基于粒子群優化的DGM(1,1)模型在基坑變形安全預測中的研究*

陳家騏，華建兵，段園煜，司大雄，丁 蕾，丁碧瑩

(合肥學院 建筑工程系，安徽 合肥 230601)

0 引言

基坑變形預測是工程監測中非常重要的內容之一。變形預測可以讓施工人員根據現有監測數據，預測到未來可能發生的問題，及時制定措施保證工程安全進行。因此，進行基坑變形預測尤為重要。比較常見的預測方法如遺傳算法、BP神經網絡和支持向量機等[1-6]，但所需樣本較多，而離散灰色預測模型DGM(1,1)具有所需樣本總量少、模型簡單易于計算等特征，已經被廣泛用于基坑變形預測中。實際工程應用中，由于模型本身一些缺陷，如背景值和初始值確定方法等，經常會出現預測精度不足的情況。許多研究人員從構造模型本身參數出發，利用粒子群算法對模型進行優化[7-8]。然而，將原始數據利用變權緩沖算子結合粒子群算法進行降噪處理的優化方法卻少有研究。除此之外，許多利用粒子群算法優化灰色模型的研究中，只用平均相對誤差和均方差等單一函數作為適應度函數對模型參數進行優化[9-10]，不同目標適應度函數對模型參數優化影響的研究也比較少見。

對此，本文提出1種基于粒子群算法優化的變權離散灰色預測模型，稱為PSO-VWDGM(1,1)模型。利用變權緩沖算子和粒子群算法對原始序列進行降噪處理，提高原始序列的光滑度，從而提高預測精度。利用相對誤差檢驗、后驗差比檢驗、灰色絕對關聯度檢驗3種精度檢驗方法作為粒子群算法目標適應度函數建立模型，研究不同目標適應度函數對模型參數優化的影響。研究成果在基坑變形安全評估、預警方面具有應用價值。

1 灰色預測模型

1.1 離散灰色預測模型

定義1[11]：設序列X(0)={x(0)(1),x(0)(2)，…,x(0)(n)},其中x(0)(k)≥0,k=1,2,…,n，則稱X(1)={x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n)}為序列X(0)的一次累加生成序列，其中：

(1)

定義2[12]：設序列X(0),X(1)如定義1所述，則稱：

x(1)(k+1)=β1x(1)(k)+β2

(2)

為離散灰色預測模型DGM(1,1)，其中β1，β2為估計參數。

對式(2)使用最小二乘法，則離散灰色預測模型的估計參數β1，β2滿足：

(3)

其中：

(4)

k=1,2,…,n-1

(5)

1.2 變權弱化緩沖算子

定理3[13]：設X=(x(1),x(2),…,x(n))為非負的系統行為數據序列，令：

XD1=(x(1)d1,x(2)d1,…,x(n)d1)

(6)

其中：

x(k)d1=λx(n)+(1-λ)x(k)

(7)

式中：λ為可變權重，0<λ<1；k=1,2,…，n。當X為單調增長序列、單調遞減序列或震蕩序列時，稱D1為變權弱化緩沖算子。

1.3 精度檢驗[14]

1)平均相對誤差a

(8)

2)后驗差比C

C=S2/S1

(9)

式中：εs(u)為預測值和擬合值的殘差；S1為原始序列的標準差；S2為擬合序列與原始序列殘差序列的標準差。

3)灰色絕對關聯度

(10)

(11)

(12)

式中：s0和s1分別為原始數據和擬合數據的灰色絕對關聯度計算參數?；疑Ｐ途鹊燃壢绫?所示。

表1 灰色模型精度等級Table 1 Gray model precision grade

1.4 多種緩沖算子的優化模型

為了解決系統由于外界沖擊擾動而導致數據離亂的問題，劉思峰等[13]提出沖擊擾動系統和緩沖算子的概念, 并構造出平均弱化緩沖算子；黨耀國[13]構造了幾何平均弱化緩沖算子、加權平均弱化緩沖算子、加權幾何平均弱化緩沖算子等具有普遍意義的實用算子。上述幾種緩沖算子均能有效改進優化灰色模型，有效解決定量研究結果與定性分析結論不符的問題。但是上述緩沖算子在實際運用時, 往往難以得到令人滿意的效果。因為傳統緩沖算子不能實現作用強度微調, 導致緩沖作用效果過強或過弱，難以還原數據本來面目。王正新等[14]提出的變權緩沖算子通過多種數學算法測算并調整可變權重的大小來控制緩沖算子作用強度，可以更精準地還原數據本來面目。智能數學算法中的粒子群算法同遺傳算法相比，更加容易實現，且沒有許多需要調整的參數，具有計算速度快、收斂速度快的特點。運用粒子群算法定量測算變權緩沖算子可變權重可以快速準確得到最優權重，并運用多種精度檢驗函數作為粒子群算法的適應度參數函數，研究測算可變權重時的最優函數問題。

2 粒子群算法優化的灰色模型

2.1 粒子群算法原理

假設在D維空間中有m個粒子，粒子i在D維空間的位置向量為xi=(xi1,xi2,…，xiD),粒子i在D維空間的速度向量為vi=(vi1,vi2,…，viD)。將粒子的空間位置向量帶入目標函數f(x)求得適應度值，根據適應度最大或最小準則判斷該位置是否為最優位置。個體粒子i飛過歷史最好位置為pi=(pi1,pi2,…，piD)，群體中所有粒子飛過的最好位置為pg=(pg1,pg2,…，pgD)[15]。粒子群算法中的粒子速度和位置按如下公式進行更新。

速度更新公式：

(13)

位置更新公式：

xiD(t+1)=xiD(t)+viD(t+1)

(14)

式中：t為迭代次數；viD為第i(i=1,2,…,m)個粒子在第D維空間的速度，m/s；xiD為第i個粒子在第D維空間的位置，m；piD(t)代表第i個粒子在第D維中迭代t次時最好的位置，m；pgD(t)代表粒子種群在第D維空間中迭代t次時最好位置，m；ω為慣性權重；c1為自我學習因子；c2為群體學習因子；r1,r2為[0，1]區間內的隨機數。

2.2 基于粒子群算法的建模過程及參數設置

建模過程如下：

1)初始化設置：慣性權重w一般取0.8；學習因子c1,c2在0～4之間，一般跟自變量的取值范圍有關，取c1=c2=0.5；迭代次數t取值過大會導致計算變慢，過小導致計算精度不足，取t=30；PSO-VWDGM(1,1)模型中待優化參數λ作為一維空間種群中的個體粒子，初始種群的粒子個數取i=50；初始粒子的速度vi及位置xi采用隨機數函數給出，由于待定參數λ的取值范圍在0～1區間內，所以位置xi的取值范圍限制在[0，1]；為防止粒子飛行速度過快而飛出限制范圍，速度vi取[-1，1]。

2)適應度值計算：利用式(8)～(10)3種函數作為粒子群算法的目標適應度函數分別計算適應度值。

3)個體極值與全局最優解：將隨機生成的初始種群粒子λ帶入PSO-VWDGM(1,1)模型進行適應度值計算，并采用式(14)和(15)更新粒子的速度和位置。個體極值為每個粒子找到的歷史上最優的位置信息pbest，并從這些個體歷史最優解中找到1個全局最優解gbest，與歷史最優解比較，選出最佳的粒子λ作為當前的歷史最優解。

4)循環迭代計算：根據式(13)和(14)判斷目標適應度函數值是否滿足要求，如不滿足要求則繼續迭代計算至滿足最優準則或最大迭代次數。

5)計算結束：計算結束后得到預測模型最優參數λ。

6)預測模型建立：使用求得的最優參數λ構造PSO-VWDGM(1,1)模型，并利用該模型進行預測。

3 應用實例

安徽省合肥市云谷路地鐵車站位于云谷路和廬州大道的交叉口。基坑采用明挖順筑法施工，該基坑共有4個立柱用于支撐混凝土，每個立柱頂部設立1個沉降觀測點，點號為LZ1～LZ4。選取LZ4測點4月17日—26日的沉降數據，建立DGM(1,1)模型，用平均相對誤差、后驗差比和灰色絕對關聯度為粒子群算法目標適應度函數建立3個PSO-VWDGM(1,1)模型。設上述4種模型分別為1號、2號、3號和4號模型。其中前6 d數據作為原始數據建立模型，后4 d數據用于預測值比對，檢驗預測模型的精度。表2為立柱沉降數據，選取前6個數據作為原始數據帶入PSO-VWDGM(1,1)模型，用PSO算法優化模型并求得上述3種預測模型最優可變權重λ1，λ2和λ3，最優可變權重如表3所示。

表2 立柱沉降數據Table 2 Settlement data of columns

表3 最優可變權重λTable 3 Optimal variable weights λ

設粒子種群數量為50，迭代上限為30次。模型2的最優粒子搜索過程如圖1所示，2號模型在迭代18次后，適應度趨于穩定，模型平均相對誤差為定值，此時求得最優可變權重為0.026 21。模型3的最優粒子搜索過程如圖2所示，3號模型在迭代21次后，適應度趨于穩定，模型后驗差比為定值，此時求得最優可變權重為0.000 24。模型4的最優粒子搜索過程如圖3所示，4號模型在迭代10次后，適應度趨于穩定，模型灰色絕對關聯度為定值，求得最優可變權重0.051 78。

圖1 模型2的最優粒子搜索過程Fig.1 The optimal particle search process for model 2

圖2 模型3的最優粒子搜索過程Fig.2 The optimal particle search process for model 3

圖3 模型4的最優粒子搜索過程Fig.3 The optimal particle search process for model 4

將表3中的可變權重λ代入式(6)和(7)中，對表2前6個原始數據進行降噪處理，構造PSO-VWDGM(1,1)模型。其中1～4號預測模型的方程分別為(k=1,2,…,n-1)：

(15)

(16)

(17)

(18)

利用上述4個方程求出的擬合值及預測值，見表4，用式(8)～(10)檢驗4種模型預測性能，檢驗結果見表5。

由表4可知，用變權緩沖算子和PSO算法構造的2～4號模型的擬合值及預測值相比傳統1號DGM(1,1)模型更加接近真實值。由表1和表4可知，4種模型的預測精度均已經達到1級精度， 2～4號模型預測值的平均殘差、平均相對誤差、后驗差比和灰色絕對關聯度均優于1號模型。說明利用PSO算法和變權緩沖算子構造的PSO-VWDGM(1,1)模型的預測精度更高，優于傳統DGM(1,1)模型。

根據表3、表5和圖4對2～4號模型的比對可知，將不同的精度檢驗方法作為PSO算法的目標適應度函數得出的最終結果存在明顯差異。3號模型(后驗差比檢驗)作為PSO算法的目標適應度函數時，得到優化后的可變權重為0.000 24，利用該參數建立模型得到預測值的平均殘差、平均相對誤差、后驗差比和灰色絕對關聯度分別為0.414 7,2.533 3%,0.377 2和0.986 7，均略大于傳統DGM(1,1)模型，是3種PSO-VWDGM(1,1) 模型中精度等級最低的模型。2號模型(平均相對誤差檢驗)作為PSO算法的目標適應度函數時，得到優化后的可變權重為0.026 21，利用該參數建立模型得到預測值的平均殘差、平均相對誤差、后驗差比和灰色絕對關聯度分別為0.396 7,2.427 6%,0.371 1和0.987 7，均大于傳統DGM(1,1)模型，是3種PSO-VWDGM(1,1)模型中精度等級位于中間的模型。4號模型(灰色絕對關聯度檢驗)作為PSO算法的目標適應度函數時，到優化后的可變權重為0.051 78，利用該參數建立模型得到預測值的平均殘差、平均相對誤差、后驗差比和灰色絕對關聯度分別為0.336 2，2.068 2%，0.342 4和0.999 0，均大于傳統DGM(1,1)模型，是3種PSO-VWDGM(1,1)模型中精度等級最高的模型。4號模型的預測值平均殘差與2號和3號模型相比，精度分別提高了15.24%和18.93%；其預測值的平均相對誤差與2號和3號模型相比，精度分別提高了14.8%和18.35%；預測值的后驗差比與2號和3號模型相比，精度分別提高了7.71%和9.21%；預測值的灰色絕對關聯度分別提高了0.23%與0.34%。

表4 不同模型擬合預測值及殘差Table 4 Fitting predicted values and residuals of different models

表5 不同模型預測值的精度檢驗Table 5 The accuracy test of the predicted value of different models

為了更加直觀的看出1至4號模型預測精度的大小關系，將這4中模型預測結果繪制如圖4所示。由上述分析可知，在本工程實例的3個 PSO-VWDGM(1,1)模型中，4號模型具有最高的預測精度，2號模型次之，3號模型最差。但是3個模型的預測精度均為1級，均可適用于此工程。

圖4 預測結果對比 Fig.4 Comparison of prediction result

4 結論

1)利用變權緩沖算子對原始數據序列進行降噪處理，提高原始序列的光滑性，并通過PSO算法優化可變權重λ構造出PSO-VWDGM(1,1)模型，從而達到調節緩沖算子作用強度的目的，實現變權緩沖算子對原始數據序列作用強度的量化與控制。

2)相對誤差檢驗、后驗差比檢驗，灰色絕對關聯度檢驗3種精度檢驗方法作為PSO算法目標適應度函數建立的模型相比傳統DGM(1,1)模型，其預測精度高，預測性能更好。

3)比較3種PSO-VWDGM(1,1)模型可知，以灰色絕對關聯度檢驗作為PSO算法的目標適應度函數的模型具有較好的預測精度。3種PSO-VWDGM(1,1)模型均具有1級精度，可以很好地應用在工程中。研究結果能為工程施工階段的基坑變形預測、穩定性分析與災害評估、預警提供指導。