為圓周方向坐標(biāo)；y為軸承寬度方向；h為油膜厚度；η為滑油黏度；U為軸頸轉(zhuǎn)速；P為油膜壓力。

1.2 液膜厚度方程

滑動軸承液膜厚度h的計算公式為

h=c+ecosφ

(2)

(3)

式中：c為軸承間隙；e為軸承偏心距；φ為軸承圓周方向角坐標(biāo)；R為軸承半徑。

2 數(shù)值方法分析

2.1 雷諾方程的矢量表達(dá)形式

雷諾方程式(1)可以用如下形式表示

(4)

對式(4)，在空間上對控制體V進(jìn)行積分，有

(5)

2.2 擴散項的離散[11]

根據(jù)高斯散度定理，將體積分轉(zhuǎn)化為面積分并離散可得

(6)

式中：nf為當(dāng)前單元周圍的單元個數(shù)；Af為面積矢量Af的模。

圖1 CCFVM控制體示意圖Fig.1 Sketch map of the control volume of CCFVM

圖1中：ef為兩個單元中心的距離矢量；d=ef/ef為單位距離矢量；n為單元面的單位外法線矢量。

由于

(7)

將式(7)代入式(6)中可得

(8)

單元面上的變量梯度由當(dāng)前單元中心和相鄰單元中心的變量梯度線性插值得到。

2.3 源項的處理

式(5)中的源項在控制體內(nèi)積分可得

(9)

2.4 雷諾方程的離散形式

由式(8)和式(9)可得式(1)的離散形式為

(10)

2.5 邊界條件

對于徑向滑動軸承，其求解域可展開為矩形，采用雷諾邊界條件

(11)

式中：x′為待定的出口邊界；B為軸承的寬度。

邊界上變量直接賦值為Dirichlet邊界條件，邊界上變量梯度直接賦值稱之為Neumann邊界條件。這兩類邊界條件對式(10)中的貢獻(xiàn)為

式中：nD為位于Dirichlet邊界SD上所有單元面的個數(shù)；nN為位于Neumann邊界SN上所有單元面的個數(shù)； 下標(biāo)Bf表示邊界面。

2.6 收斂條件

CCFVM算法的收斂條件為

(12)

式中：ξ=1×10-6。

3 算例驗證與分析

本文的計算程序是在哈爾濱工程大學(xué)動力裝置工程技術(shù)研究所自主開發(fā)的通用輸運方程求解器GTEA軟件的基礎(chǔ)上開發(fā)的，采用Fortran語言編程，網(wǎng)格在Gambit 2.4.6中進(jìn)行劃分。

3.1 驗證算例

為了驗證CCFVM求解二維穩(wěn)態(tài)潤滑問題的適用性和準(zhǔn)確性，本文將通過Sun等研究中的算例來驗證。

表1 徑向滑動軸承基本參數(shù)

采用非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格劃分求解域，共1 556個節(jié)點，2 946個三角形單元；孫軍采用5 400個節(jié)點，5 236個單元。本算例中偏位角為0°，軸頸傾角分別為0°，0.004°，0.007°，0.01°。

計算完畢后，以Sun等論文中的壓力結(jié)果(圖2～圖5中左側(cè)的圖)為參考，進(jìn)行以下對比：

由圖2～圖5和表2可知，當(dāng)前算法的液膜壓力分布同參考值趨勢一致，最大壓力值基本相當(dāng)，驗證了CCFVM算法在求解雷諾方程及滑動軸承潤滑特性方面的適用性和準(zhǔn)確性。

圖2 傾斜角為0°Fig.2 Slope angle=0°

圖3 傾斜角為0.004°Fig.3 Slope angle=0.004°

圖4 傾斜角為0.007°Fig.4 Slope angle=0.007°

圖5 傾斜角為0.01°Fig.5 Slope angle=0.01°

參數(shù)數(shù)值傾角/(°)00.0040.0070.01參考值/MPa33.0639.663.58415.35當(dāng)前值/MPa33.0139.3763.62412.7偏差/%0.150.580.060.72

3.2 實例計算

以水潤滑橡膠軸承為例，研究不同工況下的軸承潤滑特性。采用CCFVM研究軸承長徑比、偏心率的變化對軸承潤滑特性的影響。

表3 艉軸承的基本參數(shù)

為了研究長徑比的變化對軸承壓力分布的影響，保持軸承寬度不變，長徑比分別為1，2，3，4，計算得到的壓力分布如圖6所示。

由圖6可知，沿軸承圓周方向，液膜壓力先增大后減小；隨著長徑比的增大，高壓區(qū)沿軸承寬度方向逐漸擴張，壓力峰值逐漸下降，說明長徑比增大會降低軸承的峰值壓力，同時提高軸承的承載力。

為了研究偏心率對液膜壓力的影響，保持長徑比為1，其他參數(shù)不變，偏心率分別取0.1,0.2,0.3，0.4,05,0.6,0.7,0.8,0.9，結(jié)果如圖7所示。

由圖7可知，隨著偏心率的增大，液膜壓力峰值逐漸增大，偏心率在0.7～0.9變化時，壓力增大的更為劇烈；在圓周方向，壓力的分布遵循收斂楔的幾何變化，先增大后減小。

圖6 長徑比對液膜壓力分布的影響Fig.6 Effects of aspect ratio on film pressure distribution

圖7 偏心率對液膜壓力的影響Fig.7 Effects of eccentricity ratio on film pressure

4 結(jié) 論

(1) 提出了數(shù)值求解雷諾方程的CCFVM算法，該算法物理意義更明確，由于采用了非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格處理技術(shù)，可以適用結(jié)構(gòu)復(fù)雜的潤滑區(qū)域，同時不會消耗太多存儲空間，相比FDM(結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格)和FEM(消耗較大存儲空間)具有明顯的優(yōu)勢。

(2) 通過與文獻(xiàn)的結(jié)果對比，液膜壓力分布和趨勢基本吻合，最大液膜壓力值接近，驗證了該算法的適用性和正確性較好。

(3) 隨著傾角的增大，壓力峰值逐漸向軸承尾端偏移，同時最大壓力值急劇增大；長徑比越大，液膜高壓區(qū)沿軸承寬度方向擴張的越大，同時壓力峰值會減小；偏心率越大，軸承壓力峰值越大，當(dāng)偏心率大于0.7時，峰值變化更為明顯。