基于MATLAB軟件的線性時不變系統頻域分析

馮旖哲 劉玉琛 王菁 山東科技大學數學與系統科學學院 付楷文 山東科技大學計算機科學與工程學院

引言

MATLAB是MathWorks公司推出的以矩陣計算為基礎的，集數值計算、圖形處理和程序開發為一體的功能強大的數學類應用軟件，它由“主包”和擴展功能及應用性工具箱組成。利用MATLAB完備的數學函數庫及工具箱，通過簡單編程可直接求得復雜問題的數值解或者解析解，并能給數據以二維、三維乃至四維的直觀表現，使科技人員對大量原始數據的分析變得得心應手。對一個LTI(Linear Time Invariant)系統的描述主傳遞函數模型、零極點增益模型、和狀態空間模型等模型來進行。MATLAB根據面向對象的思想把幾種模型封裝成為統一的LTI系統對象，子對能通過命令相互轉換，大大方便了對系統的描述和運算。

1 線性時不變系統

線性時不變系統的輸入-輸出關系滿足如下關系式：

式中h(t)為系統的沖激響應，x(t)為輸入信號，y(t)為輸出信號。如果輸入信號x(t)為復指數型的信號，則輸出為：

即輸出也為復指數型的函數，其與輸入信號具有相同的頻率，而幅度比輸入信號幅度大了倍。放大量是系統的沖激響應函數h(t)和輸入信號頻率的函數。

2 LTI系統的頻域分析

①信號帶寬選擇為5Hz,頻率分辨率為0.01Hz。信號的幅度頻譜如下圖。

圖1 信號幅度頻譜

②假如信號通過一個帶寬為1.5Hz的理想低通濾波器，確定濾波器的輸出。Fs為5Hz，則傳遞函數為H(f)，與X(f)相乘得到輸出傅里葉變換Y(f)。利用該傳遞函數得出輸出信號如下圖。

圖2 輸出信號圖

MATLAB軟件實現，線性時不變系統的頻域分析及輸出結果如下。

3 結論

本文在MATLAB軟件運用的基礎上給出了線性時不變系統分析的相應計算程序和運算結果，同時運用其圖形處理功能，將這些運算結果用可視化的圖形表示出來。結果表明，MATLAB的應用使復雜系統的分析計算得到了簡化，為信號與系統分析提供了一個有效的輔助工具。