基于組合熵值馬爾科夫模型的住宅用地價格預測研究

馮言志

（浙江省臺州臨海市國土資源局，浙江·臨海 317000）

近年來，隨著經濟不斷發展和城市化進程加快，住宅用地價格也不斷上升[1-3]。住宅用地價格過快增長導致土地投機，其又使住宅用地價格更高增長[4-7]，形成惡性循環，最終引發房地產價格爆漲。由此造成的房地產泡沫和物價上漲，使城市可持續發展潛力受限，也使政府公信力受損。只有房地產價格與當地居民收入相匹配，才可能促進各方面因素和諧發展。因此，有效預測住宅用地價格，給相關部門提供必要的輔助決策，有利于政府把握房地產價格變化趨勢，進而采取必要的宏觀調控手段，促進房地產市場健康有序發展[8-11]。

常用的數理預測方法，主要有線性與非線性回歸法、指數平滑時間序列預測法、Logistic函數擬合法、神經網絡預測法、指數曲線擬合法、灰色系統預測法、馬爾科夫預測法等。在此基礎上，也有學者提出新的預測模型和分析方法。張文宇等提出改進熵值法和馬爾科夫鏈的組合預測[12]，侯月等提出基于馬爾科夫過程修正的預測方法[13]，陳玉金等提出了神經網絡回歸分析組合預測模型[14]，芮海田等提出了基于指數平滑法和馬爾科夫模型的預測方法[15]；崔丹提出了在遺傳算法的基礎上確定組合預測權系數的方法[16]。以上研究大多是根據隨機離散數據的特征和規律，對住宅用地價格的有效預測也有很好的借鑒意義。

本文主要運用灰色殘差預測模型和改進灰色殘差預測模型對住宅用地價格進行初值預測，然后運用熵值法組合預測模型對住宅用地價格預測進行改善，并結合馬爾科夫鏈對組合預測模型的預測值進行修正，建立熵值法馬爾科夫修正的組合預測模型，并運用該組合預測模型對杭州市住宅用地價格進行預測。

1 熵值法組合預測模型

1.1 單一預測模型

1.1.1 灰色GM(1,1)建模過程

影響住宅用地價格波動的因素很多，有政策因素、地租地價因素、供需關系、國民收入增長因素等已知因素，也有各種未知因素，因此住宅用地價格屬于典型的灰色系統。根據住宅用地價格的時間序列特征，建立灰色GM(1,1)模型能獲得較為滿意的預測結果。灰色GM(1,1)建模過程如下[17]：

（1）對原始時間序列數據進行一階累加

（2）建立一階灰色灰分方程

對x1(t)建立白化形式的微分方程，稱為一階灰色灰分方程：

式中：a,u為待識別的參數。

解該微分方程得：

由最小二乘法求解參數a,u為：

式中Y,B為：

模型的解為：

（2）對單項預測模型相對誤差進行歸一化處理：

因此得到原始數據預測模型值為：

（3）后驗殘差檢驗

設殘差序列

原始數列的方差為：

該模型的后驗差值為：C=S2/S2

對于后驗差值C：當C＜0.35，模型預測精度高；當C值介于0.35-0.50時，模型預測精度合格；當C值為0.50-0.65之間，模型預測精度勉強合格；當C＞0.65，模型預測精度不合格。

1.1.2 無偏灰色GM(1,1)模型[18]

可求得無偏參數：

建立無偏數據序列模型：

無偏灰色GM(1,1)模型無需累減還原，提高了模型計算速度。

1.2 熵值法確定組合預測模型

熵是熱力學及化學中的概念，引入到信息論中，以度量系統混亂程度。系統所包含信息量越大，系統混亂程度越低，熵值也就越小。組合預測基本思想是將單項預測模型所得的相對誤差熵值的大小來表示該單項模型的誤差變異程度，即相對誤差熵值越大，說明誤差變異程度越小，其在組合預測模型中的權重越大。將熵值法應用到組合預測模型確定單項預測模型權重，可以體現組合預測的信息最大優化利用思想[12,19-21]。熵值法確定組合預測的權重的主要步驟如下：

（1）計算單項預測模型相對預測誤差：

（3）相對誤差的熵值為：

（4）變異程度系數為：

（5）計算各種預測模型的權重（表示單項預測模型的個數）：

（6）熵值法組合預測模型值為：

其中xit表示各單項預測模型的預測值，i=1,2,…,m。

1.3 熵值法馬爾科夫預測模型

熵值法預測適合預測有一定規律且變化率較少的數據，對于離散隨機、變化率較大的數據，較難到達滿意的結果。馬爾科夫模型適合解決數據隨機波動較大的預測問題，根據現有狀態的數據構建狀態轉移矩陣來推測未來狀態變化的進程。通過將熵值法模型與馬爾科夫鏈模型進行整合，可以有效解決熵值法預測模型的不足，提高預測精

度[22] 。

（1）通過熵值法得到的數據序列，得到相對誤差序列：

（2）劃分預測狀態

將熵值法模型分成m個可能狀態，即Sij表示，其中每一狀態為寬度相等的間隔構成的區間，一般分為3～5類。

（3）建立狀態轉移概率矩陣

Fij為事件從狀態 出發，下一個時刻轉移到 的個數，為原始數據落入狀態Ei的個數，則事件由狀態Fi出發經一步轉移到 的概率為Pij=Fij / Fi，則狀態轉移矩陣P為：

（4）計算經馬爾科夫修正后的預測值

熵值法—馬爾科夫鏈模型的預測值為：

式中取Zi= (hij+lij) /2；ui(t)為灰色殘差序列從上一個狀態轉移到下一個狀態的概率，參數t為轉移時間。

2 模型應用與對比分析

2.1 灰色GM(1,1)模型預估

本文研究數據主要來自浙江省國土資源廳，選取2015年第一季度到2017年第二季度數據杭州市住宅用地10組數據，如表1所示。

表1 杭州市住宅用地地價（元/平方米）Table 1 Land price of residential land in Hangzhou

分別以灰色GM(1,1)預測模型和無偏灰色GM(1,1)預測模型估算出歷史住宅用地地價的預測值序列、殘差序列和相對誤差序列。

取表1中2015年-2016年的數據作為原始數據，2017年第1季度至第2季度數據作為預測數據對照值。由表1可知，杭州市住宅用地地價總體發展趨勢是不斷增長。可以對表1數據進行預處理，即每個數據都減去15000，并分別以灰色GM(1,1)預測模型和無偏灰色GM(1,1)預測模型預測歷年住宅用地地價（為數據精確度，將小數點后保留四位，以下同理）。

（1）利用Matlab軟件編程對模型進行計算，求得：

則GM(1,1)住宅用地地價預測表達式為：

運用所得到的GM(1,1)模型，可將不同時間的地價預測值逐一求出，得到實際觀測值與預測值數據對比，見表2。

由表2可知，實際觀測值與預測值之間的誤差范圍是-195.5～221.6，相對誤差范圍是0%～13.4%。經檢驗，該模型各項指標檢驗為：平均相對誤差可信度后差檢驗S1=737.4013、S2=83.4161、C=S2/S1=0.1131。

建立無偏GM(1,1)預測模型：

表2 灰色GM(1,1)預測模型Table 2 GM(1,1) model

同理，運用所得到的無偏GM(1,1)模型，得到實際觀測值與預測值數據對比，見表3。

表3 無偏灰色 GM(1,1)預測模型Table 3 Unbiased GM(1,1) model

由表3可知，實際觀測值與預測值之間的誤差范圍是-71.4～394.7，相對誤差范圍是0～18.2%。經檢驗，該模型平均相對誤差可信度后差檢驗S1=737.4013S2=148.0428、C=S2/S1=0.2008。

2.2 熵值法組合模型

根據兩種預測方法的單位化相對誤差序列值P1,P2，分別計算兩者預測相對誤差的熵值h1,h2。

可以得到兩種預測方法的重要度分別為：

確定兩種預測方法的權重為：

最后，根據GM(1,1)預測模型和無偏GM(1,1)預測模型權重系數估算出住宅用地組合預測表達式：

運用所得到的組合預測模型，逐一求出不同時間的地價預測值，得到實際觀測值與預測值數據對比，見表4。

由表4可知，組合模型的實際觀測值與預測值之間的誤差范圍是-136.0～223.5，相對誤差范圍是0～15.4%。平均相對誤差可信度

運用上述三種預測方法，預測2017年1-2季度住宅用地地價，見表5。

由表5可知，2017年第1、2季度預測結果與實際值比較，可以發現組合預測結果是對單項預測結果進行了一定修正，預測結果有了改進。

表4 三種預測方法的預測值和相對誤差比較Table 4 Comparison of forecasting values and relative errors of three forecasting methods

表5 三種預測方法預測2017年1-2季度供地價格Table 5 Three forecasting methods for predicting Land supply prices in the first to second quarters of 2017

2.3 馬爾科夫鏈修正

馬爾科夫鏈預測理論建立在事物發展的無后效性及平穩性的基礎上，較好地適用于隨機過程的狀態轉移行為，彌補灰色預測的局限。

表6 2015年-2016年供地價位誤差及其狀態Table 6 Error and status of Land supply Price from 2015-2016

由表6數據構建馬爾科夫鏈第一、二步狀態轉移概率矩陣：

可以得到熵值法組合預測結果的馬爾科夫鏈修正值（表7）。

表7 四種模型預測結果Table 7 Four model predictions

由表7可知，經過馬爾科夫鏈修正后組合預測模型對2017年度第1、2季度住宅用地價格的平均相對誤差為0.095，由于馬爾科夫鏈預測模型適合處理波動性較大的數據，住宅用地價格數據預測要優于單一預測和組合預測，預測數值更加貼近實際住宅用地價格數據，模型的預測精度得到一定提高。由此可采用馬爾科夫鏈修正后組合預測模型進行住宅用地價格預測，獲得更高的預測精度。

最后通過以上四種預測模型，選取2015年至2017年第2季度杭州市住宅用地價格數據作為基礎數據進行價格預測，得到2017年第3、4季度杭州市住宅用地預測地價，見表8。

表8 四種預測方法預測2017年第3、4季度住宅用地地價Table 8 Four forecasting methods for land price of residential land in the third and fourth quarters of 2017

由表8可知，2017第3、4季度杭州市住宅用地價格仍處于不斷上升階段，相比第2季度，第3季度漲幅約600元每平方米，第4季度漲幅約800元每平方米。

3 結論

本文在灰色殘差預測和無偏灰色殘差預測的基礎上提出了一種熵權組合預測方法，與單項預測模型等相比較，精度得到了改進，并利用馬爾科夫鏈預測模型，進一步提高預測的準確性和可信度。

由于住宅用地供地價格是很復雜的經濟問題，受到很多因素影響，特別是國家政策的影響，歷史數據與預測數據也會產生較大的波動。但通過分析該模型預測的近期數據，可以發現數據具有一定的可靠性，比較符合杭州市住宅用地市場發展規律。因此，預測數據可以為相關部門制定有效控制住宅用地價格發展決策提供有關參考，為決策提供輔助依據。