基于小波Mallat算法重構閾值分析

李天祥 白林林 王光斌

摘要：數字圖像的有效去噪是圖像處理的重要環節， 本文主要研究了利用小波變換和軟閾值方法對數字圖像去噪的算法。主要通過對標準圖像進行快速分解和重構，對原始圖像和生成圖像之間的關系進行分析，目的找出如何生成更高質量的效果圖，圖像分解過程中利用小波二次差值分析方法分解圖像，利用圓周函數卷積方法對圖像進行重構，重構過程中，主要考慮重構圖像之間的峰值信噪比（PSNR）和原圖像與處理圖像之間均方誤差之間（RMSE）的關系，并通過設置不同閾值參數（threshold），壓縮比忽略程度（rate）越小，分解重構后，信噪比也就越高，重構后的圖像更符合人的視覺系統特性。

關鍵詞： 重構；二次差值；峰值信噪比；閾值

中圖分類號：TP301 文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2019）10-0243-03

開放科學（資源服務）標識碼（OSID）：

Algorithm Analysis of Mallat based on Wavelet Reconstruction Threshold

LI Tian-xiang1 ，BAI Lin-lin1 ，WANG Guang-bin3

（1.Sichuan Changjiang Vocational College， Chengdu 610000， China； 2.University of Electronic Science and Technology Institute of Chengdu， Chengdu 610000， China）

Abstract：The effective denoising of digital image is an important part of image processing. This paper mainly studies the algorithm of digital image denoising using wavelet transform and soft thresholding.Based on the standard image fast decomposition and reconstruction， based on the original image and generating images were analyzed， and the relationship between the purpose to find out how to generate higher quality rendering， image decomposition in the process of using wavelet decomposition image quadratic differential analysis method， using the circular function convolution method for image reconstruction， reconstruction process， the main consideration between reconstructed image peak signal-to-noise ratio （PSNR） and mean square error between original image and processing image （RMSE） relationship between， and by setting the ratio（threshold） of the relationship between the two， the smaller the degree of compression ratio to ignore （rate）， decomposition after reconstruction， the higher the SNR ，the image reconstruction more accord with human visual system characteristics.

Key words：reconsitution； two difference value； PSNR； threshold value

隨著計算機應用技術的快速發展，圖形圖像處理技術獲得了飛速發展。圖形圖像處理過程中最重要環節是去除圖像的噪聲，其結果會直接影響到圖像質量和特征提取的精確性。現實中，由于獲取圖像的環境、設備及傳輸過程存在許多不確定因素，這將對后續圖像的處理（如特征提取、圖像壓縮和信號檢測等）產生不利影響[1]。基于小波變換的圖像去噪算法研究一直是國內外圖像處理界研究的重點之一。圖像分析和理解首先應考慮對噪聲的處理，因此圖像的有效去噪是圖像信息預處理的重要步驟，在近幾十年的國內外研究中，涌現出了大量的圖形去噪算法和模型，主要有：高斯濾波、中值濾波、小波變換和DCT變換濾波、各向異性擴散方程模型、全變分模型、雙邊濾波、非局部平均濾波等[2]，本文主要研究了利用小波變換和軟閾值方法對數字圖像去噪的算法。經過實驗顯示，該算法能夠取得良好的去噪效果，避免了傳統算法的不足。

小波變換被廣泛地應用在圖像處理的各個環節，由于小波在處理圖像局部特征和多尺度（S.Mallat）[3]在研究圖像處理工程提出來的特點，因此在圖形圖像中有廣泛的應用，本文主要討論了多尺度分析在圖像合成和分解過程中，閾值的選擇問題進行分析。通過對閾值的選取與評估，并對小波系數的統計模型進行了分析比較。Mallat[4]還提出了一種簡單的正交小波基構造方法即Haar正交基。蔣英春[5]通過選取信噪比（PSNR），均方誤差（RMSE） 和剩余噪聲標準偏差（RNSD） 三者之間的關系，分析對圖像去噪后，PSNR越大，RMSE和RNSD比值越小，則去噪信號就越接近原始信號，去噪效果和質量就越好。小波變換的優勢在于細節的處理，能夠自動適應時頻信號的要求，解決時間和空間頻率局部化分析細節[6]。對于小波理論的應用非常廣泛，在數字水印圖案的應用上，ROI區域視覺質量進行保護抗低通濾波、抗幾何攻擊數字水印方案[7]。

1基于小波Mallat重構原理

1.1小波變換的定義

1.2小波變換的分解原理

自然函數包括許多跳躍間斷點，斑點噪聲的乘性噪聲模型在頻率域的表現特征比較復雜，處理閾值的方式也會出現復雜的情況[8]，因此我們選擇對灰度lena標準圖像處理，該圖像包含了各種細節、平滑區域、陰影和紋理，進行小波變換。

Mallat 算法[9]王佳在論文中探討了基于循環卷積的單級小波分解與重構。通過先構造一定的函數空間，將信號F（t）分解到函數空間中進行一定的計算，獲取你想要得到的成對采樣空間，Mallat小波分解算法圖1和小波重構算法圖2。

在對二維離散圖像進行小波變換時，對每行（列）分別調用一維離散小波變換的 Mallat[10] 快速算法子程序，先對行進行分解（c 平滑分量，d 差值分量），如圖 1，再對列進行分解從而得到二維離散信號的一級分解，如圖 2；再對新得到的 cc 區域重新進行 Mallat 分解，重復此過程從而得到二維離散圖像的多級分解效果如圖 3。再對二維圖像進行重建過程中，與分解過程完全相反，先對最后一級的列進行重建，再對其行進行重建后得到上一級的 cc，重復此過程直到所有的級全部重建即得到重建恢復后的圖像。從0級圖片分解到1級分解，到2級分解過程，通過不斷的抽樣，將差值分量存入輸出序列，將平滑分量賦給中間變量，不斷重復該過程，直到將最后一級平滑分量存入輸出序列，分解過程中具有多層塔式結構文獻[11]給出證明，分層結構圖如圖4所示：

通過對標準lena圖像分解后，調用小波函數數據包，小波基（30db），通過參數設置為高通濾波（細節分量）還是低通濾波函數（近似信號），并將增零方式，便于增大分辨率便于觀察圖像細節，調用傅立葉變化對細節分量和近似分量單獨重構，對其他分量置為零的方式，如圖5所示，崔麗鴻等人將被分解來取代對加細函數的符號分解[12] ，通過小波包的構造函數，對自適應插值給出較好的處理方法。

1.3 小波分析的重構算法

兩個函數的圓周卷積是由他們的周期延伸所來定義的。通過對函數平移某個周期 T 的整數倍后再全部加起來，所產生的新函數，可以有效地降低濾波器的邊緣過濾檢測效果，Fukuda[13]對通過閾值處理，按照小波系數為中心點，構建3*3像素的窗口，若該窗口內包括非零數值元素，則保留小波的幅值，反之，則小波幅值減去該閾值，較好地處理濾波器的長度和待處理的信號長度之間的關系。

1.4 圓周卷積的算法

一個序列變成L點周期延拓序列，[x2（n）]，[yl（n）]以L為周期的周期延拓序列的主值序列。因為[yl（n）]有[N1+N2-1]個非零值，所以延拓周期L必須滿足：[L≥N1+N2-1]。這時各延拓周期才不會交疊，而[y（n）]的前[N1+N2-1]個值正好是[y（n）]的全部非零序列值，即[yl（n）]的值。[y（n）]剩下的[L-（N1+N2-1）]個零值。周期延拓，有效地減少濾波器的邊緣效應。本文算法通過將最終將離散的信號經過理由利用圓周卷積定律實現，通常將離散信號添加0補齊成為N個點，然后對N點進行傅立葉計算。對標準圖像重構的效果如圖6所示。

2 小波重構閾值的選擇

在小波變換域對小波系數進行閾值處理， Donoho[14]基于正交離散小波變換推導出來的通用閾值求法，對于不同的小波基，選擇的閾值不一樣，對于圖像的噪聲類型不同閾值也會隨之改變。提取小波分解結構中的一層的低頻系數和高頻系數，一種評價圖像的客觀標準。

（7）

其中，MSE（MeanSquareError）是原圖像與處理圖像之間均方誤差。圖像重構之前，先被壓縮，壓縮后系數為零或者接近為零，由巴塞瓦定理[15]知道這些圖像的能量為零，存儲過程中，忽略這些能量為零的點，達到圖像壓縮存儲的效果，重構過程中，要將這些為零的像素點，所占的總的像素點的數量，來權衡壓縮比例大小，重建的最終目的就是將這些為零的像素點還原的過程，本文算法通過設置統計系數絕對值為零的點占總的變換后全部系數之間的比值或者說（零的個數占總的像素點的個數的比值）通過參數threshold來表示，相應的分析 MSE和PSNR之間關系。并對分解后的圖像進行重建，效果如圖7，對實驗數據分析發現PSNR值越大，通過公式（7）得出MSE越小，像素失真越少，越接近原始圖像，畫質效果更佳。

通過設置變量threshold，設置指令im（abs（y）< threshold）=0；分別設置threshold為（ 0.0001，0.001，0.01，0.1）進行比較，比較圖A-D 對圖像重構過程中發現，由于壓縮比忽略程度rate（忽略系數與總的系數的比值）不同，導致重建圖像細節發生了不同程度的失真。表1內容，當忽略的系數占的rate的值為0.73%時，壓縮程度不高，峰值信噪比較高，最小均方誤差很小，重建圖像也比較理想；當忽略的系數占的rate的值為90.35%時，壓縮程度高，但峰值信噪比低，最小均方誤差大，重建圖像細節變差，雖然在視覺中差異不大，畢竟PSNR的分數無法和人眼看到的視覺品質完全一致。

3結論

實驗過程中，主要對標準圖像分解和重構，下一步將圖像的范圍擴轉到更多自然圖像中，在重構過程中，通PSNR和MSE之間關系，設置threshold比例參數，找到合適閾值對圖像重構，與蔣英春[5]研究結論PSNR，RMSE 和RNSD討論的三者之間關系是相似的，構造較高質量的圖片需要折中考慮。最終也是小波函數的消失矩，消失矩越高，將使小波變換之后的高頻小波系數越小，小波分解后的能量也就越集中，但并不是消失矩的階數越高越好，通過設置不同的閾值，最終達到更符合視覺圖像的效果圖。

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[15] Curlander J C and McDonough R.Synthetic Aperture Radar System and Singal Processing，NY.Wiley，1991.

【通聯編輯：唐一東】