單擺在靜電場中的運動

張?zhí)煊?武漢市第六中學(xué)

引言

單擺是物理學(xué)中的理想模型之一，其場景設(shè)定在重力場中，擺球設(shè)定為等效質(zhì)點，白線長度不變。它在科學(xué)發(fā)展與教育教學(xué)中體現(xiàn)了多維度的價值，典型的可以用來測定重力加速度，研究固定點地磁變化，在氣象、導(dǎo)航、測量、地理、遙感、測繪等學(xué)科有著廣泛的應(yīng)用。從單擺的定義來看，滿足其場景的物理條件非常苛刻，實際的輕繩會由于受力而形變，擺球的大小不能忽略，以至無法完全等效為質(zhì)點，更復(fù)雜的情況是，擺球可能在周期運動中海包含震動和顫動等運動，因此實際的模型和單擺有許多不同，因此又稱實際的擺動為復(fù)擺。首先，單擺相對于復(fù)擺而言，是物理學(xué)中最簡單的模型之一，也是集“線性”與“非線性”模型，可以從線性通向非線性的研究起點。單擺設(shè)計之初的主要目的是為了計時，其不同的擺長運動周期不同，通過實驗方法，即不同擺長的多次計時可以研究擺長和周期的關(guān)系，同理，可以針對不同的擺球多次計時獲得非等效質(zhì)點的影響。但是，由于受科學(xué)技術(shù)的影響，當(dāng)時尚無條件產(chǎn)生電場并研究單擺在電場中的運動情況。本文在廣泛查閱國內(nèi)外文獻的基礎(chǔ)上，從單擺周期及重力加速度入手，研究單擺在靜電場的運動，從而為生活中鐘擺及與單擺原理相同的儀器在電場環(huán)境下的穩(wěn)定運轉(zhuǎn)提供參考。

1 單擺在重力場中的運動情況

單擺中最重要的是對周期的研究，其中伽利略通過實驗方法最早發(fā)現(xiàn)擺的振動等時性，并用實驗的方法得出單擺的周期正比于擺長除以重力加速度的平方根，邁出了實驗向理論的堅實一步。而惠更斯最早制成了擺鐘。但是，前人沒有研究出單擺在靜電場中的運動規(guī)律，所以研究單擺在靜電場中的運動很有意義。

1.1 單擺周期與重力加速度及繩長的關(guān)系

首先讓我們來利用高中數(shù)學(xué)和物理所學(xué)的知識推導(dǎo)重力場中的單擺周期公式：

證明：設(shè)繩子和豎直方向的夾角為α，繩長為L，位移為x.

這樣我們就得到了單擺周期與重力加速度及繩長的關(guān)系。

2 單擺在靜電場中的運動情況

在高中二年級的上學(xué)期，我們曾經(jīng)學(xué)過靜止的點電荷在電場中會受到電場力。在勻強電場中，正電荷受力方向與電場線相同負電荷受力方向與電場線方向相反，對于處于電場中的帶電物體也是如此。那么，對于處于靜電場中的單擺，也同樣滿足這個規(guī)律嗎？

2.1 單擺周期和電性以及所受電場力大小的關(guān)系

我們不妨設(shè)電場方向水平向左，擺球帶正電，繩子與豎直方向的夾角為θ。

回顧單擺周期運動的原理，是由于其在水平方向的受力，與擺球的振幅大小成反比，因此在擺球運行最遠處，受到的重力的水平分量最大，因此由最大的回復(fù)力，這種受力特征就是簡諧震動的受力特征，因此對水平方向受力的分析，可以給出單擺運動的周期。典型的單擺在水平方向的回復(fù)力為：

其中k為常數(shù)；

在運動過程中，斥力大小不變，方向不變，在單擺0位置的右側(cè)，與輕繩的回復(fù)力相疊加而增加，在在單擺0位置的左側(cè)，與輕繩的回復(fù)力相疊加而減小。因此在右側(cè)的運動時間將變長，左側(cè)則變短。

令電場方向與上一問相同，再設(shè)擺球帶負電。

同樣根據(jù)單擺周期運動的原理，是由于其在水平方向的受力情況不變，與擺球的振幅大小成反比，因此在擺球運行最遠處其受力情況不變，受到的重力的水平分量最大，因此由最大的回復(fù)力，是簡諧震動的受力特征，因此對水平方向受力的分析，可以給出單擺運動的周期。典型的單擺在水平方向的回復(fù)力為受引力；大小不變，方向不變，在單擺0位置的右側(cè)，與輕繩的回復(fù)力相疊加而減小，在在單擺0位置的左側(cè)，與輕繩的回復(fù)力相疊加而加強。因此在右側(cè)的運動時間將變短，左側(cè)則變長。

2.2 單擺周期與所帶電荷量的關(guān)系

設(shè)擺球所帶電荷量為Q。

當(dāng)受到的電荷量大小變化時，其在水平方向的受力受到電荷量大小變化的影響，方向不變，在單擺0位置的右側(cè)，與輕繩的回復(fù)力相疊加而減小，在在單擺0位置的左側(cè)，與輕繩的回復(fù)力相疊加而加強。因此在右側(cè)的運動時間將變更短，左側(cè)則變更長。

考慮當(dāng)電場豎直向下加入的情形，其受到的電場力由兩種情況，一種是和重力同向疊加，等效于擺球的重力增加，此時根據(jù)單擺的周期于重力加速度的關(guān)系，可以得到單擺的擺動周期將減小；另一方面，和重力異向相消時，等效于擺球的重力減小，此時根據(jù)單擺的周期與重力加速度的關(guān)系，可以得到單擺的擺動周期將延長。

此外，當(dāng)擺球的質(zhì)量不均時，擺球的等效質(zhì)點中心位置會發(fā)生偏移，此時的運動不考慮擺球的顫動，近似等效為單擺運動，其擺線的等效長度發(fā)生了變化，因此其運動周期也將發(fā)生同樣方向的變化。

2.3 靜電場中單擺受力對運動情況的影響

3 單擺實際應(yīng)用

3.1 擺鐘

由于小角度單擺具有等時性的特征，即單擺運動周期與運動角度無關(guān)，僅與擺鐘自身有關(guān)，惠更斯發(fā)明了擺鐘。擺鐘根據(jù)要求可以制成掛鐘，天文鐘，座鐘等形式。

鐘擺擺動是靠重力勢能和動能相互轉(zhuǎn)化來進行運動的,當(dāng)你把鐘擺拉高,由于重力影響它會往下擺動,由于到達最低位置時速度最大不為零,不會直接停在那里,這樣它就會繼續(xù)運動以致沖過最低位置,而當(dāng)擺至最高位置時由于失去了全部的動能,在重力作用下,繼續(xù)向回擺,這與彈簧的運動一模一樣,只不過位移變成了角位移.單擺如此往復(fù)運動,就不停息的運動著。

擺鐘的計時是依靠周期性振動的單擺,其公式為時間等于振動次數(shù)乘以振動周期。由擺的公式,可見要提高精確度,必須要減小擺長。在高溫時,由于熱脹冷縮,擺長變長,周期變長,擺動變慢.因此,精密擺鐘對環(huán)境要求苛刻,同時也要有其它材料參與,以補償溫度影響。另外,由于不同地理位置,重力加速度不同,鐘擺的周期便會不同.由于空氣阻力的影響,也會引起鐘擺周期的變化。鐘擺作為一種機械擺,具有各種各樣的缺點,在計時上已經(jīng)被石英電子鐘取代了,不過作為一種有情調(diào)的裝飾品,仍然很受大家的喜愛。

3.2 測重力加速度

單擺另一個重要的應(yīng)用便是測量重力加速度。根據(jù)三角函數(shù)中小角度近似計算方法，由小角度擺動周期公式,顯然只要知道了周期與擺長,重力加速度便可以求出了.周期由實驗得出,擺長可以直接測量出來。通常,為了較高的精確度,要求擺幅θ不超過5度，更大的速度容易造成復(fù)擺，其運動學(xué)狀態(tài)方程的描述十分復(fù)雜.由于擺線存在質(zhì)量,小球不可能為一質(zhì)點,存在空氣阻力的影響,這時要求對擺長進行修正然而。若要求結(jié)果精確度一定時,可以忽略以上影響。

4 結(jié)論

本文針對研究結(jié)果所揭示的關(guān)于靜電場中單擺運動的原理，提出了當(dāng)θ很小時單擺在靜電場中近似做簡諧運動的結(jié)論.利用單擺的原理，不僅可以在復(fù)雜條件下精確測量重力加速度，還可以提高鐘表的準確度，甚至是手機內(nèi)陀螺儀的精度.單擺作為一個非線性的動力學(xué)系統(tǒng), 其演化過程存在著多樣性和復(fù)雜性,簡單的單擺并不簡單,本文討論的單擺限于小角度內(nèi)運動，當(dāng)角度較大，如果振動的角度大于10°或以上時，其振動的周期不能進行以上近似，將隨振幅的增加而變大，就不成為理想的單擺了。如擺球的尺寸相當(dāng)大，繩的質(zhì)量不能忽略，就成為復(fù)擺，周期就和擺球的尺寸有關(guān)了，擺動的過程中運動情況更為復(fù)雜。尤其是其混沌行為,在這里只能進行一些簡單的描述.對其深入討論,作為下一步的工作，還得在前沿學(xué)科 — —混沌理論中進行。