基于高斯隨機向量統(tǒng)計特性的卡爾曼濾波器推導(dǎo)方法

唐子奇 謝嵐 張玉萍

摘 要：為幫助需要深入了解卡爾曼濾波器的研究人員或使用卡爾曼濾波器的工程人員深入學(xué)習(xí)這一非常有用的工具，利用高斯隨機向量及其統(tǒng)計學(xué)特性，尤其是概率密度函數(shù)對卡爾曼濾波遞歸方程進行推導(dǎo)。在推導(dǎo)過程中，給出了卡爾曼濾波器推導(dǎo)所需的相關(guān)理論依據(jù)及數(shù)學(xué)工具。該推導(dǎo)方法簡單、直觀，更便于人們理解卡爾曼濾波器工作機理，并根據(jù)實際應(yīng)用過程進一步開展更深層次的研究。

關(guān)鍵詞：高斯隨機向量；概率密度函數(shù)；卡爾曼濾波器

DOI：10. 11907/rjdk. 191361

中圖分類號：TP3-0 文獻標識碼：A 文章編號：1672-7800（2019）005-0058-04

Abstract：To help researchers to have in-depth study of Kalman filter or engineers using Kalman filters to learn this very useful tool， the Gaussian random vector and its statistical properties， especially the probability density function， the recursive equation of Kalman filter was derived. In the process of derivation， all the mathematical tools needed for the Kalman filter derivation and the corresponding literature are given. The working mechanism of the Kalman filter can be understood without additional query of other data. In addition， specific references are given for the extension part of the Kalman filter for researchers to conduct further research.

Key Words： Gaussian random vector； probability density function； Kalman filter

0 引言

為了克服維納濾波器工程實現(xiàn)較為困難的缺點，1960年匈牙利數(shù)學(xué)家Rudolf Emil Kalman提出了卡爾曼濾波器[1-2]。卡爾曼濾波器提出至今已將近60年，并被廣泛應(yīng)用于各個領(lǐng)域[3-9]，但其依然是目標跟蹤與數(shù)據(jù)融合等領(lǐng)域最有效且常用的工具之一。因此，有必要對其遞推方程進行推導(dǎo)，從基本數(shù)學(xué)公式深入理解卡爾曼濾波器的每條方程，以便能更加靈活地加以應(yīng)用，或根據(jù)具體應(yīng)用情況對其性能進行改進完善。

卡爾曼濾波是離散時間狀態(tài)空間線性模型下的最小均方誤差估計[10-11]，而在卡爾曼濾波遞歸過程中傳遞的是目標狀態(tài)估計均值與誤差協(xié)方差矩陣。因此，典型的卡爾曼濾波器推導(dǎo)方法是利用線性最小均方誤差估計準則尋找使誤差最小的目標狀態(tài)估計[12-13]。該方法中涉及許多向量與矩陣的數(shù)學(xué)計算，計算過程較為復(fù)雜。因此，該推導(dǎo)方式適合數(shù)學(xué)功底（特別是隨機過程相關(guān)知識）比較深厚的研究人員。文獻[14]從一列火車沿鐵路運動這一簡單跟蹤問題出發(fā)，利用兩個高斯概率密度函數(shù)乘積依然服從高斯分布的性質(zhì)推導(dǎo)了卡爾曼濾波。

為了尋求一種簡單、直觀且系統(tǒng)的卡爾曼濾波推導(dǎo)方法，使僅有基本代數(shù)運算能力的研究者也能較為容易地理解卡爾曼濾波器，本文從卡爾曼濾波器估計對象（目標狀態(tài)）在統(tǒng)計學(xué)中的表示（高斯隨機向量）出發(fā)，利用高斯隨機向量的概率密度函數(shù)及其性質(zhì)對卡爾曼濾波器進行推導(dǎo)，推導(dǎo)過程中給出所有用到的理論依據(jù)和數(shù)學(xué)工具，并且對卡爾曼濾波器每個公式的推導(dǎo)都盡量在兩三步之內(nèi)完成，使得推導(dǎo)過程自成體系。

1 高斯隨機向量

凡是卡爾曼濾波器所應(yīng)用的動態(tài)系統(tǒng)，其在任意離散時刻的輸入與輸出必然為高斯隨機向量，即其概率密度函數(shù)為高斯分布。卡爾曼濾波采用高斯隨機向量的原因是：高斯密度用其前兩階矩即可完整表示。因此，對于高斯過程而言，前兩階矩的遞歸傳播估計是最優(yōu)估計方法。

3 結(jié)語

為了實現(xiàn)一種系統(tǒng)且簡單易懂的卡爾曼濾波器推導(dǎo)方法，從卡爾曼濾波器估計對象（目標狀態(tài)）在統(tǒng)計學(xué)中的表示（高斯隨機向量）出發(fā)，首先給出了高斯隨機變量定義及其概率密度函數(shù)，并且給出了高斯分布引理，其中兩個引理在卡爾曼濾波器推導(dǎo)過程中起到了關(guān)鍵性作用；其次，給出卡爾曼濾波器需要滿足的假設(shè)條件，只有在這些條件下，卡爾曼濾波器才是最優(yōu)的；接下來進一步介紹了推導(dǎo)過程中兩個必要的統(tǒng)計學(xué)工具；最后對卡爾曼濾波器進行推導(dǎo)，推導(dǎo)過程中介紹了所有用到的數(shù)學(xué)工具，使整篇文章自成體系，并且對每一處關(guān)鍵理論都給出了參考文獻，以便研究人員對卡爾曼濾波算法開展更深入的研究。

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（責任編輯：黃 健）