單擺在靜電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

張?zhí)煊?武漢市第六中學(xué)

引言

單擺是物理學(xué)中的理想模型之一，其場(chǎng)景設(shè)定在重力場(chǎng)中，擺球設(shè)定為等效質(zhì)點(diǎn)，白線長(zhǎng)度不變。它在科學(xué)發(fā)展與教育教學(xué)中體現(xiàn)了多維度的價(jià)值，典型的可以用來測(cè)定重力加速度，研究固定點(diǎn)地磁變化，在氣象、導(dǎo)航、測(cè)量、地理、遙感、測(cè)繪等學(xué)科有著廣泛的應(yīng)用。從單擺的定義來看，滿足其場(chǎng)景的物理?xiàng)l件非常苛刻，實(shí)際的輕繩會(huì)由于受力而形變，擺球的大小不能忽略，以至無法完全等效為質(zhì)點(diǎn)，更復(fù)雜的情況是，擺球可能在周期運(yùn)動(dòng)中海包含震動(dòng)和顫動(dòng)等運(yùn)動(dòng)，因此實(shí)際的模型和單擺有許多不同，因此又稱實(shí)際的擺動(dòng)為復(fù)擺。首先，單擺相對(duì)于復(fù)擺而言，是物理學(xué)中最簡(jiǎn)單的模型之一，也是集“線性”與“非線性”模型，可以從線性通向非線性的研究起點(diǎn)。單擺設(shè)計(jì)之初的主要目的是為了計(jì)時(shí)，其不同的擺長(zhǎng)運(yùn)動(dòng)周期不同，通過實(shí)驗(yàn)方法，即不同擺長(zhǎng)的多次計(jì)時(shí)可以研究擺長(zhǎng)和周期的關(guān)系，同理，可以針對(duì)不同的擺球多次計(jì)時(shí)獲得非等效質(zhì)點(diǎn)的影響。但是，由于受科學(xué)技術(shù)的影響，當(dāng)時(shí)尚無條件產(chǎn)生電場(chǎng)并研究單擺在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)情況。本文在廣泛查閱國(guó)內(nèi)外文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，從單擺周期及重力加速度入手，研究單擺在靜電場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)，從而為生活中鐘擺及與單擺原理相同的儀器在電場(chǎng)環(huán)境下的穩(wěn)定運(yùn)轉(zhuǎn)提供參考。

1 單擺在重力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)情況

單擺中最重要的是對(duì)周期的研究，其中伽利略通過實(shí)驗(yàn)方法最早發(fā)現(xiàn)擺的振動(dòng)等時(shí)性，并用實(shí)驗(yàn)的方法得出單擺的周期正比于擺長(zhǎng)除以重力加速度的平方根，邁出了實(shí)驗(yàn)向理論的堅(jiān)實(shí)一步。而惠更斯最早制成了擺鐘。但是，前人沒有研究出單擺在靜電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，所以研究單擺在靜電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)很有意義。

1.1 單擺周期與重力加速度及繩長(zhǎng)的關(guān)系

首先讓我們來利用高中數(shù)學(xué)和物理所學(xué)的知識(shí)推導(dǎo)重力場(chǎng)中的單擺周期公式：

證明：設(shè)繩子和豎直方向的夾角為α，繩長(zhǎng)為L(zhǎng)，位移為x.

這樣我們就得到了單擺周期與重力加速度及繩長(zhǎng)的關(guān)系。

2 單擺在靜電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)情況

在高中二年級(jí)的上學(xué)期，我們?cè)?jīng)學(xué)過靜止的點(diǎn)電荷在電場(chǎng)中會(huì)受到電場(chǎng)力。在勻強(qiáng)電場(chǎng)中，正電荷受力方向與電場(chǎng)線相同負(fù)電荷受力方向與電場(chǎng)線方向相反，對(duì)于處于電場(chǎng)中的帶電物體也是如此。那么，對(duì)于處于靜電場(chǎng)中的單擺，也同樣滿足這個(gè)規(guī)律嗎？

2.1 單擺周期和電性以及所受電場(chǎng)力大小的關(guān)系

我們不妨設(shè)電場(chǎng)方向水平向左，擺球帶正電，繩子與豎直方向的夾角為θ。

回顧單擺周期運(yùn)動(dòng)的原理，是由于其在水平方向的受力，與擺球的振幅大小成反比，因此在擺球運(yùn)行最遠(yuǎn)處，受到的重力的水平分量最大，因此由最大的回復(fù)力，這種受力特征就是簡(jiǎn)諧震動(dòng)的受力特征，因此對(duì)水平方向受力的分析，可以給出單擺運(yùn)動(dòng)的周期。典型的單擺在水平方向的回復(fù)力為：

其中k為常數(shù)；

在運(yùn)動(dòng)過程中，斥力大小不變，方向不變，在單擺0位置的右側(cè)，與輕繩的回復(fù)力相疊加而增加，在在單擺0位置的左側(cè)，與輕繩的回復(fù)力相疊加而減小。因此在右側(cè)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間將變長(zhǎng)，左側(cè)則變短。

令電場(chǎng)方向與上一問相同，再設(shè)擺球帶負(fù)電。

同樣根據(jù)單擺周期運(yùn)動(dòng)的原理，是由于其在水平方向的受力情況不變，與擺球的振幅大小成反比，因此在擺球運(yùn)行最遠(yuǎn)處其受力情況不變，受到的重力的水平分量最大，因此由最大的回復(fù)力，是簡(jiǎn)諧震動(dòng)的受力特征，因此對(duì)水平方向受力的分析，可以給出單擺運(yùn)動(dòng)的周期。典型的單擺在水平方向的回復(fù)力為受引力；大小不變，方向不變，在單擺0位置的右側(cè)，與輕繩的回復(fù)力相疊加而減小，在在單擺0位置的左側(cè)，與輕繩的回復(fù)力相疊加而加強(qiáng)。因此在右側(cè)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間將變短，左側(cè)則變長(zhǎng)。

2.2 單擺周期與所帶電荷量的關(guān)系

設(shè)擺球所帶電荷量為Q。

當(dāng)受到的電荷量大小變化時(shí)，其在水平方向的受力受到電荷量大小變化的影響，方向不變，在單擺0位置的右側(cè)，與輕繩的回復(fù)力相疊加而減小，在在單擺0位置的左側(cè)，與輕繩的回復(fù)力相疊加而加強(qiáng)。因此在右側(cè)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間將變更短，左側(cè)則變更長(zhǎng)。

考慮當(dāng)電場(chǎng)豎直向下加入的情形，其受到的電場(chǎng)力由兩種情況，一種是和重力同向疊加，等效于擺球的重力增加，此時(shí)根據(jù)單擺的周期于重力加速度的關(guān)系，可以得到單擺的擺動(dòng)周期將減小；另一方面，和重力異向相消時(shí)，等效于擺球的重力減小，此時(shí)根據(jù)單擺的周期與重力加速度的關(guān)系，可以得到單擺的擺動(dòng)周期將延長(zhǎng)。

此外，當(dāng)擺球的質(zhì)量不均時(shí)，擺球的等效質(zhì)點(diǎn)中心位置會(huì)發(fā)生偏移，此時(shí)的運(yùn)動(dòng)不考慮擺球的顫動(dòng)，近似等效為單擺運(yùn)動(dòng)，其擺線的等效長(zhǎng)度發(fā)生了變化，因此其運(yùn)動(dòng)周期也將發(fā)生同樣方向的變化。

2.3 靜電場(chǎng)中單擺受力對(duì)運(yùn)動(dòng)情況的影響

3 單擺實(shí)際應(yīng)用

3.1 擺鐘

由于小角度單擺具有等時(shí)性的特征，即單擺運(yùn)動(dòng)周期與運(yùn)動(dòng)角度無關(guān)，僅與擺鐘自身有關(guān)，惠更斯發(fā)明了擺鐘。擺鐘根據(jù)要求可以制成掛鐘，天文鐘，座鐘等形式。

鐘擺擺動(dòng)是靠重力勢(shì)能和動(dòng)能相互轉(zhuǎn)化來進(jìn)行運(yùn)動(dòng)的,當(dāng)你把鐘擺拉高,由于重力影響它會(huì)往下擺動(dòng),由于到達(dá)最低位置時(shí)速度最大不為零,不會(huì)直接停在那里,這樣它就會(huì)繼續(xù)運(yùn)動(dòng)以致沖過最低位置,而當(dāng)擺至最高位置時(shí)由于失去了全部的動(dòng)能,在重力作用下,繼續(xù)向回?cái)[,這與彈簧的運(yùn)動(dòng)一模一樣,只不過位移變成了角位移.單擺如此往復(fù)運(yùn)動(dòng),就不停息的運(yùn)動(dòng)著。

擺鐘的計(jì)時(shí)是依靠周期性振動(dòng)的單擺,其公式為時(shí)間等于振動(dòng)次數(shù)乘以振動(dòng)周期。由擺的公式,可見要提高精確度,必須要減小擺長(zhǎng)。在高溫時(shí),由于熱脹冷縮,擺長(zhǎng)變長(zhǎng),周期變長(zhǎng),擺動(dòng)變慢.因此,精密擺鐘對(duì)環(huán)境要求苛刻,同時(shí)也要有其它材料參與,以補(bǔ)償溫度影響。另外,由于不同地理位置,重力加速度不同,鐘擺的周期便會(huì)不同.由于空氣阻力的影響,也會(huì)引起鐘擺周期的變化。鐘擺作為一種機(jī)械擺,具有各種各樣的缺點(diǎn),在計(jì)時(shí)上已經(jīng)被石英電子鐘取代了,不過作為一種有情調(diào)的裝飾品,仍然很受大家的喜愛。

3.2 測(cè)重力加速度

單擺另一個(gè)重要的應(yīng)用便是測(cè)量重力加速度。根據(jù)三角函數(shù)中小角度近似計(jì)算方法，由小角度擺動(dòng)周期公式,顯然只要知道了周期與擺長(zhǎng),重力加速度便可以求出了.周期由實(shí)驗(yàn)得出,擺長(zhǎng)可以直接測(cè)量出來。通常,為了較高的精確度,要求擺幅θ不超過5度，更大的速度容易造成復(fù)擺，其運(yùn)動(dòng)學(xué)狀態(tài)方程的描述十分復(fù)雜.由于擺線存在質(zhì)量,小球不可能為一質(zhì)點(diǎn),存在空氣阻力的影響,這時(shí)要求對(duì)擺長(zhǎng)進(jìn)行修正然而。若要求結(jié)果精確度一定時(shí),可以忽略以上影響。

4 結(jié)論

本文針對(duì)研究結(jié)果所揭示的關(guān)于靜電場(chǎng)中單擺運(yùn)動(dòng)的原理，提出了當(dāng)θ很小時(shí)單擺在靜電場(chǎng)中近似做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的結(jié)論.利用單擺的原理，不僅可以在復(fù)雜條件下精確測(cè)量重力加速度，還可以提高鐘表的準(zhǔn)確度，甚至是手機(jī)內(nèi)陀螺儀的精度.單擺作為一個(gè)非線性的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng), 其演化過程存在著多樣性和復(fù)雜性,簡(jiǎn)單的單擺并不簡(jiǎn)單,本文討論的單擺限于小角度內(nèi)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)角度較大，如果振動(dòng)的角度大于10°或以上時(shí)，其振動(dòng)的周期不能進(jìn)行以上近似，將隨振幅的增加而變大，就不成為理想的單擺了。如擺球的尺寸相當(dāng)大，繩的質(zhì)量不能忽略，就成為復(fù)擺，周期就和擺球的尺寸有關(guān)了，擺動(dòng)的過程中運(yùn)動(dòng)情況更為復(fù)雜。尤其是其混沌行為,在這里只能進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的描述.對(duì)其深入討論,作為下一步的工作，還得在前沿學(xué)科 — —混沌理論中進(jìn)行。