高中數學延伸拓展教學的多維研究思路

冒文文

【摘 要】基于教材和傳統的教學習慣，拓展教學可以幫助學生積累數學知識，提高數學能力，能夠使學生更有效地理解數學概念、數學規律和解決數理問題背后的更多基本內容。它需要從多個維度進行拓展研究，這是有效延伸拓展的重要方面。

【關鍵詞】延伸拓展；教學思路；研究維度

高中數學教學必須結合教學內容和教學對象的具體情況，讓學生通過拓展延伸對某一數學問題進行更深入細致的研究。因此，要想進一步豐富學生解決數學問題的經驗，只有通過培養學生的數學知識建構和解決問題的能力才能達到這一目的。

一些研究人員指出，所謂的拓展延伸，就是通過學生本身的知識結構和認知水平的問題解決或主題研究方法來擴展原始的學習內容。在此過程中，不但要加深學生對數學知識的理解，更要深化教師對數學教學的理解過程。在實際的高中數學教學中，拓展延伸并沒有真正擺脫傳統的思維模式，尤其是漸進式的思維觀念。也就是說，對拓展延伸材料的進一步研究仍有空間。本文從多個維度對之展開了系統研究。

一、概念構建，立足于內涵外延，實現延伸拓展

數學概念是數學知識建構的基石。數學概念的教學具有理論上的重要性與實踐上的次要性的矛盾。在新的基于知識的練習的想法下，數學概念教學往往成為了一個速成的過程。筆者認為，高中數學教學中的概念教學不僅不能被壓縮，反而要在原有的教學基礎上進行必要的拓展延伸。而其方向不外乎是兩個角度的內涵和外延。

現以“函數的奇偶性”教學為例：奇偶性是學生在義務教育階段學到的一個概念。教師應該注意的第一件事是學生對函數奇偶性這一概念的理解。蘇教版高中數學教科書（必修1）中的對函數奇偶性的定義如下：通常，設函數y=f（x）的定義域為A，如果對于任何的x∈A，都有f（-x）=f（x），則稱y=f（x）是偶函數；如果對于任意的x∈A，都有f（-x）=-f（x），則稱y=f（x）為奇函數。從定義本身可以看出函數奇偶性的內涵，關鍵是如果在某個域內滿足自變量和應變量之間的正負關系，則存在奇偶性。

學生在理解函數奇偶性的概念時會有什么樣的心理過程？這是作者的擔憂。這里的奇偶與有理數中的奇偶是一樣的嗎？有趣的是，將這個問題擺在一些高中數學教師面前時，所獲得的理解是不同的。在本內容引入的時候，教材給出了這樣的描述：在我們的日常生活中，可以觀察到許多對稱現象：美麗的蝴蝶，盛開的花朵……

在給出函數奇偶性的定義之后，教科書強調：根據函數奇偶性的定義，偶函數的圖像關于y軸對稱，而奇函數的圖像關于原點對稱。教師經常忽略這種語境關系，因此無法有效地拓展函數奇偶性的概念。

相反，看到這種對應關系，學生對函數奇偶性等概念的理解既有內涵也有拓展，可以提高學生對這種概念的理解。學生將會意識到，這里的奇偶并非是指能否被2整除，而是與對稱性相關的描述。

二、問題解決，立足于發散思維，實現延伸拓展

在高中數學教學中，解決問題是一項重要任務，在一定程度上與接受高考評價的核心任務有關。要知道，高中數學教學中的問題解決往往是趨同的，也就是說，學生的思維往往是指向最終的唯一答案。從學生數學素養提升的角度來看，基于日常教學中的發散思維，培養學生解決問題的應用能力，才應是高中數學教師的根本任務，而且僅需要教師將傳統的以應試教學為導向的教學理念進行拓展和延伸。

但是，從拓展延伸的角度來看，這個問題實際上是一種不同的思維訓練。它還允許學生更有效地整合現有的數學知識。本問題解決的思路是什么？通過學生的思考，可以根據圓心和半徑之和進行梳理；有沒有其他的解題思路？這是思維發散的基本提問方式；兩個圓的方程可以轉換成方程組嗎？如果求解，其得到的解又有什么數學意義？如果超越這個話題，還可以向學生提問：如果將兩個圓的方程相減，你會得到什么（這是高中生可以解決的問題，但這不是教科書中的問題；至于通過添加兩個圓獲得的圓系方程，感興趣的同學不妨研究一番）？獲得的直線方程與兩個圓之間的關系又是什么？

這種延伸拓展可以將學生的視線擴展到原始問題之外，并且使學生能夠識別最簡單的數學問題。當然，有價值的延伸并不一定需要延伸，你可以用更理性的態度面對它，并逐漸將問題分解為相對簡單的問題，讓心態更加平靜。

三、學會反思，立足于思維規律，實現延伸拓展

學生的反思能力是高中數學學習能力的一個重要方面。最初，它是學習過程的延伸。相對數學知識的構建而言，研究后的反思也是當前高中數學教學中相對薄弱的環節。只有在習題教學有效延伸的過程中再加以拓展，那學生的數學學習品質才有可能得到真正的提升。在實踐中，作者試圖在學生學習后引導反思，從環節分類的角度出發，也從數學概念建構的維度、數學規律的內化、數學問題的解決等方面進行反思。從現實角度來看，指導學生在解決問題的過程中反思學習是一個重要的選擇。

例如：在函數概念和基本初等函數中學到的分段函數，教科書中給出的數學問題源于現實生活中的出租車費用標準問題：某市出租汽車收費標準如下：3公里（包括3公里）路程，按起步價7元，超過3公里以外的路程，收費為2.4元/公里。試寫出收費額關于路程的函數解析式。這一問題的解決有兩個過程：第一個是將生活事實抽象為數學表達式；第二個是分段函數的結果。有學生在解題過程中會寫出“y=7，（03）”之后，有些學生認為兩者之間沒有本質區別。因此，從教師的角度而言，教師必須引導學生理解數學內容和數學形式之間的關系。只有認識到這一點，基于分段函數的延伸拓展教學，才有了純粹的數學意義。

這種延伸概念教學最大價值在于可以使學生完全理解數學概念，即不僅知道了函數的奇偶性是什么，還知道了為什么會用這樣的詞來描述這個特征。這正是數學概念中最重要的部分。正如有學生所說的那樣：當函數圖像在某個域中僅呈現一種形式的變化時，它確實是單調的。應該指出的是，在數學規律的研究中也存在必要的延伸拓展。考慮到其與概念建構的原理類似，這里不多贅述。

基于對教材和傳統教學的拓展延伸反思，有利于學生更有效地理解數學概念、數學規律和解決數理問題背后的更多基本內容，這是有效延伸拓展的重要方面。因此，對拓展延伸后的反思，特別是從某一知識點的延伸到數學的本質，應該成為高中數學教師的教學意識。

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