水擊基本微分方程未知量演示實(shí)驗(yàn)研究

劉孝洋

(河海大學(xué) 力學(xué)與材料學(xué)院, 江蘇 南京 210098)

水流在管道中流動(dòng)時(shí),當(dāng)運(yùn)動(dòng)要素(速度、流量等)發(fā)生突然變化,管道會(huì)發(fā)出嗡嗡聲、震動(dòng)、變形，甚至管道破裂[1-3],科研技術(shù)人員對(duì)這一水擊現(xiàn)象有較多研究成果[4-8]。由于水擊計(jì)算的基本微分方程是一組非線性雙曲方程,求解較復(fù)雜,水擊圖解法應(yīng)運(yùn)而生。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的不斷成熟,又出現(xiàn)了先將微分方程線性化,然后再進(jìn)一步求解的特征線法,將基本微分方程轉(zhuǎn)化為差分格式的有限差分法,以及將計(jì)算結(jié)果用圖形表示出來(lái),進(jìn)行虛擬模擬等方法。而目前將水擊理論特性與水擊實(shí)際特征相結(jié)合,以演示實(shí)驗(yàn)方式展現(xiàn)出來(lái)的研究并不多見。在水力學(xué)教學(xué)中,若從水擊基本微分方程未知量入手,以未知量演示實(shí)驗(yàn)的形式進(jìn)行實(shí)驗(yàn)授課,授課內(nèi)容更豐富,課堂效果更突出[9]。

1 理論分析

1.1 常規(guī)分析法

一般常用的理論分析計(jì)算有特征線法、差分菱形格式法、差分?jǐn)U散格式法等。以特征線法為例,考慮阻力項(xiàng)下,一維非恒定流基本微分方程組[10-11]如式(1):

(1)

式中：H為測(cè)管水頭，v為斷面平均流速，c為水擊波速，λ為沿程阻力系數(shù)，D為管道直徑，g為重力加速度，坐標(biāo)s的方向與水流方向一致。

用特征線方法求其數(shù)值解的過(guò)程為,將式(1)方程組中2個(gè)偏微分方程沿各自特征線化為常微分特征方程,并將常微分特征方程及其相對(duì)應(yīng)的特征線沿各自特征線積分,建立2個(gè)積分方程組式(2)和式(3):

(2)

(3)

式中：Q為流量，F(xiàn)為阻力系數(shù)，A為斷面面積。

對(duì)方程組(2)和(3)取一階積分近似,變成2個(gè)有限差分方程組如式(4)和式(5):

(4)

(5)

方程組(4)和(5)共有4個(gè)方程,含tm、sm、Hm、Qm4個(gè)未知量,其數(shù)值解可求。

1.2 未知量演示實(shí)驗(yàn)理論分析法

水擊連續(xù)性方程如式(6):

(6)

首先,可將式(6)看成是左邊4項(xiàng)之和等于右邊的常量0。至于左邊4項(xiàng)中哪個(gè)大、哪個(gè)小及其相互影響關(guān)系,暫時(shí)無(wú)從可知。現(xiàn)在將式(6)做如下處理:

式中：z為位置高度。

當(dāng)管道的位置不變時(shí),位置水頭對(duì)時(shí)間的變化率為零,故上式變?yōu)槭?7):

(7)

最后,左邊4項(xiàng)之和等于0的式(6),變成左邊2項(xiàng)之和等于0的式(7)。在式(7)中,左邊的2項(xiàng)之和為零,2項(xiàng)中的一項(xiàng)變化率決定了另一項(xiàng)的變化率,使得變量之間關(guān)系變得清晰明了。

在水擊運(yùn)動(dòng)方程式(8)中:

(8)

式(8)等號(hào)左端為2項(xiàng)之和,等號(hào)右端為另2項(xiàng)之和。當(dāng)速度一定時(shí),式(8)可看成3項(xiàng)之和等于常數(shù),但仍不能確定3項(xiàng)之間變化關(guān)系。故將式(8)進(jìn)行變形處理,處理結(jié)果如式(9):

(9)

當(dāng)速度取值一定時(shí),式(9)為2項(xiàng)之和等于常量的方程式,水頭對(duì)管線位置的變化率與加速度的關(guān)系便確定下來(lái)。

2 實(shí)驗(yàn)裝置和實(shí)驗(yàn)效果

實(shí)驗(yàn)裝置如圖1、圖2所示,壓力管道設(shè)置在自循環(huán)實(shí)驗(yàn)臺(tái)上,管道壓力由實(shí)驗(yàn)臺(tái)上部水箱提供,實(shí)驗(yàn)臺(tái)下方設(shè)供水箱。在實(shí)驗(yàn)管道中部起依次設(shè)置收縮漸變段、擊球室、摻氣道、蓄能管、擊球室和尾閥等構(gòu)件。

圖1 實(shí)驗(yàn)裝置

圖2 擊球室

首先,關(guān)閉摻氣道和蓄能管,打開尾閥。此時(shí)管內(nèi)流動(dòng)為單相水體流動(dòng),將尾閥設(shè)置一定的開度,使得管內(nèi)水流速度保持一定數(shù)值,然后以不同的速度關(guān)閉尾閥,觀察擊球室內(nèi)球體被水擊沖出的高度。從式(9)理論分析可知:當(dāng)dv/dt越大時(shí),水頭沿管線的變化率越大; 從式(7)理論分析可知:當(dāng)速度沿管線變化率越大時(shí),d(H-z)/dt越大。從演示實(shí)驗(yàn)中可清晰觀察到:同一關(guān)閉速度,離尾閥最近的擊球室內(nèi)球體被水擊沖出的高度最高,擊球室離尾閥越遠(yuǎn),擊球室內(nèi)球體被水擊沖出的高度越低; 同一位置擊球室內(nèi)球體,尾閥關(guān)閉速度越快,其球體被水擊沖出的高度越高。

其次,關(guān)閉摻氣道,打開蓄能管,重復(fù)上述尾閥的操作過(guò)程,可以清晰看到:因蓄能管水體的吸能效應(yīng),位于蓄能管與上部水箱之間的擊球室內(nèi)球體受水擊作用減弱。

最后,關(guān)閉蓄能管,打開摻氣道,可明顯發(fā)現(xiàn):當(dāng)收縮漸變段內(nèi)流速增大至負(fù)壓流動(dòng)時(shí),空氣自動(dòng)流入管內(nèi),管內(nèi)流動(dòng)為空氣和水二相流體流動(dòng),重復(fù)上述尾閥操作過(guò)程,由于氣體的壓縮緩沖作用,擊球室內(nèi)球體受水擊沖擊力作用減弱。

水擊演示見圖3、圖4和圖5。

圖3 水擊演示

圖4 摻氣前蓄能管水擊演示

圖5 摻氣后蓄能管水擊演示

上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,擊球室內(nèi)球體被水擊沖出的高度與尾閥的關(guān)閉速率、管路的位置和管內(nèi)流體的彈性等因素有關(guān),蓄能管在摻氣前、摻氣后吸收水擊波的能量差別明顯,同時(shí),水擊壓強(qiáng)變化規(guī)律用動(dòng)態(tài)測(cè)試儀進(jìn)行了驗(yàn)證。

3 結(jié)語(yǔ)

綜上所述,在管道非恒定流的理論分析方法和數(shù)值計(jì)算方法趨于定型化過(guò)程中,從水擊基本微分方程等式兩邊組合項(xiàng)數(shù)入手,化減組合項(xiàng)數(shù),可以確定未知量間的變化趨勢(shì)。其次,通過(guò)演示實(shí)驗(yàn)儀器的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì),利用擊球室內(nèi)球體、負(fù)壓自動(dòng)摻氣及蓄能管消能結(jié)構(gòu),可以直觀再現(xiàn)管道中發(fā)生水擊時(shí)未知量的變化趨勢(shì)。實(shí)驗(yàn)中,采用摻氣、蓄能、流速梯度變化、動(dòng)態(tài)測(cè)試設(shè)備實(shí)測(cè)應(yīng)用等方式展現(xiàn)水擊影響因素及處理危害的方法,可以為工程實(shí)踐提供借鑒。同時(shí),在高校水力學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中,這種未知量演示實(shí)驗(yàn)方式,有助于培養(yǎng)學(xué)生實(shí)驗(yàn)興趣,激發(fā)學(xué)生的想象力。