基于映射適應卷積理論的各種映射的抗混疊效果比較

郭學敏

（四川大學計算機學院，成都610065）

0 引言

如今隨著人工智能的飛速發展，在三維游戲、真實場景模擬、虛擬現實[1]等應用中，對于圖像的質量要求越來越高，很多大型場景的模擬和重建[2]都需要用紋理映射技術[3]合成高質量的圖片，而紋理映射技術多種多樣，針對不同的維度，不同的過程，不同的幾何圖形都會有不同的紋理映射技術。紋理圖像在映射到實際物體的時候不可避免的會產生混疊，像素缺失等現象，現有的經典抗混疊算法有Williams[4]提出的Mip-Map，運用圖像金字塔數據結構進行預過濾處理和后來惠普公司在Mip-Map 的基礎上進行改進了，提出了一種新的方法稱為Rip-Map，這個方法主要是針對Mip-Map 得不到長方形紋理區域的缺陷進行改進。不同于現有的經典反混疊算法Mip-Map、Rip-Map，本文針對一種新型的卷積理論，探討它使用在不同紋理技術中的抗混疊效果。

1 映射模型介紹

1.1 正向映射法

正向映射法是二維紋理映射[5]算法中比較常見的一種，將紋理空間的像素映射到圖像空間，在這個過程中，會先將紋理空間中的二維紋理映射到實際物體的三維物體表面，用Catmull 算法[6]通過映射函數將二維紋理與物體的曲面坐標匹配，匹配坐標可以確定在三維物體表面的紋理像素坐標位置及大小，再通過線性插值計算三維物體表面對應匹配點的紋理像素中心灰度值，并且將該點的灰度值作為三維物體表面該處的像素中心采樣點的紋理屬性，然后再映射到二維的圖像空間。將紋理空間的像素坐標設為（u,v），圖像空間的坐標設為（x,y），那么它們之間的正向映射函數可表示為：

圖1 正向映射示意圖

正向映射有個非常明顯的缺點，就是映射過程當中映射過去的是紋理圖像的灰度值，信息較少，紋理空間的像素坐標與物體表面的曲面坐標并不能完全的一一對應，肯定會產生形變，沒有匹配到對應的紋理像素的區域會產生空洞，而匹配到不是本區域的紋理像素的區域則會產生多射，這些紋理的缺失和形變都是我們不希望發生的。

1.2 逆向映射法

逆向映射法[7]的映射過程和正向映射法正好相反，它是通過映射函數給物體的曲面坐標在紋理空間尋找對應的紋理像素坐標，找到坐標后，在計算三維物體表面坐標中心的像素值之前，要用重采樣方法對紋理圖像進行重采樣，重采樣的過程中可能會產生混疊現象，然后將重采樣后計算的像素值映射到紋理空間。逆向映射法算法可如下表示：

1.3 球面映射法

球面映射法[8]對應的物體曲面是球面，將二維空間的紋理坐標映射到球面上，根據球面上的每個點的法向量坐標生成對應的紋理坐標，二維紋理坐標和球面法向量坐標如圖2 所示。

圖2 紋理坐標與球面坐標表示圖

外圍的虛線坐標表示二維紋理的坐標，中心的實線坐標表示球面法向量的坐標，從圖中可以看出紋理坐標的范圍是u ∈( 0,N )，v ∈ ( 0,N )，而球面法向量坐標的范圍是x ∈(- N,N )，y ∈ (- N,N )。球面映射法的核心就是要找到這兩個區間的映射關系，一般用反正弦函數y=acrsin（x）來實現兩者中的對應關系。由于該函數的定義域 x=（-1,1）和值域 y=（-π/2,π/2），我們可以得到映射關系表達式：

其中u,v 是紋理坐標的橫坐標與縱坐標，x,y 是球面的法向量的橫坐標與縱坐標，N 表示最后要得到的平面視圖N*N 的大小。

1.4 柱面映射法

球面映射法對應的物體曲面是柱面，將二維空間的紋理坐標映射到柱面上，假設是半徑為r，高為h 的圓柱，用柱面方程表示如下：

那么我們將紋理空間[0,1]×[0,1]的范圍和柱面空間[0,2π]×[0,1]進行線性變換，變換之后的表達式如下：

圖3 柱面映射示意圖

2 映射適應卷積

2.1 混疊與抗混疊

當對于連續信號做采樣處理并將其數字化的時候，如果取樣頻率低于兩倍奈奎斯特頻率，那么把取頻率還原成連續信號時產生交疊而失真的現象叫做混疊，在圖像上又可以叫作疊影。如果混疊發生在時間域上，可以叫時間混疊，發生在頻率域上，叫做空間混疊。出現混疊現象的時候，高頻信息和低頻信息交雜在一起，還原出的原始信息會有很大的缺陷，為了得到更好的原始信息，最好先做抗混疊處理。

采樣必然產生混疊，那么比較常見的抗混疊處理方法有兩種，一種是縮小采樣時間間隔，由于現在的技術有限，許多信號本身可能含有0 ～∞范圍內的頻率，不可能將采樣頻率提高到∞，那么這種方法的可適用范圍就很有限。另一種是用濾波器，在采樣頻率一定的前提下，通過低通濾波器[9]過濾掉一些高頻成分，通過的信號就不會出現混疊現象。這是一種理想的濾波器，實際中的濾波器很難達到理想的狀態。下面我們將介紹一種新的抗混疊方法。

2.2 映射適應卷積理論介紹

卷積其實是讓兩個函數做積分生成一個新的函數的運算，常見的有高斯卷積，假設f（x）,g（x）是R 上的可積函數，積分產生的新函數為h（x），那么卷積的表達式如下：

但是，當其中一個做積分的函數通過映射變為一個新的表達式之后，再做卷積得到的新函數和之前不一樣。有人提出了一種新的卷積理論叫做映射適應卷積理論[10]。在該理論中，作者通過數學推導，給出了一個能適應映射后的卷積公式：

其中x′=g(x′′)一個從該模擬圖像到原始圖像M(x)的映射，并且該映射為微分同胚映射，Jg-1(x)表示映射x′′=g-1(x′)的雅可比行列式的絕對值，κ(x)∈L1(R2)為卷積核函數。該卷積本身是在標準高斯卷積的基礎上進行改進的，并且從文獻[10]的定理2.3 可知映射適應卷積相比標準高斯卷積具有映射適應性。

2.2 算法介紹

從上面的理論知識我們已經知道，映射適應卷積可以讓經過映射后得到的函數 f(h ( x ))和沒見過映射后的函數 f( x )在與另一個函數g(x)做積分運算后結果相同，那么該運算表達式還可以是：

其中，k( x,y )=f(h(x,y))是f( x,y )經過映射后的函數，而映射h 的定義為：

Jh( )x,y 是原函數的雅克比，表達式如下：

那么對于逆映射h-1的雅克比行列式如下：

3 反混疊實驗結果

3.1 驗證該理論具有抗混疊性

通過前面的理論介紹，我們將映射適應卷積加入各種紋理映射方法中，為了驗證我們這種方法在各種映射方法中的抗混疊效果，我們將直接映射的結果圖和做了抗混疊處理的映射結果圖相比較，實驗采用的圖片是由兩個函數生成的：

其中c 是常量，當g1（x,y）和g2（x,y）小于0 時，可以調節c 的值，使得g1（x,y）和g2（x,y）的值為0。

3.2 實驗結果

表1 各映射的抗混疊結果比較

3.3 正映射結果比較

圖4

未做抗混疊處理映射后的圖（左）、用MA 卷積做抗混疊處理映射后的圖（中），原始圖片（右）。左圖與原始圖的相似度為0.738411，中圖與原始圖的相似度為0.763275。做抗混疊處理之后，比之前相似度增長0.024864。

3.4 逆映射結果比較

圖5

未做抗混疊處理映射后的圖（左）、用MA 卷積做抗混疊處理映射后的圖（中），原始圖片（右）。左圖與原始圖的相似度為0.775947，中圖與原始圖的相似度為0.805223。做抗混疊處理之后，比之前相似度增長0.029276。

3.5 球面映射結果比較

圖6

未做抗混疊處理映射后的圖（左）、用MA 卷積做抗混疊處理映射后的圖（中），原始圖片（右）。左圖與原始圖的相似度為0.642653，中圖與原始圖的相似度為0.697859。做抗混疊處理之后，比之前相似度增長0.055206。

圖7

未做抗混疊處理映射后的圖（左）、用MA 卷積做抗混疊處理映射后的圖（中），原始圖片（右）。左圖與原始圖的相似度為0.505829，中圖與原始圖的相似度為0.586922。做抗混疊處理之后，比之前相似度增長0.081093。

由實驗圖片可以看出左圖都產生了混疊現象，而通過映射適應卷積理論的抗混疊算法生成圖像沒有產生混疊現象，因此該映射適應卷積理論抗混疊算法中從球面到平面的紋理映射反混疊有很好的抗混疊效果。

4 結語

本文主要研究映射適應卷積理論在不同紋理映射方法中的抗混疊效果，在論文當中，我們首先介紹了幾種常見的紋理映射方法，如正向映射法、反向映射法、球面映射法和柱面映射法，然后詳細講解了映射適應卷積的理論，以及如何將卷積和映射結合起來。從實驗結果我們可以看出，映射適應卷積在柱面映射法中的抗混疊效果最明顯，在正向映射法相似度的增長幅度最低，本次實驗只驗證了常見的幾種紋理映射法，在后續的研究中可以加入新的對比實驗，例如比較經典抗混疊方法Mip-Map、Rip-Map 在這些紋理映射法中的效果和映射適應卷積的抗混疊效果哪個更好。