空間相關信道下大規模MIMO兩跳系統性能分析

王 毅,王雨晗,王玉紅

(1.鄭州航空工業管理學院 智能工程學院， 河南 鄭州 450046；2.國家數字交換系統工程技術研究中心，河南 鄭州 450002；3.河南大學 國際教育學院， 河南 開封 475001；4.陸軍炮兵防空兵學院鄭州校區 信息保障系，河南 鄭州 450052)

0 引言

近年來，基于大規模MIMO技術的兩跳中繼系統吸引了無線通信業內越來越多的關注[1-9]。一方面，中繼協作傳輸技術可有效地擴展通信覆蓋區域、提升鏈路可靠性、改善小區邊緣用戶吞吐量，并且已有成熟的中繼傳輸方案被國際標準化組織所采用[10-11]；另一方面，大規模MIMO技術以其獨有的技術特性被學術界與工業界認為是5G無線通信系統中最核心的物理層關鍵技術之一[12-14]。通過大規模天線陣列的使用，系統的頻譜效能可提升若干量級，并且只需采用低復雜度的線性信號處理方案就可近乎完美地消除用戶間的干擾。基于此，業內研究人員很自然地將大規模MIMO技術與中繼協作傳輸系統相結合，以期進一步挖掘系統性能提升潛力。

最初針對大規模MIMO中繼系統研究，主要考慮利用大規模MIMO的多用戶干擾消除特性，解決傳統多對用戶MIMO中繼系統中用于消除用戶間干擾時的正交視頻資源開銷過高或預編碼/檢測接收方案復雜度過高等問題[1]。文獻[1]首次將大規模MIMO應用于多對用戶中繼系統，在中繼配備大規模天線陣列條件下，采用低復雜度線性處理方案，即最大比接收/最大比發送(Maximum Ratio Combining/Maximum Ratio Transmission,MRC/MRT)和迫零接收/迫零發送(Zero-Forcing Receiving/Zero-Forcing Transmission,ZFR/ZFT)，分析得出了理想信道狀態信息(Channel State Information,CSI)條件下的系統頻譜效率極限性能。此后，針對大規模MIMO中繼系統的性能分析、傳輸方案以及資源分配等內容得到了廣泛的研究，并且從最初的兩跳半雙工單向中繼系統，逐步擴展到雙向中繼系統以及全雙工中繼系統。文獻[2-3]分別針對大規模MIMO半雙工單向中繼和雙向中繼系統中，基于理想CSI，推導得出了任意大但有限維天線數條件下的系統遍歷速率解析表達式，并進行極限性能分析。文獻[4]則在文獻[2]的基礎上擴展至大規模MIMO全雙工雙向中繼系統；文獻[5-6]針對大規模MIMO半雙工單向中繼系統，分別研究了ZFR/ZFT和MRC/MRT預編碼方案下，非理想CSI估計時的系統頻譜效率漸進性能和發射功率縮放率；文獻[7]則針對大規模MIMO半雙工和全雙工中繼系統，提出了2種導頻疊加數據的傳輸方案，用于降低獲取CSI時的系統開銷；文獻[8-9]針對大規模MIMO單向中繼和雙向中繼系統，研究了能效準則下關于中繼天線數、用戶對個數以及中繼發射功率和節點發射功率的資源分配問題。

值得注意的是，現有針對大規模MIMO中繼系統的研究，多是基于理想的獨立同分布信道條件。眾所周知，在中繼節點配備大規模天線陣列，由于中繼節點尺寸問題，導致相鄰天線間距可能無法滿足獨立性要求，從而以較大概率出現中繼節點收發信機的天線相關性。因此在實際系統中，考慮中繼節點大規模天線陣列所產生的信道空間相關性是十分必要的。

本文考慮更為普適的空間相關信道模型，對多對用戶大規模MIMO兩跳單向中繼系統的遍歷可達速率和功率縮放率進行分析。假設中繼已知理想CSI，并采用ZFR/ZFT預編碼方案。首先，借助確定性等價原理，推導出了遍歷速率關于信道空間相關陣及典型系統參數的閉合表達式。分析了中繼天線數趨于無窮大時，信源發射功率和中繼發射功率縮放因子所對應的取值范圍。最后，利用計算機仿真驗證了所得到的結論的正確性和有效性。

文中符號說明：(·)H表示共軛轉置運算，(·)T表示轉置運算，tr{·}表示對矩陣求跡，{·}表示求數學期望，CN(n,R)為循環對稱復高斯隨機分布的隨機向量且具有均值向量n和協方差陣矩陣R，|·|表示復數模或實數絕對值,‖·‖ 表示歐幾里得范數,[A]i和[A]ij分別為矩陣A的第i行元素和第i行第j列元素。

1 系統模型

多對用戶大規模MIMO兩跳系統如圖1所示，考慮一個包含K對單天線用戶和一個大規模MIMO中繼的通信系統，中繼天線數為N，且N?K>1。假設各用戶對之間通信距離較遠，路徑傳輸損耗較大，因此，各通信用戶對之間無可用直達鏈路，信源到信宿的通信過程需要借助中繼在兩跳內完成，此處假設所有用戶對共享系統時頻資源。

圖1 多對用戶大規模MIMO兩跳系統

在第1跳時，K個信源用戶將各自信號同時發送給中繼，則中繼節點的接收信號向量為：

(1)

式中，x=[x1,…,xk,…,xK]T，xk表示第k個信源用戶的有效信號，且x滿足發射功率歸一化，即{xxH}=IK；ps表示各信源用戶的平均發射功率[1-3]，H=[h1,…,hk,…,hK]∈N×K，hk表示第k個信源用戶到中繼之間的瑞利相關衰落信道，且表示對應的信道大尺度衰落系數，Rk表示第k個信源用戶到中繼接收機的信道空間相關陣，用于描述中繼接收機天線間的空間相關性，則表示對應的信道快衰落系數，nr表示第1跳時疊加在中繼的加性復高斯白噪聲，服從分布。由于信源用戶隨機散落在服務區域內，此處假設不同信源用戶到中繼間的信道向量滿足統計獨立性，即hk獨立于hi，i≠k。

在第2跳內，中繼先對yr進行線性處理，生成轉發信號yt，

yt=Vyr，

(2)

式中，V∈N×N表示中繼轉發處理矩陣，且滿足中繼總發射功率約束pr，即

tr(

(3)

隨后，通過第2跳信道GH將信號yt傳遞至信宿用戶，則K個信宿用戶的接收信號向量為：

(4)

(5)

將V的具體表達式代入式(4)，可以得到第k個信宿用戶的接收信號

(6)

由此得到第k個信宿用戶的瞬時接收信噪比

(7)

可以得到第k個信宿用戶的遍歷可達速率

Rk=

(8)

式中，1/2表示兩跳系統中的時隙資源開銷。最終可以得到系統遍歷可達和速率為：

(9)

2 可達速率漸進性能及功率縮放率

2.1 可達速率解析表達式

式(8)中的遍歷速率表達式涉及期望運算，對其直接求解十分困難。與文獻[5]中采用Jensen不等式求下界所不同的是本文借助隨機矩陣理論中的確定性等價原理[13,17]，可以獲得任意大但有限維度天線數條件下的便利速率解析表達式，有如下定理。

定理1：當中繼在理想CSI條件下采用ZFR/ZFT轉發方案時，第k個信宿用戶的可達速率可近似表示為：

(10)

證明：根據文獻[13]定理4和文獻[17]定理1，有如下結論:

(11)

將式(11)中的確定性等價近似值代入式(8)，可以得到接收信噪比的確定性等價量:

(12)

進一步，根據主導理論和連續映射理論[13]，可以得到遍歷速率的確定性等價量:

(13)

證畢。

從定理1中可知，在空間相關信道條件下，遍歷可達速率僅與中繼節點天線陣列的相關陣的跡有關，而信道相關陣的跡則表示信道的統計總功率值，通常進行歸一化[18]，即trRk=trTk=N。由此可以看到，中繼節點大規模天線陣列間的相關性并不影響遍歷可達速率的絕對值。將trRk=trTk=N代入式(10)，可以進一步化簡得到遍歷可達速率的表達式

(14)

從式(14)可以看到，系統遍歷速率與中繼天線數、信源用戶發射功率、中繼發射功率、用戶對個數以及信道的大尺度衰落因子具有直接關系。

2.2 漸進性能與功率縮放率分析

為了分析信源發射功率和中繼發射功率關于中繼天線數增長時可獲得的縮放增益，采用如下縮放率模型[6,19]:

(15)

式中，Ps，Pr是與N無關的正常數，α，β為非負實數，分別表示信源發射功率和中繼發射功率關于中繼天線數的縮放增益因子。

將式(15)代入式(14)后，可以化簡為：

(16)

max{α-1,β-1,α+β-2}≤0，

(17)

或等價為:

0≤α≤1, 0≤β≤1。

(18)

(19)

結合式(12)～式(19)，可以分析得出在空間相關信道下大規模MIMO兩跳系統功率縮放時的重要結論：

① 根據式(15)并對比文獻[1]中獨立信道下的系統性能可知，在空間相關信道條件下，系統的可達遍歷速率與可獲得的功率縮放增益不受影響。換言之，在中繼節點部署大規模天線陣列時，無需過分強調相鄰天線的間距從而滿足獨立性要求，這對于大規模天線陣列用于中繼節點非常有益。

② 式(19)中不同縮放因子組合值條件下的速率極限性能表明，隨著中繼天線數N的增加，信源用戶發射功率和中繼發射功率等系統參數可同時進行縮放且保持系統可達速率無損失，并且這些參數配置可適用于多種不同的系統場景需求。以典型參數設置為例，當α=1,β=1時，信源發射功率與中繼發射功率進行縮放的物理意義在于，信源發射功率ps隨天線數N的增加實際只需Ps/N，而中繼發射功率pr實際只需Pr/N，二者實際消耗的發射功率都等比例縮小了N倍，即獲得了N倍的發射功率縮放增益，此時可達速率保持在恒定值，該場景非常適用于信源和中繼節點發射功率都受限的系統。當參數配置為α=0,β=1時，該場景適用于信源發射功率充足而中繼發射功率受限的系統。當參數配置為α=1,β=0時，該場景則適用于中繼發射功率充足，信源發射功率受限，同時需要支持大量服務用戶對的場景，這對于未來5G物聯網中的大規模機器類通信(massive Machine-Type Communications,mMTC)場景是非常適用的。

③ 當α<1,β<1時，系統的便利速率將呈現遞增趨勢，并逐漸趨向于無窮大，這主要是由于發射功率的縮放增益小于最大限度，中繼天線數增長帶來的遍歷速率增加速度要高于發射功率縮小速度，從而保證遍歷速率的持續無界增長。

④ 當α>1或者β>1時，由式(16)可知，遍歷可達速率將隨著中繼天線數的增大而逐漸衰減為零，這主要是由于發射功率的縮放因子超出了最大限制，此時中繼天線數的增加已經無法補償發射功率的過快增長，最終將會使得可達速率衰減至零。

3 仿真結果與分析

圖2給出了不同用戶數條件下，基于迫零傳輸方案的系統遍歷可達和速率隨中繼天線數的變化趨勢，仿真中設定(α,β)=(0,0)，即不考慮功率縮放增益。從仿真結果中可知，定理1中推導得出的遍歷可達速率閉合表達式理論值與蒙特卡洛數值仿真結果幾乎完全重合，表明理論推導值具有很好的逼近效果，這也表明所推導的解析表達式具有較好的精確性和可靠性。

圖3給出了當用戶對個數K=4時，在不同的功率縮放因子取值組合下，系統的遍歷可達和速率隨中繼天線數的變化趨勢。當(α,β)=(0,0)和(0.2,0.3)時，系統的遍歷可達和速率隨天線數增加呈近似對數線性增長，并且將逐漸趨于無窮大，主要是由于發射功率無縮放或縮放因子取值較小，中繼天線數增長所帶來的可達速率增益可有效地補償發射功率降低帶來的損失。當(α,β)=(1,0)，(0,1)，(1,1)時，可以看到遍歷可達和速率將隨著中繼天線數的增加而趨近于式(19)中不同的速率極限值。同時可看到，當(α,β)在(0,0)和(1,1)之間取值時，系統遍歷和速率和實際發射功率之間存在性能折中選擇。一方面，當(a,b)=(0,0)時，表明系統的實際發射功率無縮減，從而大規模天線陣列所帶來的陣列增益和復用增益最大，系統的和速率性能也最高；另一方面，當(a,b)取非零值時，信源和中繼的實際發射功率相應縮減，大規模天線帶來的陣列增益一部分用于補償，從而對遍歷速率的性能造成一定損失。特別當(α,β)=(1.5,1.6)時，顯然系統遍歷可達和速率出現衰減，并最終趨近于零。這主要是因為信源發射功率和/或中繼發射功率的縮減倍數超過了最大限度，此時大規模天線陣列增益已不能對其等價補償，導致系統和速率衰減為零。

圖2 不同用戶對個數條件下，遍歷可達和 速率隨中繼天線數的變化趨勢

圖3 不同發射功率縮放因子(α，β)組合下，遍歷可達和 速率隨中繼天線數的變化趨勢

4 結束語

本文基于空間相關信道模型，分析了迫零傳輸方案下多對用戶大規模MIMO兩跳中繼系統的遍歷可達速率漸進性能和功率縮放率。通過理論推導和分析，發現中繼收發信機天線陣列所帶來的信道空間相關性不會影響系統的遍歷可達速率性能以及信源用戶和中繼所能獲得的發射功率縮放率，這對于中繼系統部署大規模天線陣列具有十分重要的指導意義。并且，針對不同的發射功率縮放因子組合值，提出了相應的適用場景，具有較好的系統設計指導意義。