基于MWC 多測量向量的高效恢復算法

朱嘉微，符博娟，李健

（四川大學電子信息學院，成都 610065）

0 引言

隨著無線通信的快速發展，通信頻點越來越高，傳統的信號采樣率由于受限于Nyquist 采樣定理已成為制約信號處理發展的一個瓶頸。壓縮感知（Compressed Sensing,CS）理論的出現打破了Nyquist 采樣率的瓶頸，可以利用低于Nyquist 采樣率的速率對數字信號進行采樣還原，而調制寬帶轉換器（Modulated Wideband Converter,MWC）真正意義上實現了模擬信號的欠Nyquist 采樣及還原，在分布式電磁頻譜感知領域有很廣闊的應用前景[1-3]。準確性和實時性是頻譜感知技術中的關鍵，下面針對這個問題進行深入研究并提出改進方法。

基于MWC 的頻譜感知主要分為三個階段：一是寬帶稀疏信號的采樣，二是采樣信號的降維處理，三是利用采樣數據進行信號恢復，其中降維處理過程是恢復過程的關鍵，既要求降低采樣數據的維度，又要保持信號的原始信息不被丟失。目前已有關于MWC 采樣數據降維處理技術，在文獻[4]中就提出ReMBo（Reduce MMV and Boost）的算法，該算法通過將一維隨機向量與采樣值矩陣相乘，將多測量模型轉為單測量模型，然后再利用壓縮感知中的恢復算法求解最優稀疏解，可以有效提升恢復速率。文獻[5]中提出RSMV（Reduced Single Measurement Vector）模型，該模型通過把壓縮采樣值矩陣按行加為一列的方式來實現降維，并且利用OMP 算法結合頻譜切片的分布特性成功恢復出頻域支撐集。但是這兩個算法都會減少信號的信息，進而降低信號的重構率。文獻[6]使用特征值分解達到降維的效果，轉換為多測量向量MMV(Multiple Measurement Vector)。雖然在一定程度上抗噪，但實時性較差。如何有效減少信號恢復時間，又能不影響對信號的感知能力是本文的主要技術關鍵。因此，本文提出一種基于MWC 的多測量向量模型，簡稱為RMMV（Reduced Multiple Measurement Vector）模型。將采樣值矩陣按行加為多列得到新的采樣值替換矩陣，這里的采樣矩陣的列數會對后端恢復率和恢復時間有比較大的影響，所以要適當地選擇合適的列數。最后利用壓縮感知中的OMP 恢復算法找到信號的頻域支撐集。

1 MWC模型

MWC 針對的是稀疏寬帶多子帶信號x(t)[6]，其傅里葉變換X(f)帶限于F=(-fNyquist,fNyquist)，信號模型如圖1所示，在F 范圍內，一共存在N 個不相交的稀疏子帶，其中最大子帶帶寬為B。

圖1 多頻帶稀疏信號頻譜圖

MWC 原理框圖如圖2 所示，每個采樣通道都經過偽隨機混頻、低通濾波和ADC 均勻采樣三個過程才能得到壓縮采樣數據。其中，混頻器和低通濾波器必須嚴格滿足設計需求，才能使各個子頻帶在整個頻域內擴散，并且能在期待的基帶范圍內搬移形成混疊。偽隨機信號 pi(t)的循環頻率 fp=1/Tp決定了頻段分割、搬移的帶寬大小，而低通濾波器的截止頻率與低速ADC的采樣頻率 fs=1/Ts相關。

圖2 MWC原理框圖

偽隨機序列 pi(t)是以M 為間隔變化±1 交替變換的序列，目的是使原稀疏多子帶信號頻譜擴展至整個頻帶中，pi(t)是周期信號，滿足 pi(t+nTp)=pi(t)。對于第i 個通道，其傅里葉展開式為：

其中傅里葉系數有如下表達式：

則經過混頻后信號的頻域傅里葉變換可表示為：

經過低通濾波器后，保留低頻部分的全局頻譜切片，然后進行低通采樣，則第i 個通道的壓縮采樣序列yi[n]的離散時間傅里葉變換表示為：

這里的L0是在頻率Fs范圍中包含所有非零頻譜切片的最小整數值，可以通過以下公式計算：

其中 fNyquist表示信號的奈奎斯特帶寬，fs為系統對信號的采樣率。

2 基于RMMV的恢復算法

RMMV 算法的核心是將壓縮采樣值矩陣y[n]按行均勻加為k 列，得到一個新的采樣值矩陣Vˉ，如果能夠證明新的采樣值矩陣Vˉ不改變信號的支撐集，則說明RMMV 算法是可行的。

假設 yi[n] 是第i 個通道的采樣值，則把 MWC y[n]=Az[n]轉化為矩陣形式：

得到新的第1 個通道的壓縮采樣值：

將m 個通道的壓縮采樣值都加為k 列，可以得到：

這就是我們得到的新的RMMV 模型，其壓縮感知形式為：

在文獻[6]提到采樣值經過特征值分解降維后有比較好的抗噪性能，而本文的RMMV 算法沒有經過特征值分解部分，抗噪性能有所下降。在圖1 的MWC 頻譜圖中，由于 fp≤B，信號的整個頻譜被平分為L 個頻譜切片后，每個子帶的頻譜一般占據兩個切片，而且某一部分的頻譜切片所占能量較多，而占用能量較小的切片位置會受到噪聲影響導致丟失，在一次迭代中就能找到最大頻譜切片的位置以及其對稱頻帶位置，并且可以將它相鄰左右的頻帶位置加入到支撐集中。具體的RMMV 恢復算法流程如下：

輸入：將y[n]按行相加為k 列作為測量值矩陣Vˉ，殘差 R 為 Vˉ，測量矩陣 A，索引值向量 Sˉ為[]，設置初始迭代值t 為0，原信號稀疏度為K=N；

步驟2：接著找到λt的對稱頻譜位置以及它們的相鄰頻譜切片索引值加入到索引值向量Sˉ中；

步驟3：根據索引值向量Sˉ中的值把對應的測量矩陣A 中的列取出組成矩陣ASˉ，并求出其偽逆

步驟 5：更新殘差 Ri=R-A×，t++ ；

步驟6：如果t ≥K 或殘差Ri滿足停止迭代的條件，停止迭代，否則返回步驟1。

輸出：支撐集的索引值向量Sˉ

在步驟2 中，這里的選擇索引值的方法是求得殘差與測量矩陣最大內積的索引值，然后找出其對稱位置的索引值，最后把它們相鄰索引值都加入到索引值向量中，這樣可以快速找到所有的索引值，節省了恢復時所需時間，這種把相鄰頻譜切片位置加入到支撐集有利于提高RMMV 恢復算法的魯棒性。

3 數值仿真實驗

為了體現抗噪性能，在原始信號中加入高斯白噪聲。其中子帶數N 為6，能量系數Ei={1,2,3}，時間延時τi={0.4,0.7,0.9}μs，子帶帶寬 B=50MHz，子帶載頻 fi為[0.5GHz]內的隨機值。

實驗仿真了不同列數下的RMMV 算法與原MMV算法在恢復性能上的比較，如圖3 所示，通道數為50，信噪比從-10dB 到25dB，圖中RMMV(k)表示將采樣值矩陣降維至k 列，從圖中可以看出，RMMV 算法在采樣值矩陣列數為2 時，其對信號的恢復率在低信噪比下低于原始MMV 方法，因為原方法經過了特征值分解的部分，這部分有降噪的功能，能有效提高恢復性能，而將采樣值矩陣降為2 列會嚴重破壞原始信號的信號特征，將有效的信息丟失，造成恢復過程對噪聲較為敏感。但是信噪比達到4dB 后，恢復性能就與原方法差不多，甚至比原方法的恢復率要高一些。但對于列數大于等于4 時，RMMV 算法在不同信噪比下對信號的恢復率均高于原MMV 方法，可見，列數的增加可以有效提高算法的抗噪性能，但是列數不能無限增加，這樣會增加后端的計算負擔，因此，對采樣值矩陣降維選擇合適的維度有利于提高恢復準確性和恢復速率。

為了檢驗我們提出的RMMV 算法在恢復速率上的性能，把壓縮采樣值矩陣y[n]加為4 列、6 列和8 列以后，我們對此與原MMV 算法進行了對比仿真實驗，如下圖所示，通道數m 從 20 到 50，信噪比 SNR 為30dB。從圖中可以看出RMMV 算法降維后的列數越少，信號的平均恢復時間越少，大幅度地提升了恢復速

圖3 不同信噪比下算法恢復對比圖

圖4 不同算法的恢復時間對比圖

仿真實驗的原始信號是寬帶稀疏多子帶調制信號x(t)，其信號的時域模型表示為：度，此外，RMMV 算法中當對采樣值壓縮為8 列時，其平均恢復時間仍然大大低于原MMV 算法。因此，針對需要快速恢復支撐集的場景，我們所提出的RMMV 算法具有較大的優勢，具有較好的實時性，可應用于跳頻信號檢測。

4 結語

本文首先介紹了用于實現頻譜感知的MWC 體系，接著，詳細介紹了RMMV 算法模型，這個算法是把壓縮采樣值矩陣y[n]通過加為k 列的方式跳過了特征值分解部分，也分析了如何選擇合適的k 來達到恢復時間和恢復成功率之間的平衡。這個算法可以有效降低CTF 恢復時間，還可以通過控制k 的取值在一個比較低的范圍，減少參與后端恢復的Vˉ矩陣的列數，進一步降低算法的運行時間。最終實驗驗證了RMMV 算法確實可以消除通道對恢復時間的影響，還在一定程度上提升恢復速率，對恢復成功率也有一定的提升效果。