中學生數學建模中的線性規劃技巧分析

◆侯佳儀

(內蒙古第一機械制造〈集團〉有限公司第一中學)

1引言

當需要量化求解一個實際問題時，首要的便是將實際問題轉化為數學問題，從而使問題得以合理的描述和有效解決，這便是數學建模。數學建模是數學理論與實際應用之間的一座重要橋梁。數學建模問題中，有超過半數屬于優化問題，而其中絕大部分又可以近似看成線性規劃問題。線性規劃是一項應用極其廣泛的數學模型，在經濟、軍事、科研等方面均有重要作用。

本文正是基于對數學建模的興趣，在充分調研的基礎上，對數學建模中的一些常用方法進行總結與歸納，并重點深入分析線性規劃在數學建模中的作用，最后對這些年實際的數學建模進行了總體分析，以此拓展對數學建模的理解，為進一步學習數學理論與數學應用奠定基礎。

2基本概念

2.1數學建模

2.1.1數學建模概況

數學建模就是對現實生活中所遇到的實際問題加以分析、抽象和簡化，使之成為一個可以刻畫實際問題的數學模型，進而對其進行求解、分析以及檢驗的過程。所建立的模型可以大致分為以下四種類型：

(1)與數量有關：如典型的有函數模型、方程模型、不等式模型、數列模型與概率模型。

(2)與形狀相關：如平面幾何模型與立體幾何模型。

(3)與位置相關：如解析幾何模型與極坐標模型。

(4)與最值相關：線性規劃模型。

針對這四種常見的數學建模類型題，通常可以有五種解決的方法，分別是：

(1)關系分析法，將實際問題中的數學關系抽象出來，并對其加以分析和簡化，再進行判斷屬于以上四種類型中的哪一種，進而進行求解。

(2)圖像分析法，是通過借助函數圖像的方式尋找實際問題中的關系，并通過圖像的變化趨勢確定實際問題的最優解，進而實現求解。

(3)數量關系式，根據問題中所描述信息列出數量關系式，并依據此數量關系式進行進一步討論、求解問題。

(4)數學歸納法，先根據所給信息大致抽象出一般規律，再證明其正確性并推廣，從而進行求解。

(5)示意圖分析法(常用于分析幾何模型)：抽取出題中所給信息主要內容，將問題進行簡化，結合基本幾何模型進行分析。

2.1.2數學建模一般步驟

數學建模不僅是一種競賽，更是在解決實際問題中需要經常采用的一種解決策略，因此在實際應用過程中通常都是按照一定步驟按步執行，其一般可以描述為圖1所示的步驟。

2.2線性規劃理論

2.2.1線性規劃概況

線性規劃是一種可以輔助人們進行科學管理、科學決策的一種十分有效的數學方法，主要研究對象是實際問題中存在線性約束關系下，求解一些特定目標值的最優解，換言之，是目標函數極值問題求解的數學理論與數學方法，在日常的工程技術(如能耗最小、路程最短)、經濟分析(如利潤最高)、經營管理(如效率最佳)以及軍事作戰等方面均得到了廣泛有效的應用，最終借助有限的資源實現最優的目的，為實際問題提供科學的依據。其中典型的線性規劃問題可以如下描述。

目標函數：Max(Min)z=c1x1+c2x2+…+cnxn

約束條件：a11x1+ a12x2+…+a1nxn≤(=，≥)b1

a21x1+ a22x2+… + a2nxn≤(=，≥)b2

……

am1x1+am2x2+…+amnxn≤(=，≥)bm

x1，x2，…，xn≥0。

其中x1，x2，…，xn為決策變量，即實際問題中的因變量，目標函數是用決策變量表述的函數關系，并求解其最大值或最小值，約束條件便是約束決策變量的等式或不等式，當然實際問題中決策變量并不是可以任意取值的。本模型描述中的目標函數和約束條件都是線性關系，實際上目標函數在高中線性規劃問題中可以是非線性問題，如距離關系的求解、斜率的變化求解等，實際線性規劃問題中并不會做十分嚴格的限制。

2.2.2線性規劃問題的求解

通過2.2.1對一般線性規劃問題的描述與建立，根據實際線性規劃問題的求解也會按照一定特定的步驟進行求解，如圖2所示，根據步驟可以得到如圖3所示的平面關系，當然為了作圖方便，圖像中只有兩個因變量，三個及以上的因變量需要借助計算機技術才能得到快速有效解。

3數學建模中線性規劃問題分析

從資料調研來看，高中生、大學生和研究生均有數學建模大賽，尤其是大學生數學建模大賽最為激烈，可見該競賽已經成為在校學生課外科技活動的重要項目之一。通過對近些年數學建模大賽的題目分析，其中可以建立線性規劃模型的占有較大比例，典型的可以歸納為以下幾類。

(1)生產計劃問題。如某年題目就以一個企業的生產狀況為依托，要求確定各種產品的產量為多少時可以實現企業收入達到最大。類似問題有很多，如交通調度等，需要考慮實際社會需要以及企業自身的生產能力進行模型建立，最終歸咎為線性規劃問題，進而給出科學合理的決策依據。

(2)任務分派問題。如一次數學建模大賽中就提到有若干項任務分配給若干個人去完成，但是每個人有自己的專業優勢，完成每項任務的成本也不一致，遇到這類抽象問題的時候，往往需要進行一定的假設，并按照一定的等級設定相應的數量，進行線性規劃建模與求解。

(3)經濟最優問題。這類問題是最為常見的線性規劃問題，如有食譜問題、企業原材料的采購與運輸問題、多種投資組合的決策問題、商店的入貨問題等，需要綜合考慮各種因素，通過對實際問題的分析，建立線性規劃模型進行求解分析，給出合理的解決方案，實現價值最優化。

當然除此之外，還有很多其它問題，如環境治理等熱點問題均是近些年數學建模中出現的可以采用線性規劃方法進行解決的問題。

4結論

隨著高考的不斷改革，除了傳統的學科競賽項目之外，近些年中學生數學建模大賽也得到了各方的重視，也許若干年后將會與學科競賽具有一樣的價值。事實上高中生已經具備一般的數學建模知識與技能，無非是潛在要求將知識與實際應用進行有效的結合，這在一定程度上可以考察發現問題、分析問題、解決問題的能力。而數學模型的建立與高中所學的函數理論、線性規劃、幾何關系等具有十分密切的關系。本文所論述的線性規劃問題在數學建模大賽中應用十分廣泛，通過對數學建模和線性規劃理論的闡述，并重點闡述了實際的應用問題，需要參賽者賽前得到足夠的重視。在實際參加數學建模大賽前，需要借助大量的實際應用例子來拓展視野，掌握思路與方法才能對實際問題進行科學合理的建模、求解和分析。