平面組合圖形面積的求法研究及其推廣

吳菊青

摘要：在“組合圖形的面積”這一課的教學(xué)中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對求解組合圖形的面積感到非常吃力，經(jīng)常無從下手。為了提高學(xué)生的解題能力，除了讓學(xué)生們加強對應(yīng)的練習(xí)以外，還應(yīng)該教給他們一定的解此類題目的技巧。本文介紹幾種常用的方法--分割法、添補法、平移交換法等，供大家學(xué)習(xí)參考。

關(guān)鍵詞：平面;組合圖形;面積;探究

一、對平面圖形的認(rèn)識

（一）平面幾何圖形的認(rèn)識

平面幾何圖形能使學(xué)生感受到圖形美，幫助學(xué)生認(rèn)識豐富多彩的現(xiàn)實生活中的各種實物，形成一定的空間觀念。小學(xué)階段接觸到的平面圖形面積分tt為七部分內(nèi)容：三角形的面積，正方形的面積，長方形的面積，平行四邊形的面積，梯形的面積，組合圖形的面積，圓的面積。在《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011）》的內(nèi)容分類中屬于“圖形與幾何”的范疇，而平面圖形的面積則是“圖形與幾何”這部分中的重點內(nèi)容。這部分的教學(xué)目標(biāo)是：教學(xué)緊密聯(lián)系現(xiàn)實生活，讓學(xué)生通過動手操作，掌握各種平面圖形的面積計算公式的推導(dǎo)過程，并會應(yīng)用面積公式來正確計算對應(yīng)平面圖形的面積，解決一些簡單的有關(guān)平面幾何圖形的面積問題，從而形成了一個從現(xiàn)實生活到數(shù)學(xué)知識，再回到現(xiàn)實生活的過程。同時值得指出的是，平面圖形面積的學(xué)習(xí)也是學(xué)習(xí)立體圖形表面積和體積的基礎(chǔ)。

（二）小學(xué)階段的平面幾何知識各年級內(nèi)容安排

一年級下冊：會辨認(rèn)并能區(qū)分長方形、正方形、平行四邊形、三角形和圓;通過找一找、畫一畫、拼一拼、擺一擺各種平面圖形，感受它們的特征以及之間內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)別。

三年級下冊：初步理解面積的含義，并會用簡單的語言來描述面積的概念;理解的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)長方形和正方形的面積公式，并掌握其計算方法，同時會運用長方形和正方形的面積公式解決一些簡單的實際生活中的問題。這部分知識是學(xué)生第一次接觸有關(guān)面的內(nèi)容，并且比較抽象。理解面積的概念時，要以具體、形象的實物讓學(xué)生摸一摸，并說說摸到的實物表面具有怎么的特征，感受、討論之后總結(jié)出什么是面積這一抽象感念，其后掌握了面積單位之間的換算。長方形和正方形的面積是在掌握了這部分知識和他們的基本特征的基礎(chǔ)上來學(xué)習(xí)的。在教學(xué)過程中教師可以指導(dǎo)學(xué)生小組合作，用1cm2的小正方形紙片“滿貼”長方形和正方形的物體的表面，數(shù)出小正方形紙片的個數(shù)，就是長方形和正方形的面積，觀察小正方形紙片的個數(shù)，橫著有幾個，豎著有幾個，發(fā)現(xiàn)“滿貼”長方形和正方形的物體的表面紙片的個數(shù)與長方形和正方形的面積之間的關(guān)系，從而總結(jié)他們的面積公式。讓學(xué)生的手、口、耳、眼等感官全都動起來，有效的提高所學(xué)知識的效果，并在小組合作交流的過程中自己總結(jié)出所學(xué)知識的要點，獲得成就感的同時激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和求知欲。

五年級上冊：引導(dǎo)學(xué)生利用方格紙和割補法、拼組法等轉(zhuǎn)換思想的方法探索平行四邊形、三角形、梯形的面積計算式;掌握并會應(yīng)用它們的面積來解決簡單的實際生活問題。認(rèn)識組合圖形，并會將組合圖形劃分為己學(xué)過的圖形來計算面積。三角形和梯形面積公式推導(dǎo)是借助平行四邊形的面積公式和推導(dǎo)原理完成的，并會將平行四邊形、三角形和梯形的面積公式準(zhǔn)確的運用到現(xiàn)實生活中，這些平面圖形的面積計算方法和推導(dǎo)過程是進一步學(xué)習(xí)圓面積以及立體圖形表面積和體積的基礎(chǔ)。

學(xué)生在學(xué)習(xí)了長方形、正方形、平行四邊形、三角形和梯形的面積的計算方法后，再來學(xué)習(xí)組合圖形的面積就比較方便了。把一個組合圖形在其面積不變的情況下分解成若干個學(xué)生己經(jīng)學(xué)過的基本平面圖形，再來進行計算各部分的面積，組合圖形的面積就是分解后的各部分圖形面積之和。這樣的教學(xué)安排讓學(xué)生進一步鞏固了該些基本平面圖形的特征和面積公式的運用，同時還發(fā)展了學(xué)生的空間觀念。這樣新知識與舊知識之間的聯(lián)系，根據(jù)圖形面積計算之間的內(nèi)在聯(lián)系來安排的教學(xué)順序，可從促進學(xué)生對知識的遷移和學(xué)習(xí)能力的提高。

六年級上冊：在認(rèn)識圓的基礎(chǔ)上掌握圓的基本特征;學(xué)會用圓規(guī)畫圓;會推導(dǎo)并正確應(yīng)用圓的周長和面積。學(xué)生已經(jīng)掌握了長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形的周長和面積計算方法，對圓己經(jīng)有了初步的了解的基礎(chǔ)上進來學(xué)習(xí)圓的周長和面積。圓是一種曲線圖形而不是直線圖形，和以前學(xué)的直線圖形在性質(zhì)和特征上有截然不同的區(qū)別，但在研究方法上，又與直線圖形緊密聯(lián)系，因此在教學(xué)時教師要不斷引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想，將圓轉(zhuǎn)化成以前學(xué)習(xí)過的直線圖形，再用割補法、拼組法等轉(zhuǎn)化方法，來解決圓的面積。本單元主要認(rèn)識圓，掌握圓的基本特征，理解圓的直徑、半徑、周長、面積之間的相互關(guān)系：知道圓周率的由來和近似值;運用所學(xué)知識來解決現(xiàn)實生活中有關(guān)圓的一些實際問題。豐富學(xué)生對現(xiàn)實生活在“空間與幾何”圖形的認(rèn)識，進一步建立空間觀念，發(fā)展空間想象為和形象思維。通過介紹祖沖之及國外學(xué)者在圓周率方面的研究成就，了解與其有關(guān)的數(shù)學(xué)史，加強對學(xué)生的愛國主義教育。讓學(xué)生體驗到圓是與日常的現(xiàn)實生活是密切聯(lián)系在一起的，認(rèn)識到用圓的知識可解決很多現(xiàn)實生活中的問題。

平面：中學(xué)幾何課本中常以平靜的湖面和平滑的桌面等描述平面。在小學(xué)階段一般用手感受光滑的物體表面，來形容平面。

平面圖形：圖形上的所有點都在同一個平面上，這樣的幾何圖形叫做平面圖形。

幾何圖形：簡稱“圖形”。有點、線、面、體或有若干個點、線、面、體組合在一起的圖形，叫做幾何圖形。

二、求組合圖形面積的方法

在“組合圖形的面積”這一課的教學(xué)中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對組合圖形的面積的如何求解感到非常吃力，無從下手。為了提高學(xué)生的解題能力，除了讓學(xué)生加強練習(xí)以外，還應(yīng)教給他們一定的解題技巧。下面介紹幾種常用的方法——分割法、添補法、平移交換法等，供大家參考。

（一）分割法

例1：如右圖，求下面組合圖形（每個角都是直角）的面積.

①把例1中的組合圖形分割成2個長方形（或者正方形），如

=4×6=24cm2，=3×（7-4）= 9cm2， S=+=24+9=33cm2

②把該組合圖形分割成2個梯形

=（3+6）×4÷2=18cm2， =（3+7）×3÷2=15cm2， S =+=18+15=33cm2

（二）添補法

將此組合補上一個小長方形（或小正方形），就可以補成一個大的長方形，從而求組合圖形的面積可以轉(zhuǎn)換成求大長方形的面積減去小長方形（或小正方形）的面積。

=6×7=42cm2， =3×3=9cm2， S =―=42―9=33cm2

以上兩種方法可以合起來簡稱為“割補法”。割補法是指;把一個圖形的某一部分割下來，填補在此圖形的另一部分，在原來面積不變的情況下，使其轉(zhuǎn)化為已經(jīng)掌握的基本圖形，以利于計算公式的推導(dǎo)。

但是要注意的是，在分解組合圖形時，分割后的圖形要讓人一看就懂，簡單明了。

（三）其他方法

平移變換法：把組合圖形中的一部分圖形位置作水平移動，使之與組合圖形中的其他部分合并，拼成一個較簡單的組合圖形，然后求出它的面積，這種方法我們稱為“平移變換法”

例2：求下面圖形陰影部分的面積。〔單位：厘米〕

分析可以得出，兩個帶有陰影部分的三角形都是直角三角形，并且其中有一條直角邊是相同的，那么我們就可以把小的直角三角形向右平移，與大的直角三角形拼在一起，如下圖，于是所拼得的大三角形面積，剛好是所要求的陰影部分的面積。

解：（20-5）×12÷2=15×12÷2=90（平方厘米）

旋轉(zhuǎn)變換法：有些圖形問題條件比較分散。若能設(shè)法把圖形繞一個定點，在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一定的角度，使圖形的某部分移動至一個新的位置，往往能使原本分散的條件集中，從而使問題化難為易。

例3.如圖，是一個長方形挖去了一個三角形，點G是兩平行線之間的任意一點，請求出下面圖形的陰影部分的面積。

分析：由于點G是兩平行線之間的任意一點，上下兩部分陰影部分的都是三角形，如果分別求出每個陰影部分三角形的面積，再相加求總的面積，可是問題的關(guān)鍵是上下兩個三角形的高的長度不是固定的，為了方便，我們給每個點編號如下圖1：

由于三角形面積計算只與該三角形的底邊長度以及高線長度有關(guān)，所以可以轉(zhuǎn)換成圖2，只要求出了圖2的陰影部分面積總和，也就求出了圖1的陰影面積總和.

=AD×DG， ?=BC×GC，AD=BC

+=AD×DG+BC×CG=AD×DG+AD×CG=AD×（DG+CG）

∴+=AD×DC =AD×AB=×10×6=30

參考文獻：

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