一種伺服系統兩自由度復合控制器設計的新方法

劉紅俐，朱其新，朱永紅，張國平

（1.蘇州科技大學 機械工程學院，蘇州 215009；2.景德鎮陶瓷大學機電工程學院，景德鎮 333001；3.深圳市大族機器人有限公司，深圳 518058）

0 引言

伺服系統又稱隨動系統，是用來精確地跟隨或復現某個過程的反饋控制系統。伺服系統使物體的位置、方位、狀態等輸出被控量能夠跟隨給定值的任意變化的自動控制系統。伺服系統最初用于國防軍工，如火炮的控制，船艦、飛機的自動駕駛，導彈發射等，后來逐漸推廣到國民經濟的許多部門，如自動機床、無線跟蹤控制等[1～3]。

在過去幾十年中，伺服控制被國內學者進行了廣泛的研究。文獻[4]提出了一種交流永磁同步電機伺服系統的魯棒控制器的設計方法，文獻[5]提出了交流永磁同步電機伺服系統的非線性控制器的設計方法，文獻[6]設計的交流永磁同步電機伺服系統的模糊自適應內模控制器的設計，文獻[7]提出了應用于磁盤驅動的伺服系統的前饋解耦控制器的設計。但已發表的伺服控制文獻大多討論的是伺服系統的單自由度控制。

隨著科學技術的不斷發展，人們對控制系統的要求也越來越高，不僅要求控制系統有很高的跟隨性能，而且要求控制系統有很強的抗干擾能力。在工業控制領域廣泛應用的PID控制器等常規控制器，都只能設定一組控制器參數，屬于一自由度控制器。一般來說，如果按干擾抑制特性最優來整定參數，則系統的跟隨性能就會差；如果按跟隨性能來整定參數，則干擾抑制特性就會不令人滿意。所以常規控制器的設計通常采取折中或試湊的辦法解決。這樣一般能滿足大多數控制系統的控制要求，但對高性能伺服控制系統而言則難以滿足要求。為了解決常規控制器存在的問題，Horowitz在文獻[8]中提出了兩自由度控制器的思想。所謂兩自由度控制是指采用適當的方法，找到兩族獨立的參數設計出兩個獨立的控制器，分別用來優化系統的跟隨性能和干擾抑制特性。但兩自由度控制在很長一段時間沒有引起廣大研究者的足夠重視，直到1984年，在Horowitz的論文發表20年后，文獻[9]才深入研究了兩自由度PID控制器的優點，之后在兩自由度PID控制器這一議題上又發表了較多論文[10]。

已發表的文獻在討論PID控制器的設計時，可分為兩類：一類是PID參數的整定，PID參數整定的方法適用于對動靜態性能要求不高的系統，但對高速高精度的伺服控制等場合，PID整定的方法不再適用；另一類是PID參數的優化設計，該類方法比較復雜，優化時間較長，而且不易被一般工程師所掌握[11]。針對現有PID控制器設計上的不足，本文提出一種基于極點配置的PID控制器設計的簡便的方法。據作者所知，基于極點配置的兩自由度控制器設計尚未見報道。受文獻[8]和文獻[9]的啟發，本文將極點配置的PID控制器設計方法應用于兩自由度伺服系統的控制器的設計中，詳細討論了前饋控制器和基于極點配置的PID反饋控制器的設計方法。

1 伺服系統位置環對象的數學模型

伺服系統通常包含三環結構，即電流環、速度環和位置環。要設計位置環的調節器，應將速度環用其閉環傳函代替，但由文獻[1]可知，按典型Ⅰ型系統設計電流控制器和按典Ⅱ系統來設計速度環控制器，則速度還的閉環傳遞函數為一高階系統，此時位置控制器的設計十分復雜，所以應對其作降階或簡化處理。從工程上講，可以應用反映位置環主要特征的環節來等效。

當位置環的截至頻率遠小于速度環的截至頻率時，速度環的閉環傳遞函數可以等效為一個慣性環節[1,12]，即：

速度的積分是位置，所以位置環對象的數學模型為：

其中K=Kve/Tve，α=1/Tve，K為位置環對象增益，α為位置環對象的阻尼系數。

2 兩自由度復合控制器的設計

2.1 不變性原理

兩自由度復合控制的控制結構如圖1所示，其中R(s)為系統給定，Y(s)為系統被控量，W0(s)為被控對象傳函，Wc(s)為系統控制器傳函，Wf(s)為前饋控制器傳函，則系統的閉環傳函為：

圖1 復合控制的結構圖

誤差傳函為：

2.2 控制器的設計

由不變性原理設計前饋控制器，即：

1）在分析電流環時，速度環的反電動勢被忽略，將電流環看成一個慣性環節只是一種近似。

2）實際的速度環的閉環傳遞函數是一高階對象，將其看成一個一個慣性環節也是一種近似。

3）在位置伺服的被控對象中沒有考慮伺服機械對象的共振模態。

所以要使伺服系統具有良好的動靜態性能，必須要精心設計前饋控制器和PID反饋控制器，前饋控制器可以按不變性原理設計。PID反饋控制器可以由極點配置的方式設計，由式(1)可知，位置伺服系統的被控對象為，在實際的伺服系統設計中，K可由系統分析估算得到或由參數辨識精確得到，α也可由參數辨識精確得到，但在不進行參數辨識時α也可以根據經驗直接取值，α一般情況下在10～50之間取值便可。

由式(5)可知，前饋控制器由兩個純微分環節組成，這在物理上難以實現。但在計算機控制系統中，可以在離散的狀態下近似實現。

PID控制器的傳遞函數可表示：

其中Kq，Ki，Kd分別為比例、積分和微分環節的系數。

在不包括前饋環節時，位置環的閉環傳函為：

由于閉環傳函的分母為3階，所以閉環系統有3個極點，可以將這3個極點配置在如圖2所示的位置上。

圖2 系統期望極點的位置圖

在圖2中，s1和s2為一對共軛極點，s3為一負實極點且：

其中ξ為阻尼系數，wn為無阻尼振蕩頻率，fnl為第三極點比例系數。即將位置閉環傳遞函數的分母配置成，也即：

比較式(7)和式(9)可知：

易得：

另外：

在設計PID控制器之前，應根據系統的動靜態性能要求和傳送部件的特性給出，wn取值越大，系統的響應越快，但太大會導致系統不穩定；為保證系統具有的足夠的相角裕度，同時又具有較好的響應速度，ξ一般在0.6～0.8之間取值，常取0.707；fnl一般在1左右取值。這樣由式(11)～式(15)便可計算出Kp，Ki，Kd，Ka和Kv。這樣便完成了PID控制器和前饋控制器的設計。

3 實驗

一個半導體生產裝備中的伺服系統被用來驗證本文的方法。實驗中參數如下：系統的采樣頻率為2000Hz、伺服電機的極數是2、電機每一轉的編碼器的脈沖數為27200、編碼器的精度為1μ m/count，K=3055，α=30，ωn=90π，ξ=0.707，fnl=0.5。在實驗中用了S型加減速運動軌跡指令。伺服系統的位置跟蹤響應曲線如圖3所示，位置誤差曲線如圖4所示。由圖3和圖4可知，該復合控制器具有令人滿意的動態和靜態性能。

圖3 伺服系統的位置跟蹤曲線

圖4 伺服系統的位置誤差曲線

4 結論

本文提出了一種兩自由度控制器設計的新方法，前饋控制器通過不變性原理來設計，反饋控制器通過極點配置的方法來設計，并詳細介紹了基于極點配置的PID控制器的設計方法，同時將該控制器應用于伺服系統的控制中。實驗結果表明該兩自由度復合控制器具有令人滿意的動態和靜態性能。本文只介紹了二階對象的PID控制器的極點配置的設計方法，至于高階對象的PID控制器的極點配置的設計方法有待于進一步研究。