一種基于CORDIC算法的改進(jìn)型DDS設(shè)計(jì)

黃 瑋，崔喬冬，王堂勝，周彭宇，謝 帥，杜濱媛

（江蘇信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇 無(wú)錫 214000）

0 引 言

DDS即直接數(shù)字頻率合成技術(shù)，由美國(guó)學(xué)者J.Tiercy，M.Rader和B.Gold于1971年首次提出[1]。其結(jié)構(gòu)主要包括相位累加器、只讀存儲(chǔ)器、數(shù)模轉(zhuǎn)換器和低通濾波器等。相對(duì)于第一代直接模擬頻率合成技術(shù)和第二代間接頻率合成技術(shù)來(lái)說(shuō)，DDS技術(shù)具有頻率分辨率高、低功耗、速度快等優(yōu)點(diǎn)。

DDS的設(shè)計(jì)方法有多種[2]。傳統(tǒng)的查找表法結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，易實(shí)現(xiàn)，但精度較低，需要較大的ROM容量。多項(xiàng)式近似法對(duì)存儲(chǔ)容量的要求較低，精度較高，但電路結(jié)構(gòu)復(fù)雜，工作速度較慢。CORDIC算法采用簡(jiǎn)單的移位操作替代了原來(lái)復(fù)雜的計(jì)算，提升了計(jì)算速度，并能在存儲(chǔ)容量要求不高的情況下獲得較高精度。

DDS可以裝載并寄存用戶存入的頻率控制碼，根據(jù)控制碼進(jìn)行相位累加，根據(jù)相位大小得到不同的電壓幅度，實(shí)現(xiàn)相位-幅度轉(zhuǎn)換。此時(shí)得到的一般是數(shù)字化的正弦波，還需要通過(guò)數(shù)模轉(zhuǎn)換器和低通濾波器得到可應(yīng)用的模擬信號(hào)，即用戶所需的頻率。

1 DDS系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

一個(gè)典型的DDS系統(tǒng)結(jié)構(gòu)（如圖1所示）通常包括四個(gè)部分[3]，分別為相位累加器（PA）、相幅轉(zhuǎn)換器（ROM）、數(shù)模轉(zhuǎn)換器（DAC）和低通濾波器（LPF）。其中，相幅轉(zhuǎn)換器是系統(tǒng)中最核心的部分，可以將相位轉(zhuǎn)換為幅度，對(duì)整個(gè)DDS的影響最大，是本次設(shè)計(jì)的重點(diǎn)。

實(shí)現(xiàn)相幅轉(zhuǎn)換器的方法有很多，包括查找表法、泰勒級(jí)數(shù)近似法等[4]，但其對(duì)存儲(chǔ)容量、計(jì)算精度等方面的需求無(wú)法滿足。CORDIC（Coordinate Rotation Digital Computer）算法采用坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)，可以計(jì)算三角函數(shù)、雙曲函數(shù)等基本功能函數(shù)。其通過(guò)加法運(yùn)算、數(shù)據(jù)移位和迭代等基本操作實(shí)現(xiàn)函數(shù)計(jì)算。由于不需要乘法、除法等相對(duì)復(fù)雜的運(yùn)算，因此不需要太多的存儲(chǔ)空間，且相應(yīng)的電路結(jié)構(gòu)不復(fù)雜，完全適用于DDS系統(tǒng)設(shè)計(jì)。

圖1 DDS結(jié)構(gòu)原理

2 CORDIC算法的改進(jìn)

CORDIC算法有兩種運(yùn)算模式[5]，即旋轉(zhuǎn)模式和向量模式。本文中采用旋轉(zhuǎn)模式，設(shè)定基數(shù)，再通過(guò)一系列運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)角度的不斷調(diào)整，進(jìn)而不斷逼近設(shè)定的旋轉(zhuǎn)角度。

傳統(tǒng)的CORDIC算法實(shí)現(xiàn)主要有循環(huán)迭代結(jié)構(gòu)和流水線迭代結(jié)構(gòu)兩種。循環(huán)迭代結(jié)構(gòu)借助二選一的數(shù)據(jù)選擇器，不斷將計(jì)算結(jié)果輸入迭代結(jié)構(gòu)，通過(guò)多次循環(huán)獲得所需值，所需存儲(chǔ)容量小，但每次只能進(jìn)行一個(gè)運(yùn)算，工作速度慢。而流水線結(jié)構(gòu)可以使電路在時(shí)鐘周期內(nèi)執(zhí)行運(yùn)算，運(yùn)算量大，大大提升了工作效率。

為了達(dá)到簡(jiǎn)化電路結(jié)構(gòu)、節(jié)省存儲(chǔ)空間的目的，在傳統(tǒng)CORDIC算法的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，采用三角函數(shù)近似變換，使傳統(tǒng)CORDIC算法計(jì)算每次迭代的存儲(chǔ)角度時(shí)更為簡(jiǎn)單。混合CORDIC算法結(jié)構(gòu)圖如圖2所示。

圖2 混合CORDIC算法

CORDIC算法中總的輸入旋轉(zhuǎn)角度θ可以由一系列二進(jìn)制數(shù)近似線性表示：

其中，?i∈{-1,1}，當(dāng)?i為1時(shí)，角度沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)；當(dāng)?i為-1時(shí)，角度沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，δ為角度近似誤差，滿足δ＜2-i，且2-i應(yīng)盡可能小，以最大程度減小近似誤差。計(jì)算過(guò)程中，每次迭代存儲(chǔ)時(shí)的輸入角度為arctan2-k-1arctan2-k-1（其中k=0，1，2…）。當(dāng)k足夠小時(shí)，arctan2-k-1≈2-k-1，如此一來(lái)，為了獲得所需要的精度，CORDIC算法中最后一次旋轉(zhuǎn)的角度需要小于2-i。

迭代計(jì)算過(guò)程中，不需要每次重新輸入。利用正余弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，通過(guò)折疊象限，系統(tǒng)只需改變輸入角度區(qū)間內(nèi)的初始相位，便能得到整個(gè)2π象限的正余弦函數(shù)值，從而可以確定區(qū)間的輸入。各區(qū)間所對(duì)應(yīng)的輸入值如表1所示。

為了實(shí)現(xiàn)16位的系統(tǒng)精度，至少需要16位的字長(zhǎng)，對(duì)于[0，π/4]內(nèi)任意輸入的16位精度的任意角θ，可用二進(jìn)制表示法表示：

其中，bi為符號(hào)位，bi∈{0,1}，進(jìn)一步化簡(jiǎn)為：

表1 各區(qū)間所對(duì)應(yīng)的輸入值

其中，rk-1=2bi-1∈{-1,1}。由于精度要求16位，因此可將式（3）中的1/217項(xiàng)忽略，則為：

式（4）中，如果θ2所對(duì)應(yīng)部分的迭代次數(shù)超過(guò)5時(shí)，可以用2-k代替arctan(2-k)，采用加法運(yùn)算和移位等方式，從而輕松成多次迭代運(yùn)算，節(jié)省了系統(tǒng)的存儲(chǔ)資源。此外，θ1可改寫(xiě)為：

考慮到誤差需要進(jìn)行變換，將θ1改寫(xiě)為：

計(jì)算后發(fā)現(xiàn)，5次迭代后的誤差較小，不影響運(yùn)算精度，如式（8）所示：

因此，可以直接轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制系數(shù)表示之前的旋轉(zhuǎn)方向，但ε'表示的近似誤差不能忽略。一般可將誤差合成，形成新的θ2'：

依據(jù)上述步驟進(jìn)行反復(fù)推導(dǎo)，最終確定θ2部分的旋轉(zhuǎn)方向。但是，這種做法中的近似誤差需要進(jìn)行額外計(jì)算，電路復(fù)雜度較高。若根據(jù)前次迭代的旋轉(zhuǎn)方向，預(yù)測(cè)每次迭代后的結(jié)果，雖然可以預(yù)測(cè)所有迭代的旋轉(zhuǎn)方向，但是存在誤差，仍需設(shè)置專(zhuān)門(mén)的電路模塊，比如進(jìn)位保留加法器或超前進(jìn)位加法器，增加了系統(tǒng)電路的復(fù)雜度。

為此，本文進(jìn)行了以下改進(jìn)，不再專(zhuān)門(mén)計(jì)算誤差，而是將前面迭代后的剩余角度都存入ROM，作為第5次迭代的角度輸入，與2-i（i≥6）進(jìn)行比較，如此就無(wú)需計(jì)算近似誤差值ε'。改進(jìn)后的結(jié)構(gòu)示意圖如圖3所示。

改進(jìn)算法根據(jù)輸入角度確定后續(xù)四次的迭代方向和相應(yīng)的剩余角度，并由2-k直接代替arctan(2-k)確定剩余迭代的旋轉(zhuǎn)方向，從而完成所有迭代運(yùn)算。

圖3 改進(jìn)后的CORDIC算法

3 結(jié) 論

相幅轉(zhuǎn)換器是DDS結(jié)構(gòu)的核心部分，本設(shè)計(jì)采用了CORDIC算法實(shí)現(xiàn)相幅轉(zhuǎn)換器，并且改進(jìn)了傳統(tǒng)的CORDIC算法，減少了部分角度存儲(chǔ)，改善了傳統(tǒng)方法的局限性。