BEC信道下高維核矩陣極化碼的精確設計

黃志亮，張施怡，周水紅

(浙江師范大學 數理與信息工程學院，浙江 金華 321004)

0 引言

第一個被證明的極化碼由Arikan教授提出，它是一種可以在任意的二進制輸入離散無記憶信道達到香農容量，并且有著低編譯碼復雜度和明確設計方法的編碼方案[1]。該極化碼基于核矩陣

文獻[2]的研究表明，核矩陣G2可以被一個高維核矩陣Gm,m≥3替代，替代的極化碼有著更快的極化速率。目前，研究者們已經設計出了大量具有更大極化速率的高維核矩陣[3-7]。

顯然，要使用高維核矩陣極化碼，首先就要設計出相應的極化碼。一個很自然的思路就是將G2核矩陣極化碼的設計方法推廣至高維核矩陣。目前，G2核矩陣極化碼的設計方法包括：① 高斯近似—密度進化方法(GA-DE)[8-11]；② Tal-Vardy的上/下近似方法[12]；③ 基于BEC信道下的設計方法[13]。GA-DE方法和Tal-Vardy的上/下近似方法的直接推廣分別存在各種問題。本文將基于BEC信道下的設計方法從G2核矩陣推廣至高維核矩陣極化碼的設計。

極化碼的設計步驟較明確，但只在BEC信道下的設計才是有效的[1]。文獻[13]將BEC信道下的設計2×2維核矩陣極化碼的方法推廣到任意二進制高維核矩陣極化碼設計中，通過近似計算出位信道的擦除概率來完成極化碼的設計。本文給出一種BEC信道下高維核矩陣極化碼擦除概率的精確設計方法，通過擦除概率多項式準確遞歸計算出位信道的擦除概率，從而完成高維核矩陣極化碼的精確設計。

1 極化碼的簡單回顧

首先給出高維核矩陣極化碼的定義，然后簡要描述BEC信道下設計2×2維核矩陣極化碼的方法。

1.1 極化碼

考慮一個簡單的擦除概率為ε的BEC信道W，如圖1所示。

圖1 擦除概率為ε的BEC信道

其輸入集合為{0,1}，輸出集合為{0,1,?}，轉移概率為：

W(0|0)=W(1|1)=1-ε,
W(？|0)=W(？|1)=ε,
W(1|0)=W(0|1)=0。

(1)

(2)

1.2 基于BEC信道的極化碼設計

在2×2維極化碼設計時，BEC信道下位信道的擦除概率遞歸計算式為[1]：

(3)

Arikan在文獻[14]中提出了一個基于BEC信道的二維核矩陣極化碼的啟發式設計方法。給定一個信道W，假定其信道容量為C，則該啟發式極化碼設計方法如下：

① 令擦除概率ε=1-C的BEC信道為這個信道的配對信道;

② 在該ε的BEC信道下設計極化碼：根據式(3)遞歸計算出最后一層位信道的擦除概率，并按擦除概率對位信道進行排序，選擇出信息位和凍結位集合，即極化碼。

2 BEC信道下高維核矩陣極化碼設計

類比于2×2維核矩陣，BEC信道下高維核矩陣極化碼設計的關鍵點是：第n～n+1層的擦除概率的有效計算。研究表明，BEC信道下高維核矩陣的位信道同樣是BEC信道，并且第n+1層位信道的擦除概率可以通過第n層位信道的擦除概率組成的一個多項式計算獲得。

首先給出高維核矩陣的單步位信道為BEC信道的證明，其次給出單步遞歸位信道的擦除概率計算多項式，最后給出BEC信道下的高維核矩陣極化碼設計算法。

2.1 單步遞歸位信道為BEC信道的證明

文獻[15-16]中提出一個l-表達式，l-表達式將單步遞歸位信道的似然比表示為原信道似然比的一個公式，該公式中只有3種操作：◇，×，?操作。因此，只需要證明經過這3種操作后的信道仍然是BEC信道，那么當原始信道為BEC信道時，對于任意的核矩陣Gm，其對應的位信道也為BEC信道。

定理1：任意核矩陣Gm的單步遞歸位信道也為BEC信道。

證明：首先證明2個BEC信道經過◇操作后的信道仍然是BEC信道。

給定一個BEC信道W，假設其擦除概率為ε。根據BEC信道的轉移概率可得，其似然比取值和概率質量分布如下：

(4)

令l1，l2,l同分布且相互獨立，則◇操作符定義為:

(5)

根據式(4)和式(5)得，l1◇l2的概率質量分布如表1所示。

表1l1◇l2的概率質量分布

(l1,l2)l1◇l2P(+∞,+∞)+∞14(1-ε)2(+∞,1)112ε(1-ε)(+∞,0)014(1-ε)2(1,+∞)112ε(1-ε)(1,1)1ε2(1,0)112ε(1-ε)(0,+∞)014(1-ε)2(0,1)112ε(1-ε)(0,0)+∞14(1-ε)2

將l1◇l2取值相同的概率值相加，即(+∞,+∞)和(0,0)合并看成為+∞，將(+∞，0)和(0，+∞)合并看成為0，其他元素合并看成為1，則有

(6)

顯然，根據式(6)，l1◇l2可看成為擦除概率為2ε-ε2的BEC信道。

×操作和?操作的證明過程類似于◇操作，這里不再敘述。同理可證明2個BEC信道經過×操作和?操作后的信道是BEC信道。

因此，定理1得證。

2.2 單步遞歸位信道擦除概率多項式

由上述內容可知，將l-表達式計算結果為1的概率值相加就是該單步位信道的擦除概率。因此，獲得單步位信道擦除概率多項式最簡單的方法是給定一個l-表達式，將每一個可能的輸入帶入l-表達式，如果最后計算結果為1，將該輸出概率加入該位信道的擦除概率，最后累加出來的值就是該位信道的擦除概率。顯然該概率值為原始信道擦除概率的一個多項式，稱之為單步遞歸位信道擦除概率多項式。

例如，初始BEC信道的擦除概率為ε，對于文獻[4]給出的G6和G7核矩陣，其單步遞歸位信道的擦除概率多項式分別為：

(7)

(8)

2.3 BEC信道下的高維核矩陣極化碼設計

BEC信道下高維核矩陣極化碼的設計步驟如下：① 根據單步遞歸位信道擦除概率多項式遞歸計算最后一層位信道的擦除概率；② 對最后一層的擦除概率由小到大排序，挑選出最小的K個位構成信息位集合，即完成了極化碼的設計。算法1給出基于BEC信道的極化碼設計算法。

算法1：基于BEC信道的極化碼設計算法

1：輸入碼長N，碼率R，初始BEC信道W的擦除概率ε，存儲各層擦除概率值的二維數組Q

2：輸出：信息位集合A

3：獲取單步遞歸多項式，并記其為f(i),i=1,…,m

4：Q[0]初始化長度為1，且Q[0][0]=ε

5：fori=1,2，…,ndo

6：Q[i]初始化長度為mi

7： forj=0,1,…,mi-1-1 do

8： fork=0,1,…,m-1 do

9：Q[i][m*j+k]=f(k)[Q[i-1][j]]

10： end

11： end

12：end

13：forl=0,1，…,Ndo

14：Pe[l]=Q[m][l]

15：end

16：依據Pe(N)，選擇K個最少的錯誤索引作為A

17：輸出A

算法1中f(k)表示第k個位信道的擦除概率多項式，它是擦除概率ε的一個多項式。而f(k)[Q[i-1][j]]是指將f(k)所表示的多項式中的所有ε替換為一個實際的值Q[i-1][j]，然后計算獲得一個最終值。

3 仿真結果

首先給出參數ε的最優設置方法，然后給出基于BEC信道下設計的高維核矩陣極化碼的譯碼性能。

3.1 最優參數選擇

在算法1中，參數ε最優取值需要確定。Arikan直接令ε=1-C，C為初始信道的信道容量。然而實驗結果表明該方法得到參數ε并不能設計出最優的極化碼。本小節給出一種量化測試的方法來確定最優的ε，參數ε的取值范圍為[0,1]，以步長0.1或0.05取有限個點，在固定為1.5 dB時，比較所有設計極化碼的譯碼性能，則具有最優性能的點即為參數ε的最優值。

在不同ε下基于BEC信道設計方法設計出的極化碼的誤幀率(FER)和信噪比(Eb/N0)的仿真圖如圖2所示，碼率為1/2，碼長為4 096的G16核矩陣。

圖2 不同ε下設計的極化碼的FER比較

3.2 BEC信道下設計的極化碼的譯碼性能

圖3 基于BEC信道和GA-DE設計極化碼的FER 比較

圖和極化碼的FER比較

由圖可知，在LSC譯碼下，基于ε=0.35的BEC信道下設計的高維核矩陣極化碼比原2×2核矩陣有更低的誤幀率。

仿真表結果明，基于BEC信道的極化碼設計方法明顯優于GA-DE方法。同時，基于BEC信道設計方法設計的高維核矩陣極化碼優于同等碼長和碼率下的G2核矩陣極化碼。

4 結束語

本文提出了一種基于BEC信道下設計高維核矩陣極化碼的方法，給定一個任意的高維核矩陣Gm，首先證明了單步遞歸位信道仍然為BEC信道；然后根據l-表達式獲得了單步遞歸位信道的擦除概率多項式。

依據所獲得的單步遞歸位信道的擦除概率多項式，Gm極化碼設計方法為：由擦除概率多項式遞歸求出最后一層的概率，對其進行從小到大排序，挑選出個最小的K個位序號構成信息位集合A，從而完成了極化碼的設計。

針對一個給定的一般信道W，需要選擇對應合適的BEC信道來設計相應的極化碼。提出一種量化方法用于獲得參數ε的最優值，該方法表明原Arikan提出的啟發式方法來設定ε取值的方法并不是最優方法。

仿真結果表明，在SC和LSC譯碼下，基于BEC信道下設計的高維核矩陣極化碼，優于GA-DE方法設計的高維核矩陣極化碼，也優于同等碼長和碼率情況下的2×2維核矩陣極化碼。