美國數學課程中的“問題提出”——期望與挑戰

許天來，蔡金法

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美國數學課程中的“問題提出”——期望與挑戰

許天來1，蔡金法2，3

（1．廣州大學 數學與信息科學學院，廣東 廣州 510006； 2．西南大學 數學與統計學院，重慶 400715；3．美國特拉華大學 數學系，紐瓦克 19716）

從計劃課程、期望課程、實施課程和獲得課程4個角度，對美國數學課程中關于“問題提出”的期望與挑戰進行評述．發現，盡管美國數學教育界已廣泛認可“問題提出”在學校數學中的重要性，而且“問題提出”在近30年的數學課程標準中不斷明確地被提及，然而，與之形成對比的是，在數學教材和一線課堂教學實踐中，問題提出活動仍較為缺乏．因此，數學教材應增加數學問題提出活動的比例與類型，教師通過改編現有課程材料為學生創造提出問題的機會，增加課標中問題提出的范例，將有助于教師進行“問題提出”教學．

數學問題提出；課程；教材；教學；美國

1 引言

數學問題提出（Mathematical Problem Posing）有助于提高學生的概念性理解、問題解決技能、數學思維、態度、數學自信心和創造力等[1]，對于促進數學教與學有著廣闊的前景．在文[2]中，為明辨美國數學問題提出“研究”層面狀況，于文華通過對已有相關研究的述評，發現問題提出已成為美國數學教育領域名副其實的“主流研究”與“熱門方向”．這些研究表明，美國已在理論層面認可數學問題提出的重要性．那么，數學問題提出在美國數學教育中的“實踐”層面的表現如何呢？對美國數學課程中問題提出的期望和挑戰進行分析，以期幫助讀者更好理解《義務教育階段數學課程標準（2011年版）》中所要求的“提高從數學角度發現和提出問題的能力”[3]．

2 研究框架

“課程”（Curriculum）一詞很難有統一的定義，為了更好地對美國數學課程中的問題提出進行分析，借鑒首屆國際數學研究（First International Mathematics Study，FIMS）所使用的課程構架[4]．此構架將課程劃分為期望課程（The Intended Curriculum）、實施課程（The Implemented Curriculum）和獲得課程（The Attained Curriculum），分別對應社會期望學生學習的數學、課堂實際教學的數學以及學生真正習得的數學．

因為“期望課程”受“計劃課程”所制約，所以在“期望課程”前增加了“計劃課程”，并將采用以下框架對美國數學課程中的問題提出進行分析（如圖1）．與傳統課程構架相比，圖1將課程標準（教學大綱）單獨列出，作為“計劃課程”，特指其所包含的對問題提出的相關表述；教材則被用以分析數學問題提出教學的“期望課程”；“實施課程”是課堂中真正用于教學的數學內容，也就是在教學實踐中運用問題提出進行教學的活動．研究主要通過呈現美國本土運用問題提出開展教學的課例和相關教學研究來體現動態的教學過程；“獲得課程”包括學生提出數學問題的能力，以及采用問題提出教學如何影響學生的學習和態度，這部分也主要結合美國本土的各項實證研究進行分析．

圖1 研究框架

3 美國“計劃課程”中廣泛認可數學問題提出的重要性

近30年來，不斷變革的美國數學課程標準對數學問題提出均做出了明確的要求．如1989年，美國數學教師理事會（National Council of Teachers of Mathematics，NCTM）在其《學校數學課程與評價標準》中，有以下關于問題提出的表述[5]：“學生應從現實活動、已經加工過的數據、等式等情境中，獲得創設（Creating）問題的豐富經歷．”兩年后，NCTM發布《數學教學的職業標準》[6]，同樣將問題提出活動作為教學的目標：“從問題解決的視角看，數學教學不僅僅是解決非常規的，且常常被認為是孤立的問題，或典型的教材問題．它還包含對數學學習本質的認識，如學習數學就是經歷探究、猜想、檢查、檢驗等問題解決的方方面面．給學生提供的任務應該是他們可以完成的，能夠拓展他們的知識和問題解決能力．學生應有機會從給定的情境中提出（Formulate）問題，或通過改變給定問題的條件創設（Create）新問題．”2000年，在《學校數學教育的原則和標準》中，作為第一個過程性標準的問題解決，其第一段話闡述如下：“問題解決指的是從事一件事，但完成此任務的方法事先并不清楚．為了找到解答方法，學生必須運用他們的知識．在此過程中，通常他們會對數學有新的理解．問題解決不僅是學習數學的一個目標，也是學習數學的一種主要方式．學生應當有很多機會提出、理解和解決需要努力才能解決的復雜問題，并應該鼓勵他們反思自己解答的思維過程．”[7]而在美國當前被廣泛采用的，2010年由全美州長協會和首席州立學校官員理事會頒布的《州際共同核心數學課程標準》中，數學實踐標準的“策略地使用恰當工具”標準有以下表述：“不同年級的學生還能發現相關的數學資源，如網絡上的資源，并利用它們提出問題、解決問題．學生可以利用技術工具進行探究，并加深對概念的理解．”[8]

以上4個課程標準是美國數學教育改革中較為重要的文件，都將培養學生的數學問題提出作為一個重要的教學目標和教學手段．從一開始提出讓學生提出問題的必要性，到將問題提出與問題解決進行比較，強調問題提出的特殊教育價值，最后到從更具體的角度為學生提供挖掘問題提出素材的方法等．可以看出，美國數學教育界廣泛認可數學問題提出的重要性，重視讓學生提出自己的數學問題，對問題提出有較高的期望．

4 美國“期望課程”中的數學問題提出活動

4.1 教材中數學問題提出活動所占比例極低

教材是教學的重要參考，要使數學問題提出更多地出現在課堂中，教材首先需包含豐富的問題提出活動以供教師參考．然而，Cai和Jiang對兩套美國改革型小學數學教材進行分析后發現，問題提出活動所占的比例非常低（表1）[9]．

表1 美國小學數學教材中問題提出題目所占比例

注：1. 探索數學教材系列不含有六年級；2. 日常數學教材系列中1~2年級是合編，故只有二年級數據；3.表示教材中所有問題的總數量．

對美國初中教材《關聯數學3》（Connected Mathematics Project 3）進行分析后發現，初中數學教材中問題提出活動所占比例同樣極低（見表2）．

表2 美國初中數學教材中問題提出題目所占比例

4.2 教材中問題提出活動的類型分布不均衡

教材中的數學問題提出活動包含多種類型，如Cai和Jiang曾將問題提出活動分為如下的4類[9]：（I）提出一個現實生活中的問題以滿足特定的數關系，如算式、方程等（如例1）；（II）針對給定的數學關系或數學結構提出相似的問題（如例2、例3）；（III）根據已知信息和范例問題提出更多的問題（如例4）；（IV）根據已知信息提出問題（如例5）．需要說明的是，類型II中的部分問題提出的題目可以認為是有范例問題的，其與類型III的問題的主要區別在于，類型II要求學生提出滿足特定數學關系或結構的問題，而類型III要求學生提出任何類型的數學問題．

例1[10]：來自美國教材中第I類型問題提出的例子（Connected Mathematics Project 3，Integers and Rational Numbers）

評析：此題要求學生根據方程式提出具有現實意義的數學問題．除此之外，還可要求學生根據算式、圖形等提出數學問題．這也是美國教材中一類較為典型問題提出活動．

例2[11]：來自美國教材中第II類型問題提出的例子（Everyday Mathematics，二年級第一冊）

評析：類型II給出一個范例問題，需學生模仿范例中的問題來提出相同結構的數學問題．此題要求提出的問題能用加法算式進行求解．例如：“岸邊有5個人穿黑色衣服，4個人穿白色衣服，問岸邊總共有多少人？”

例3[12]：來自美國教材中第II類型問題提出的例子（Connected Mathematics Project 3，Understanding Similarity）

評析：在此單元（Understanding Similarity，理解相似）中，四邊形、不規則圖形相似是一個較為重要的知識點．在練習題25中，根據7:5=21:15，學生可能提出的問題為“已知兩個相似矩形的周長分別為12和36，求小矩形與大矩形的相似比”．若學生提出“已知兩個矩形的周長分別為12和36，求小矩形與大矩形的相似比”，則教師可對其錯誤認知進行針對性的教學，即正方形一定是相似的，而矩形未必都是相似的．

例4[13]：來自美國教材中第III類型問題提出的例子（Connected Mathematics Project 3，Quadratic Functions）

評析：此題以均分廣告文案的獎金為情境，首先給出2個范例問題，在c問中要求學生提出3個新的數學問題：一個更容易用圖像回答的問題、一個更容易用表格回答的問題、一個更容易用方程回答的問題．這是一個很好的用以教學函數不同表征方式的數學活動．

例5[11]：來自美國教材中第IV類型問題提出的例子（Everyday Mathematics，三年級第一冊）

評析：此類問題并未給出范例問題．要求學生根據題干的數學信息進行提問．可以看出，此類問題提出活動可更多地運用在統計教學中．

統計美國小學、初中數學教材中4種問題提出題目類型的分布情況，見表3．3套教材中問題提出的活動主要集中在類型I，即要求學生根據給定的算術運算式來提出問題．其次是類型II，針對給定的數學關系或數學結構提出相似的問題．3套美國教材中類型III和類型IV的問題所占比例極低，特別是探索數學中類型IV的數量為零．4類問題提出題目的分布很不均衡．

表3 美國數學教材中問題提出題目類型的分布（%）

綜上，與“計劃課程”中強調問題提出的重要性形成強烈對比，美國“期望課程”中的數學問題提出活動所占比例極低，不同類型問題的分布也不均衡．總體來說，這3套教材的編寫未能較好地體現課程標準對問題提出的高期望．

5 美國“實施課程”中的數學問題提出

美國已有一些運用“數學問題提出”進行教學的課例．如Chang描述了這樣一個案例[14]．一個7歲的兒童可以通過恰當的教學，在解決問題后提出數學問題．教師要求學生求解以下數學問題：“農民的果園里有4棵蘋果樹，每棵樹上有3個成熟的蘋果．男孩過來吃光了一棵樹中成熟的蘋果，問現在果園中還剩多少成熟的蘋果？”教師首先以真實的蘋果為教具，幫助學生求解問題，并通過畫畫的方式進行驗證．隨后，提出第二個問題：“農民的籃子里有20個蘋果．他給了湯姆2個，又給了薩利7個，在回家的路上，自己又吃了3個．問籃子里還剩多少個蘋果？你是怎么求解這個問題的？”通過以上教學鋪墊，教師根據以下對話引導學生提出數學問題：“泰勒，你覺得你現在可以提出自己的問題了嗎？”在這個過程中，教師首先提供了具體問題，在解決問題之后又自己提出問題，不僅為學生提供可解決的數學問題，還提供了問題提出的范例，幫助學生學習如何提出問題．

Deborah老師在二年級的班級中開展了為期5天的課堂教學，她鼓勵學生提出自己的數學問題[15]．她以小冊子《此房數學造》（The House that Math Built）作為學生進行問題提出的藍本，在第一天的教學中，她激發學生對教室中所隱含數學信息的興趣，如“你的教室中還需要什么？”在第二天的教學中，鼓勵學生提出問題，如“我不知道凳子的長度是多少”；接下來的一天，引導學生求解問題；第四天，學生交流自己的發現；最后一天，學生對自己所提問題及解答進行反思總結．

Barbara等在教學四年級學生時[16]，以圖2作為問題情境，首先提出以下問題：“32右邊的數是多少？”“32上面的數是多少？”“99下面的數是多少？”在結合電子軟件對這一情境的“無限增長”進行教學后，教師引導學生思考以下問題：“如果從2開始會怎樣？或者，可以從-1開始嗎？”“數字可以遞減嗎？”最后，教師要求學生提出自己的數學問題．Whitin則結合問題提出的教學方式，引導四年級學生對若干個單位正方形的不同組合方式如何影響周長進行了探究[17]．

圖2 問題情境（一）

Perrin在中學微積分教學中融合了問題提出[20]．其教學主要強調以下7點：（1）學生需在一個學年的課程中完成兩個問題提出的研究課題，第一學期是微分，第二學期是積分；（2）學生需提出真實的數學問題作為起點，如學生不能提出微積分的問題，那么他們可以探究校外感興趣的主題，或練習冊中較難的題目，在此基礎上提出新的問題；（3）對于相同的問題，最多允許兩個學生獨立探究；（4）學生探究的問題應事先通過教師的許可，但課題的方向、深度等教師不作干涉；（5）學生可以向教師尋求幫助；（6）學生能得到教師的提示，包括課題中應當包含哪些主要成分，以及大致的評分標準；（7）在完成課題后，學生要完成一個關于問題提出的調查問卷．

也有運用信息技術輔助提出問題進行教學的案例，如在課堂中要求學生運用電子表格提出新的數學問題[21]．從目前的結果來看，關于問題提出的案例遠遠少于問題解決的案例，這說明問題提出在課堂實施中與“計劃課程”中的高期望不符．

6 美國“獲得課程”中的數學問題提出

6.1 美國學生能提出重要的數學問題

美國學生能在不同的情境中提出數學問題．如對于問題情境1[22]，美國小學生能提出以下問題：“這是什么模式？”“這些圖是怎么越來越大的？”“黑點數的模式是什么？”“白點的個數是怎么增加的？”，等等．

問題情境1：王老師根據某一規則畫出了圖3：

王老師希望根據上面的情境提出3個問題（簡單的，中等難度的，較難的各一個），作為學生的家庭作業．

問題情境2：已知安妮有34個彈珠，比莉有27個彈珠，克里斯有23個彈珠．運用以上信息，寫出并求解盡可能多的數學問題．

而在問題情境2中[23]，美國初中學生能提出以下問題：“他們總共有多少彈珠？”“比莉比克里斯多多少個彈珠？”“薩米有103個彈珠，要使這3人所擁有彈珠的數量與薩米相同，他們還需要多少個彈珠?”“安妮能不能給比莉和克里斯一些彈珠，使得3人彈珠的數量相同？”“如果比莉給克里斯一些彈珠，他需要給多少，才能使得兩人所擁有的彈珠數量相同？”“如果安妮給克里斯一些彈珠，她需要給多少，才能使得兩人所擁有的彈珠數量相同？”

Cai等的研究表明，美國學生在求解線性方程組和函數圖像的問題后，能提出較好的數學問題[24]．此外，還有研究表明，美國學生在各種不同的情境中都能提出不同難度的數學問題[25-28]．

6.2 問題提出活動對美國學生數學成績和學習態度的影響

已有研究表明，問題提出活動有助于提高學生的數學成績和學習態度．Perrin在進行了為期一年的問題提出研究課題的教學后，對學生進行了調查，結果表明，學生普遍認為這個課題的學習使他們提高了對數學和微積分的興趣，且其特定內容的微積分知識得到了提高[20]．English發現，五年級學生在經歷了問題提出的活動后，能提出更多、更復雜的數學問題[29]．此外，數學問題提出還對培養學生的創造力有所幫助，如Silver認為，通過合理地結合問題提出和問題解決進行教學，可以培養學生的創造力[30]．

Silver的研究表明，相對于教科書中傳統的問題解決任務，較為新鮮的問題提出活動似乎更能激發起學生的學習興趣[31]．由于問題解決過程涉及不斷提出和求解問題，且提出復雜問題的能力似乎與較強的問題解決能力相關[27]．因此，鼓勵學生提出數學問題不僅有助于他們理解問題情境，還能幫助他們發展更多的問題解決策略[1]．相似的，在Harpen和Presmeg研究中，大部分美國學生認為問題提出在學校數學中非常重要[28]．如，拉蒙納認為表示問題提出的活動能幫助她理解問題的結構；斯嘉麗認為問題提出能幫助他們認識到自己的數學學習中哪些內容較為重要；還有學生表示，問題提出能幫助他們求解問題，因為這種活動有助于更好地閱讀問題．另外，Chang在經歷了問題解決與問題提出相結合的教學后發現，學生不僅能自信地求解數學問題，還能自己提出數學問題，并進行正確的解答[14]．而且，在一些以職前教師和在職教師作為被試的研究中，也得到了類似結論[1]．

7 啟示

盡管作為“計劃課程”的美國課程標準對“數學問題提出”有著較高的期望，而且，已有研究也發現問題提出活動對美國學生的學習成績和態度有一定的積極影響，但數學問題提出在作為“期望課程”“實施課程”以及“獲得課程”的教材編寫及實際教學中并未得到同等地位的重視．盡管作為教學目標的問題提出已得到較為廣泛的認可，但這種不那么“常規”的教學手段要在美國教材和實際教學中進一步落實，仍面臨著較大的挑戰．

中國數學課程標準同樣對問題提出有所期望．如2001年頒布的《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》中，4個目標之一的知識與技能目標中，第一項和第三項均涉及問題提出，如在解決問題目標中有以下表述：“初步學會從數學的角度提出問題、理解問題，并能綜合運用所學的知識和技能解決問題，發展應用意識．”[32]《普通高中數學課程標準（實驗）》《義務教育數學課程標準》《普通高中數學課程標準（2017版）》也將培養學生提出問題的能力作為課程目標[3，33-34]．然而，對“數學問題提出”的要求不能僅停留在課標層面，教材的編寫、課堂的實踐同等重要．

7.1 數學教材應增加數學問題提出活動的比例與類型

教材是教師教學的重要參考，在美國中小學數學教材中，問題提出活動所占的比例極低，類型也較為單一．中國小學數學教材中的數學問題提出同樣如此[9，35]．為解決此問題，一方面，在教材的編寫中，應適當加強問題提出活動所占的比例，增加問題提出活動的數量，為學生提出問題創造更多的機會．另一方面，可增加數學問題提出的類型，幫助學生提出不同的、更高質量的數學問題．中國人教版小學教材已做出較好的嘗試，研究發現，相對于舊版本教材，新版本教材包含了更多的問題提出活動，且類型更為豐富[9]，但仍有較大提升空間．

7.2 如何運用數學問題提出進行教學

相對于問題解決，很多教師并不熟悉運用問題提出進行教學．如何在盡量保持現有教學模式的基礎上，結合問題提出進行教學？Cai和Hwang給出了以下3點建議．第一，教師通過改編現有課程材料為學生創造提出問題的機會．可刪去應用題中的提問句，如問題情境2若出現在教材中，原來的提問可能是“三人共有多少顆彈珠？”亦可在讓學生解決問題后提出新的問題，“你還能提出其他類似的問題嗎？”第二，增加課標中問題提出的范例，列出學生可能會提出的數學問題，能幫助較少運用問題提出進行教學的教師更好地進行教學準備和教學處理．第三，讓學生提出不同難度的數學問題（如問題情境1），促進教師理解學生不同水平的數學，從而進行針對性的教學．

除以上美國課堂中的案例，中國還有文[36-42]等教學實踐，但這樣的案例還遠遠不夠．在不同課型、不同教學內容、不同學段中如何更好地運用問題提出進行教學，還需要進一步的努力．

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“Problem Posing” in Mathematics Curricula in USA——Expectations and Challenges

XU Tian-lai1, CAI Jin-fa2, 3

(1. School of Mathematics and Information Science, Guangzhou University, Guangdong Guangzhou 510006, China; 2. School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China; 3. Department of Mathematical Sciences, University of Delaware, Newark DE 19716, USA)

From the perspectives of the planned curriculum, the intended curriculum, the implemented curriculum and the attained curriculum, this paper expounded and commented on some expectations and challenges in implementing “Problem Posing” in American mathematics curriculum. Through analysis, we found that the importance of problem posing had been widely recognized in American mathematics education and had been explicitly mentioned in NCTM mathematics curriculum standards for the past 30 years. In contrast to this, the problem-posing activities in American mathematics textbooks and classroom practice were still very scarce. Lastly, we also discussed how to increase the proportion and types of problem-posing activities in mathematics textbooks and how to use problem-posing in mathematics teaching.

mathematical problem posing; curriculum; textbook; teaching

2019–03–22

西南大學引進人才（教育部“長江學者”講座教授）計劃項目——數學問題提出對教師專業發展和學生創新能力提升的長期跟蹤研究（SWU118118）；廣州大學全日制研究生“基礎創新”項目——基于問題驅動的高中代數教學研究與教學內容的重構（2017GDJC-D03）

許天來（1990—），男，廣東博羅人，廣州大學博士生，美國特拉華大學訪問學者，主要從事數學教育研究．蔡金法為本文通訊作者．

G424

A

1004–9894（2019）02–0018–06

許天來，蔡金法．美國數學課程中的“問題提出”——期望與挑戰[J]．數學教育學報，2019，28（2）：18-23．

[責任編校：陳雋、陳漢君]