非均勻壓電薄板面內自由振動的精確解

劉宗民， 張 健， 宋海燕

(哈爾濱工程大學 航天與建筑工程學院，哈爾濱 150001)

板的面內振動發生在平行于板平面的方向上，因其振動頻率一般遠高于通常的激勵頻率，所以相對于發生在垂直于板平面方向的橫向振動而言，關于板面內振動的研究是很少的。雖然面內振動的早期研究可以追溯到19世紀Rayleigh的開拓性工作[1]，但一百多年來面內振動的研究一直處于停滯狀態。近年來，隨著高速飛行器和高速艦船的不斷發展，以及直線型壓電超聲電機的研制，面內振動問題顯得尤為突出，板的面內振動問題逐漸成為當前工程領域研究的熱點，并引起國內外學者的廣泛關注。

邢譽峰、劉波[2-4]指出，行駛中的船舶或飛行器在外界快速流動流體的激勵下，會發生面內振動，并采用空間坐標分離變量方法(非逆法)給出了板殼在簡支和固支邊界任意組合情況下自由振動的封閉(非級數)形式精確解。劉劍等[5]指出，利用面內振動模態是直線型超聲電機發展的主流。通過其結構的合理設計，在這種新型直線型超聲電機中，矩形壓電陶瓷薄板既充當了把電能向機械能轉換的角色，又充當了驅動振子(定子)的作用。Bardell等[6]采用瑞利-里茲方法計算了板面內自由振動的頻率，并對面內振動的早期研究進行較為全面的梳理與評述。Gorman[7-9]采用疊加方法對自由、簡支與固支邊界條件下的矩形板面內自由振動問題進行了研究。Du等[10-11]采用改進的傅里葉級數方法分析了彈性支撐板的面內自由振動問題。裴然等[12]采用二維改進傅里葉級數方法研究了矩形板結構面內振動特性。王青山等[13]采用改進傅里葉級數法(Improved Fourier Series Method,IFSM) 對矩形板在任意邊界下的面內自由振動特性進行了研究。Masahiro[14]對沿板厚方向極化的壓電矩形板的面內振動進行了二維瞬態分析。

王保林等[15]指出，要得到非均勻材料的力學問題的精確解是非常困難的。本文假設壓電材料參數沿厚度方向以同一指數形式變化，給出了非均勻壓電薄板面內自由振動的基本方程。應用分離變量方法，對四邊簡支非均勻壓電薄板的面內自由振動的精確解進行了研究，并通過算例討論了相關問題。邢譽峰等提出的分離變量方法，是一個研究面內自由振動精確解的行之有效的方法，本文在以往彈性薄板面內自由振動精確解研究的基礎上，將面內自由振動精確解的研究拓展到了非均勻壓電薄板，這既是對以往研究的發展，同時也會促進面內自由振動在非均勻材料力學領域的研究。

1 基本方程

非均勻壓電薄板的基本方程為

本構關系

(1)

幾何方程

(2)

考慮到壓電板很薄(h/ai?1)，所以可以用應力沿厚度的平均值描述壓電薄板的應力狀態[16]，即

(3)

將式(1)和(2)代入(3)，可得恒定電場下非均勻壓電薄板的面內自由振動微分方程

(4)

面內自由主振動可以寫成

(5)

把式(5)代入式(4)可得

(6)

第一種邊界條件SS1[2]：

(7)

第二種邊界條件SS2[2]：

(8)

式中

2 精確解

式(5)分離變量形式的精確解為

(9)

式中

φ1=A1cos(Ωx)+A2sin(Ωx),

φ2=A3cos(Λx)+A4sin(Λx),

ψ1=B1cos(Ty)+B2sin(Ty),

ψ2=B3cos(Zy)+B4sin(Zy)

將邊界條件(7)和(8)代入式(9)，可得相應的本征函數和本征方程，如表1和表2所示。

表1對邊x=0和a為SS1和SS2的四種組合及對應的本征函數和本征值方程

Tab.1Theeigenvalueequationsandeigenfunctionsforthesimplesupportoppositeedgesx=0，a

邊界條件本征值方程本征函數SS2-SS2SS1-SS1SS2-SS1SS1-SS2sin(Ωa)=0sin(Ωa)=0cos(Ωa)=0cos(Ωa)=0u1(x)=k1sin(Ωx),v1(x)=cos(Ωx)u1(x)=k1cos(Ωx),v1(x)=sin(Ωx)u1(x)=k1sin(Ωx),v1(x)=cos(Ωx)u1(x)=k1cos(Ωx),v1(x)=sin(Ωx)

兩種簡支邊界條件在四條邊上有6種不同的組合，分別為:SS1-SS1-SS1-SS1，SS2-SS2-SS2-SS2，SS1-SS2-SS2-SS2，SS1-SS1-SS2-SS2，SS1-SS2-SS1-SS2， SS1-

表2對邊y=0和b為SS1和SS2的四種組合及對應的本征函數和本征值方程

Tab.2Theeigenvalueequationsandeigenfunctionsforthesimplesupportoppositeedgesy=0，b

邊界條件本征值方程本征函數SS2-SS2SS1-SS1SS2-SS1SS1-SS2sin(Tb)=0sin(Tb)=0cos(Tb)=0cos(Tb)=0u2(y)=cos(Ty),v2(y)=k3sin(Ty)u2(y)=sin(Ty),v2(y)=k3cos(Ty)u2(y)=cos(Ty),v2(y)=k3sin(Ty)u2(y)=sin(Ty),v2(y)=k3cos(Ty)

SS1-SS1-SS2。

由表1和表2可知SS1-SS1-SS1-SS1板的本征函數為

U(x,y)=k1cos(Ωx)sin(Ty)

V(x,y)=k3sin(Ωx)cos(Ty)

(10)

把式(10)代入式(6)，并整理可得

[(1+a1)Ω2+(1+a2)T2]β2+β4=0

(11)

由式(11)解出頻率參數β，可得

(12)

3 算 例

以四邊簡支(SS1-SS1-SS1-SS1)情況為例，非均勻壓電矩形薄板厚度h=0.02 m，維度a×b=1 m×1.2 m。BaTiO3材料參數參照文獻[17]。

當k的取值變化時，四邊簡支非均勻壓電矩形薄板面內自由振動的頻率,如表3所示。

表3 非均勻壓電薄板面內自由振動頻率Tab.3 Frequency for free in-plane vibrations of inhomogeneous rectangular piezoelectric plate

四邊簡支情況下，不均勻系數k與頻率ω的關系,如圖1所示。

圖1 不均勻系數k與面內振動頻率ω的關系圖Fig.1 The relationship between non-uniform coefficient k and frequency for free in-plane vibrations ω

由圖1可看出，當k取正數時，隨著k值增大，頻率

也隨之增大，頻率增速由頻率的階數決定，階數越高，頻率增長的越快；當k取負數時，隨著k值減小，頻率隨之增大，相應的增幅也越快。當選取SS2-SS2-SS2-SS2，SS1-SS2-SS2-SS2，SS1-SS1-SS2-SS2，SS1-SS2-SS1-SS2，SS1-SS1-SS1-SS2這5種四邊簡支情況時，也可以得到如上結論。

四邊簡支情況下，前四階振型,如圖2所示。

將非均勻壓電薄板退化為非均勻彈性薄板，當k的取值變化時，四邊簡支非均勻彈性薄板面內自由振動的頻率,如表4所示。

當k=0時，η*(0)=1，非均勻彈性薄板退化為均勻彈性薄板，頻率參數β,如表5所示。

由表5可以看出，四邊簡支均勻彈性薄板面內自由振動頻率參數β與文獻[2,18]的結果相差很小,可以證明本文所給精確解的正確性。

(a) SS1-SS1-SS1-SS1前四階振型圖

(b) SS2-SS2-SS2-SS2前四階振型圖

(c) SS1-SS2-SS1-SS1前四階振型圖

(d) SS1-SS2-SS2-SS1前四階振型圖

(e) SS1-SS2-SS1-SS2前四階振型圖

(f) SS1-SS2-SS2-SS2前四階振型圖圖2 四邊簡支情況前四階振型圖Fig.2 The fourth order vibration modes of simply supported表4 非均勻彈性薄板面內自由振動頻率Tab.4 Frequency for free in-plane vibrations of inhomogeneous rectangular elastic plate

k頻率序號12345678910Ωa/π0110012202Tb/π1011220132-3ω/105 Hz0.098 10.117 70.153 20.165 80.196 20.228 80.235 40.255 00.294 30.306 5-2ω/105 Hz0.089 30.107 10.139 40.150 90.178 50.208 20.214 20.232 10.267 80.278 8-1ω/105 Hz0.084 10.100 90.131 30.142 10.168 10.196 00.201 70.218 50.252 20.262 60ω/105 Hz0.082 30.098 80.128 60.139 20.164 70.192 00.197 60.214 10.247 00.257 21ω/105 Hz0.084 10.100 90.131 30.142 10.168 10.196 00.201 70.218 50.252 20.262 62ω/105 Hz0.089 30.107 10.139 40.150 90.178 50.208 20.214 20.232 10.267 80.278 83ω/105 Hz0.098 10.117 70.153 20.165 80.196 20.228 80.235 40.255 00.294 30.306 5注:楊氏模量E=72×109 Pa,泊松比υ=0.3

表5 均勻彈性薄板面內自由振動頻率參數Tab.5 Frequency parameters for free in-plane vibrations of homogeneous rectangular elastic plate

4 結 論

本文假設壓電材料參數沿厚度方向以同一指數形式變化，給出了非均勻壓電薄板面內自由振動的基本方程。應用分離變量方法，給出了四邊簡支非均勻壓電薄板面內自由振動的精確解。

分析了非均勻壓電薄板的不均勻系數與面內自由振動頻率之間變化規律。在四邊簡支情況下，當不均勻系數取正數時，隨著數值的增大，頻率也隨之增大，頻率增速由頻率階數決定，階數越高，頻率增長的越快；當不均勻系數取負數時，隨著數值的減小，頻率隨之增大，頻率增速由頻率階數決定，階數越高，頻率增長的越快。研究表明非均勻壓電材料可以通過調整材料的組成，使其動力學性能得以提高，從而滿足結構特殊的功能需要。

將非均勻壓電薄板退化為非均勻彈性薄板，得到四邊簡支非均勻彈性薄板面內自由振動頻率。進一步將非均勻彈性薄板退化為均勻彈性薄板，得到四邊簡支均勻彈性薄板面內自由振動的頻率參數，并驗證了其精確解的正確性。