布爾函數Nega—Hadamard變換的若干性質

童玉珂 陳濤 卓澤朋

摘要：基于有限域和代數理論，研究并證明了布爾函數Nega-Hadamard變換的一些性質，給出一些重要結果。這對今后Negabent函數的構造、性質研究和推廣十分有必要。

關鍵詞：布爾函數；Nega-Hadamard變換；性質；Negabent函數

中圖分類號：TN 918.1 文獻標識碼：A 文章編號：1009-3044（2019）06-0209-03

Some Properties on Nega-Hadamard Transform of Boolean Functions

TONG Yu-ke，CHEN Tao，ZHUO Ze-peng

（School of Mathematical Science， Huaibei Normal University， Huaibei 235000， China）

Abstract： Based on finite fields and algebraic theory， this paper researched and proved some properties about Nega-Hadamard transform of the Boolean function and some important results is given. This is necessary for the construction and nature of the Negabent function in the future.

Key words： Boolean function；Nega-Hadamard transform；properties；Negabent function

1 引言

布爾函數在密碼學和通信領域中廣泛應用，其密碼學性質與密碼體制的安全息息相關。

1976年，Rothaus[1]提出Bent函數的概念，并證明了Bent函數的非線性度達到最大，為[2n-2n2-1]，可有效抵抗線性攻擊。其中Bent函數的一個重要特征是它的Walsh-Hadamard變換的絕對值都相等。據此，Riera等人在文獻[2]中提出Nega-Hadamard變換的概念，為了研究一類特殊布爾函數—Negabent函數。

目前，國內外眾多學者對Nega-Hadamard變換的研究已有較豐富成果[2-11]。Riera和Parker等人在文獻[2-3]中提出并研究了Nega-Hadamard變換的性質，在此基礎上討論了Negabent函數變元情況以及Negabent函數的構造問題。Stanica等人在文獻[4]和[5]中詳細研究了Nega-Hadamard變換的特征，以及Nega-Hadamard變換與其他密碼學指標之間的關系，得出一些重要結果。文獻[6]中研究了Nega-Hadamard變換的若干性質并分析了一類級聯函數的Nega-Hadamard變換。文獻[7]中研究了Nega-Hadamard變換在布爾函數仿射子空間中的性質，并給出布爾函數Nega-Hadamard變換與其導數之間的關系，得到一些結果。文獻[10]通過利用Nega-Hadamard變換研究了具有最大代數免疫階Negabent函數的構造。本文在文獻[2-11]的基礎上，繼續研究Nega-Hadamard變換的性質特征，并給出性質的證明。

2 預備知識

用[F2]表示元素為0和1的二元有限域，記[Bn]是[n]元布爾函數所組成的集合，即[fx∈Bn：Fn2→F2]。[F2]，[Fn2]，[Bn]上加法記作[⊕]，[⊕i]。對任意[fx∈Bn]，其代數正規型[ANF]可表示為

參考文獻：

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