難忘數學情緣
——記清華大學數學科學系副教授史作強

□ 汲曉奇

史作強

“給我一個支點，我可以撬起地球。”這是古希臘物理學家阿基米德家喻戶曉的一句名言，也是當代青年充滿激情與自信，勇往直前無所畏懼的成功宣言。一千多年后，意大利著名數學家伽利略也用一句類似的話為世人展現了數學的魅力：“給我空間、時間及對數，我可以創造一個宇宙。”

“數學”一詞源自希臘語，是研究數量、結構、變化、空間以及信息等多種概念的一門學科，在人類漫長的歷史發展和社會變遷中，數學在其中發揮著不可替代的作用，也是學習和研究現代科學技術必不可少的基本工具。

多年來，清華大學數學科學系副教授史作強一直與數學為伴，專注于偏微分方程數值方法、圖像處理、機器學習中的偏微分方程模型以及非線性非平穩信號時頻分析等方面的研究，不懈地探索著數學世界里的精彩。

“宅”在數學世界

在史作強看來，自己是一個有些“懶”的人，因而一直以來也“懶”得改變研究方向，只要認準一件事，就一定要做到底，對于數學就是如此。本科期間，陰差陽錯之下，他被調劑到數學專業，從此便與數學結下不解之緣。有點“懶”，性格上又有些“宅”的史作強，發現數學竟然與他如此合拍。“我喜歡一個人做研究，而學習數學總能使我靜下心來。”就這樣，有了數學的陪伴，充實而忙碌的大學生活一晃而過。因成績優異，史作強2003年本科畢業后被推薦到著名應用數學家林家翹教授建立的清華大學周培源應用數學研究中心攻讀博士學位，并成為該中心培養的第一批博士生。

到周培源中心后，史作強對應用數學充滿了熱忱，但是一開始便遇到了不小的困難。當時，研究中心剛剛成立不久，連一個正式聘任的老師都沒有，這種困境一度令史作強在數學研究上感到“心有余而力不足”。然而很快事情便有了轉機，美國加州理工學院的侯一釗教授到研究中心訪問時，與史作強在研究方面做了深入探討，兩人一拍即合，于是史作強在博士期間便跟隨侯一釗教授遠赴美國加州理工學院從事流固耦合建模與算法方面的研究并且順利完成了博士論文。

美國期間的學習令史作強對應用數學的了解更加全面，也打下了深厚的研究基礎，這使得他接下來的研究更加得心應手。結束美國的研究工作回到清華大學工作之后，他延續博士期間的工作申請了國家自然科學基金青年項目“浸入邊界法的高效穩定數值格式”，重點研究在流體和彈性體結構相互作用這一問題中常用且極為重要的計算方法：浸入邊界法。該方法應用領域廣泛，但其數值剛性較大，如果想要研究系統長時間的演化，計算量會變得極其龐大。為了解決這個問題，史作強希望能夠發展一種穩定高效的半隱式離散格式，以此來克服時間步長的限制。

他一改傳統方法，創造性地將推導高效數值格式的過程分為兩步：首先得到數值穩定較好的時間離散格式；然后應用小尺度分解的方法降低計算量。此外，他還采用了與界面幾何結構和應力應變關系相匹配的坐標，在更好地描述界面形變的同時，也給應用小尺度分解帶來了便利。

贏在稀疏時頻分解

在美國加州理工大學完成博士學業后，史作強繼續留在該校進行博士后的相關工作。期間他將研究方向轉向了非線性非平穩信號時頻分析。現實中想要理解很多自然現象，背后都少不了高效的數據分析作支撐。而在很多數據中，頻率中包涵的重要信息，又往往可以用來揭示和理解數據背后的物理機制。因此，一種完全自適應于數據本身的時頻分析方法，在理解數據及其背后隱藏的物理機制中就變得格外重要。

基于經驗模態分解和壓縮感知，史作強于2017年主持了國家自然科學基金面上項目“數據驅動的稀疏時頻分解”，提出發展一種數據驅動的稀疏時頻分解方法。這一研究領域不僅成為國際上的研究重點與熱點，也是史作強一直以來希望解決的難題。為此，他將EMD方法與壓縮感知相結合，提出了基于稀疏時頻分解的數學模型。該方法在足夠大的字典中尋找信號最稀疏的分解，通過巧妙地設計字典成功達到了使該方法完全自適應于數據本身的目的。在得到自適應性的同時，史作強又將壓縮感知中最新的數值方法與時頻分析相結合，最終得到了高效的數值方法。

志在機器學習

完成了博士及博士后期間一系列研究后，史作強開始尋找新的研究方向。史作強將目光放在了近年來引起非常多關注的機器學習、人工智能領域。結合自己的研究背景，史作強將微分流形和偏微分方程應用于機器學習領域，取得了一系列創新研究成果。

首先史作強提出了低維流形模型并成功地應用于各類數據分析問題中。低維流行模型巧妙地利用數據流形的維數作為正則項來幫助我們重構數據流形并進一步利用流形來揭示隱藏在數據中的信息。在低維流行模型的求解過程中，需要在高維空間無規則點云上求解偏微分方程，傳統的偏微分方程計算方法對于這種情況無能為力。為此，史作強創造性地提出了點積分方法，首先將微分方程轉化為積分方程，然后在點云上離散求解。該方法不需要點云的結構信息，非常易于實現并且還具有對稱性、強制性、極值原理等非常重要的理論性質。

在最近的研究中，史作強進一步發現流形上的偏微分方程與深度學習網絡有密切的聯系，例如，殘差網絡可以看作是對流方程在高維空間中的離散。這一發現為深度學習網絡的研究開辟了新的方向。利用這種聯系，我們可以利用微分流形和偏微分方程中豐富的理論結果和計算方法來研究和構建深度學習網絡。另外，深度學習網絡也給微分流形、偏微分方程提出了新的問題，刺激新的理論和方法的產生。傳統的微分流形、偏微分方程與新興的深度學習網絡的交叉必將對相關領域的研究產生極大的推動。

在劍橋大學圖書館

回望在數學研究中已經取得的多項突破，史作強并沒有覺得輕松，相反他仍覺得未來還有許多謎題等待他去挖掘。他表示接下來會乘勝追擊，在取得的成果基礎上繼續開展機器學習中的偏微分方程模型方面的研究，希望能夠利用微分流形、偏微分方程等數學工具為機器學習、深度學習建立理論基礎，推動機器學習和應用數學的發展。對于接下來的研究，史作強充滿了激情和憧憬，希望能夠再創輝煌，與應用數學繼續未了的情緣。