不等式的探討

賈萌琪

摘 要：不等式是數學上的一種幾何不等式，它可以通過變換條件等方式，來實現不等式的成立。而對于不等式的加強可以在立體幾何中通過改變基本條件，來實現不等式的成立，證明中采用了面積法等方法，均值不等式等定理，實現了利用初等數學的證明方法證明定理，簡化了證明。使不等式在三棱錐中適用，實現了在立體空間內的應用，在對不等式的不斷探索中學習到許多前人對這個不等式的加強，并為我對不等式的探索打開了新的世界。

關鍵詞：不等式;面積法;均值不等式;三棱錐

一、不等式的證明

不等式是由數學家于1935年提出的，1937年，Louis Joel Mordell 和D.F. Barrow給出了這個不等式的證明，之后，后人又給出了許多更加簡單的證明方法，而這個不等式是由和Louis JoelMordell這兩位數學家的名字命名的。定理1。在一個三角形ABC的邊上或內部有一點P，使P到三角形三邊的距離為PD、PE、PF。則PA+PB+PC≥2（PD+PE+PF）。Louis Joel Mordell給出的證明方法，用到了相似三角形、基本不等式等數學知識，充分體現了在數學幾何證明中利用定理的方法，此方法不僅提高證明的正確性，而且在很大程度上簡化了數學幾何證明。證：過三角形中的一點P作一條直B'C'，使B'交于直線AC上，C'交于直線AB上，使∠ABC等于∠AB'C'、∠ACB等于∠AC'B'。所以三角形ABC相似于三角形AB'C。所以相似三角形的相似比，且比值大于零。因為在三角形AB'C'中，三角形AB'P與三角形AC'P的面積相加等于三角形AB'C'的面積，所以AB'×PE+AC'×PF≤B'C'×AP（AP≥A到B'C'的距離）。由相似三角形同理可得AB×PE+AC×PF≤BC×AP，整理得AB×PE/BC+AC×PF/BC≤AP。① ;同理證得：AB×PD/AC+BC×PF/AC≤BP，②;AC×PD/AB+BC×PE/AB≤CP。③;將①②③式相加可得：PD（AB/AC+AC/AB）+PE（AB/BC+BC/AB）+PF（AC/BC+BC/AC）≤AP+BP+CP。因為由均值不等式可得 AB/AC+AC/AB≥2，AB/BC+BC/AB≥2，AC/BC+BC/AC≥2，所以 PA+PB+PC≥2（PD+PE+PF）。證明方法的提出，便證明了Erdos-Mordell不等式，此不等式有多種證明方法，后人圍繞著這個不等式進行探索又給出了許多簡單的證明方法，如：利用代數來進行證明，利用外接圓及托勒密定理等。而上述例子中，利用代數證明是使幾何證明轉化為代數證明，簡化了證明，且是證明更易進行;而利用外接圓及托勒密定理，則是使用構造圓來使托勒密定理成立，使用其他定理來證明不等式，更加直觀有效，上述證明方法使我在對不等式的探索中更進一步，也使幾何證明方法更具多樣化。

二、前人對不等式的加強

在上述基本證明的基礎上，將某些條件改變或增減，這個不等式仍舊成立或是不成立，前人經過探索與證明，對這個不等式進行了推廣與加強，并對前人的推廣加以介紹：命題2不等式中若將P到AB、BC、AC三邊的距離，改為P與三個頂點的連線間夾角的角平分線，PA+PB+PC≥2（PG+PH+PI）成立。證：將不等式的基本條件中的這一點P到三條邊到的距離，改為由P出發，P連接三個頂點A 、B、C內形成的三個夾角的角平分線，分別交AB于I、交AC于H、交BC于G，設為圖1。引用任意一個三角形ABC，AD為∠A的角平分線，D在直線BC上，設為圖2。設PA=x、PB=y、PC=z。

由角平分線長公式得，圖2中角平分線AD=[（2AB×AC）/（AB+AC） ]×cos（∠A/2），由以上式子得PG+PH+PI=[2yz/（y+z） ]×cos（∠BPC/2）+[2xz/（x+z）] ×cos（∠APC/2）+2xy /（x+y） ×cos（∠BPA/2）。令ab=x、bc=y、ac=z。由余弦定理得：xcosA+ycosB+zcosC≤xz/2y+yz/2x+xy/2z。由上式可得PG+PH+PI=[2yz/（y+z） ]×cos（∠BPC/2）+[2xz/（x+z）] ×cos（∠APC/2）+2xy /（x+y） ×cos（∠BPA/2）≤[x^2（y+z）]/（x+y）（x+z）+[y^2（z+x）]/（x+y）（y+z）+[z^2（x+y）]/（y+z）（z+x），再由公式得[x^2（y+z）]/（x+y）（x+z）+[y^2（z+x）]/（x+y）（y+z）+[z^2（x+y）]/（y+z）（z+x）={x+y+z-[xy（x-y）^2+yz（y-z）^2+zx（z-x）^2] /（x+y）（y+z）（z+x）}/2得PG+PH+PI=[2yz/（y+z）]×cos（∠BPC/2）+[2xz/（x+z）] ×cos（∠APC/2）+2xy /（x+y） ×cos（∠BPA/2）≤（x+y+z）/2，即 x+y+z≥2（PG+PH+PI），即PA+PB+PC≥2（PG+PH+PI）。所以將點P到三邊的距離改為P與三個頂點的連線間夾角的角平分線，不等式成立。

上述對不等式的加強，改變了使不等式成立的一個基本條件，說明對證明條件適當改變仍可以使不等式成立，且上述的證明過程中使用到了角平分線長公式、余弦定理等定理，也使用到了式子的套用及轉化，方法巧妙，使我在數學幾何證明方法中學習到了更多多樣性的方法，同樣使不等式有了更廣闊的適用范圍，更好地運用到實際問題中。

三、不等式的實際應用

在實際問題中，不等式也有多種多樣的適用性，在以下題目中涉及到了不等式及其證明。命題3 如圖3，設點P為三角形ABC內一點，作三角形ABC的外接圓圓O，且點P為三角形ABC的內心，作AP、BP、CP的延長線，分別交圓O于D、E、F，連接PD、PE、PF。則 PD+PE+PF≥PA+PB+PC.。證：因為點P為三角形ABC的內心，所以由三角形內角的性質可得 PD=DC，所以同理可得 PD=BD，所以若作三角形BPC的外接圓，D為外心，則同理可得 E為三角形APC的外心，F為三角形APB的外心。則分別以D、E、F為圓心，PD、PE、PF為半徑，繞三角形PBC、三角形PCA、三角形APB畫圓，分別設為圓1、圓2、圓3，三個圓交于一點P，線段PC為圓1和圓2的公共弦，線段PA為圓2和圓3的公共弦，線段PB為圓3和圓1的公共弦。所以 DE垂直平分PC，EF垂直平分PA，FD垂直平分PB。在三角形DEF中，由不等式得：PD+PE+PF≥PA+PB+PC。