自適應嚴格收斂非奇異終端滑模制導律

李曉寶，趙國榮，張友安，郭志強

1. 海軍航空大學 岸防兵學院，煙臺 264001 2. 海軍航空大學 大學參謀部，煙臺 264001 3. 煙臺南山學院 電氣與電子工程系，煙臺 265713

為了使作戰毀傷效果最大化，導彈以較小的脫靶量攔截目標的同時還要求具有特定的終端攻擊角度。對于靜止或者機動能力較弱的目標，比例導引律因其制導效果好，便于實現的優點而被廣泛的應用[1-2]，但對高機動目標的制導效果卻并不理想[3]。針對機動目標的攔截問題，應用現代控制理論進行導彈末制導律的設計近些年開始成為研究的熱點，如最優控制制導律[4-5]、H∞控制制導律[6]、微分對策制導律[7]。

對于系統不確定性和外界的擾動，滑模控制具有較強的魯棒性，并且相比于最優控制制導律，不需要對剩余時間進行估計，因此在制導律設計中得到了深入研究[8]。傳統滑模制導律其彈目視線(Line of Sight, LOS)角在制導過程中收斂時間是趨于無窮的，而終端滑模控制(Terminal Sliding Mode Control, TSMC)通過引入非線性滑模面確保了系統狀態能夠在有限時間內收斂[9]。針對導彈在攔截高機動目標時末制導時間通常較短的特點，有限時間收斂控制能夠加快制導系統收斂速率，縮短制導時間。應用TSMC方法設計攔截機動目標的末制導律近些年得到了廣泛的研究[10-16]。但是傳統的TSMC方法會出現奇異現象[17]，現有的終端滑模制導律在解決滑模面奇異性問題時通常采取兩種辦法：一是采取滑模面轉換的形式避免奇異性問題，例如文獻[10]在滑模面進入奇異區域時將其轉換為普通的二次函數形式的滑模面，但是因為轉換滑模面的存在，制導系統狀態變量最終不能在有限時間收斂到零；二是設計新型的非奇異終端滑模面，例如文獻[11-12] 構造了一種非奇異終端滑模面，在此基礎上設計了一種非奇異終端滑模制導律，文獻[13-15] 進一步給出了快速非奇異終端滑模制導律的設計方法，提高了制導系統的收斂速率。但是，文獻[11-15]在制導過程中存在著非嚴格有限時間收斂的問題，即制導系統在滑模面到達過程中不是嚴格有限時間收斂的，存在著非收斂因子，需要單獨分析非收斂因子是否為滑模到達階段的吸引子，而且非收斂因子的存在減緩了滑模面的收斂速率。文獻[16]特別指出了這個問題并為此設計了一種新型的嚴格收斂非奇異終端滑模制導律，然而其設計的滑模面并不是光滑的，而且制導系統狀態變量最終并不能收斂到零，只能收斂到一個未知的有界區域內。

此外，在研究攔截機動目標的末制導問題時，采用終端滑模設計制導律需要預先知道目標的機動，然而實際情況中目標的機動大多數是未知的，文獻[14,18]在設計制導律過程中假設目標機動存在一個已知的上界，但是通常目標機動的上界也難以測量。自適應控制由于其在控制過程中具有不需要知道外部擾動任何信息的優點，應用到制導律設計中可以有效地解決目標機動未知的問題[19-20]。

針對機動目標的終端角度約束末制導攔截問題，考慮到上述文獻研究的不足，本文設計了一種新型的嚴格收斂非奇異終端滑模面，該滑模面不僅連續光滑并且有效避免了奇異性問題；然后，通過Lyapunov穩定性理論證明了基于此滑模面設計的制導律不僅能夠使得制導系統在滑模面到達階段是嚴格有限時間收斂的，具有更快的收斂速率，而且確保了終端角度誤差和LOS角速率最終是有限時間內收斂到零的，提高了終端角度約束的精度。此外，設計了一種針對目標機動上界的自適應律使得制導律設計過程中不需要預先知道目標的機動信息，增強了制導系統對外部干擾的魯棒性。最后，通過仿真對該制導律的性能進行了分析。

1 問題描述和相關引理

1.1 問題描述

圖1 導彈目標運動關系Fig.1 Missile target engagement geometry

導彈末制導攔截過程可以簡化為在二維平面內進行，如圖1所示r和q分別代表導彈M和目標T之間距離和彈目LOS角，γM和γT分別代表M和T的航跡角，假定M和T速度恒定分別記為VM和VT,aM和aT分別代表M和T的法向加速度。那么制導系統的運動學方程可表示為

(1)

(2)

導彈末制導終端攻擊角度θimp為終端攔截時導彈和目標速度之間的夾角，若γTf和γMf分別為導彈和目標的終端航跡角，可知

θimp=γTf-γMf

(3)

VMsin(γMf-qd)=VTsin(γTf-qd)

(4)

(5)

對于某一具體的攔截過程，ν是固定的，若目標是靜止的，則γTf=0；當目標作非機動運動，則γTf是可測的；若目標是機動的，則γTf可以通過彈上的跟蹤濾波器得到。若γTf已知，對于某一期望的θimp，則由式(5)可知存在唯一的qd與之對應；對于某一期望的qd，由式(3)和式(4)可知存在唯一的γMf和θimp與之對應。因此，導彈終端攻擊角度θimp與終端LOS角qd存在著一一對應關系[21]。因此，導彈末制導終端攻擊角度θimp約束可以轉化為期望的終端LOS角qd約束的問題。

(6)

式中：d=cos(γT-q)aT為由目標機動產生的制導系統外部擾動

假設1假設Δ為一正常數，代表目標機動aT最大值，那么可知|d|≤Δ。

通過設計導彈法向加速度aM使LOS角跟蹤誤差x1以及LOS角速率x2在有限時間內收斂到原點，導彈便能夠確保以期望的終端LOS角qd精確命中目標。

1.2 基本引理

引理1[17]假設存在原點鄰域U∈Rn上的C1光滑正定函數V(t)，且V(t)滿足：

(7)

式中：a,b>0, 0<γ<1,t>t0,t0為系統初始時間。那么，該函數將在有限時間收斂到零，且相應的收斂時間tf滿足:

(8)

引理2[22]假設存在原點鄰域U∈Rn上的C1光滑正定函數V(t)，且V(t)滿足：

(9)

式中：λ>0, 0<γ<1,t>t0。那么，該函數將在有限時間收斂到零，且相應的收斂時間tf滿足：

(10)

2 制導律設計

2.1 嚴格收斂非奇異終端滑模面構造

針對終端滑模控制存在奇異性問題，文獻[12] 設計了一種非奇異終端滑模面

s=x1+αsigq(x2)

(11)

式中：α>0, 1

(12)

制導系統在滑模面到達階段由Lyapunov穩定性理論得到

(13)

圖2 制導系統變量的收斂過程Fig.2 Convergence process of guidance system

文獻[16]針對此問題設計了一個嚴格收斂非奇異終端滑模面：

(14)

式中：α,β>0,a>0,γ>1。對滑模面(14)求導可得

(15)

文獻[10]針對滑模面奇異性問題，提出了一種轉換滑模面的方法：

s=x2+l1x1+l2g(x1)

(16)

式中：l1>0,l2>0,g(x1)∈R定義為

(17)

式中：0<γ<1,α1=(2-m2)εγ-1,α2=(m2-1)εγ-2,ε為一個小的正常數。

雖然基于滑模面(16)設計的制導律[10]雖然不存在上述非嚴格有限時間收斂的問題，但是因為轉換滑模面的存在，系統狀態變量x1,x2在滑動階段最終只能有限時間收斂于{(x1,x2)|x1≤ε,x2≤α1ε+α2εγ}，而并不能嚴格的有限時間收斂到零。

為了解決上述非奇異終端滑模制導律設計中存在的問題，本文設計了一種嚴格收斂非奇異終端滑模面

s=x1+α(p|x1|+e-p|x1|-1)·

(1-e-q|x2|)sign(x2)+βsigγx2

(18)

式中：α,β>0, 0<αp<1,q>0, 1<γ<2。對滑模面s求導可得

sign(x1x2)+[αq(p|x1|+e-p|x1|-1)·

(19)

2.2 制導律設計

定理1對于制導系統(6)，若采用本文構造的滑模面(18)，如果制導指令aM設計為

(20)

(21)

則有如下結論成立：

2) 滑模變量s嚴格有限時間內收斂于零。

3) 制導系統(6)的狀態變量x1、x2有限時間內收斂于零。

證明：該定理證明過程分為如下3步。

1)考慮如下Lyapunov函數

(22)

根據式(19)～式(21)，那么Lyapunov函數V的導數可以寫為

αpx2(1-e-p|x1|)(1-e-q|x2|)sign(x1x2)+

(23)

2)考慮如下Lyapunov函數

(24)

對Lyapunov函數V1求導，代入式(19)和式(20) 可得

(1-e-p|x1|)(1-e-q|x2|)sign(x1x2)+

(25)

(26)

式中：η為個任意小的正常數。那么

(27)

因此，可以得到

(28)

因為φ(x1,x2)≥0，當且僅當x1=x2=0時等號才成立，所以由式(28)以及引理1可知，制導系統(6)在滑模面到達過程中嚴格有限時間收斂到s=0。

3)考慮如下Lyapunov函數

(29)

因為0≤1-e-q|x2|≤1, 0≤p|x1|+e-p|x1|-1≤p|x1|，當制導系統(6)狀態量x1、x2到達滑模面(18)時，由s=0可知x1x2≤0，且此時

(30)

對Lyapunov函數V2求導，代入式(30)可得

(31)

注4由于符號函數sign(s)的存在，制導律(19)是非連續的，可能會引發顫振現象。為了減少震顫，符號函數sign(s)可采用雙曲正切函數tanh(s/ξ)近似代替，ξ是一個小的正常數。因此，制導律(20)就可以修改成如下形式

k1s+k2sigγ1s]

(32)

式(32)即本文最終設計的考慮終端角度約束的自適應嚴格收斂非奇異終端滑模制導律(Adaptive Strictly Convergent Nonsingular Terminal Sliding Mode Guidance，ASCNTSMG)。

3 仿真分析

為了更全面地分析ASCNTSMG的制導效果，在仿真中引入了與其他現有制導律的對比。

文獻[12]設計一種自適應非奇異終端滑模制導律(Adaptive Nonsingular Terminal Sliding Mode Guidance, ANTSMG)

(33)

文獻[10]設計一種自適應非奇異快速終端滑模制導律(Adaptive Nonsingular Fast Terminal Sliding Mode Guidance, ANFTSMG)。

(34)

同時為了更好地分析ASCNTSMG的制導性能，考慮如下3種不同的目標機動情況:

1)aM=7gcos(πt/4)。

2)aM=7g。

3) 當t≤5 s時,aM=7g；當t>5 s時，aM=-7g。

此外，文獻[15]提出了平均攔截加速度aME的概念來評估制導指令的大小，其定義為

(35)

式中：N為總的仿真步數；aM(k)為第k步的制導指令仿真值。

3.1 仿真對比

假設導彈攔截目標時期望的終端LOS角qd為20°，在3種不同的目標機動情況下對制導律ASCNTSMG、 ANTSMG和ANFTSMG的制導性能進行對比，仿真結果如圖3～圖5以及表1～表3所示。

對于攔截高機動目標，導彈末制導時間通常較短。然而為了滿足LOS角和LOS角速率有限

圖3 第1種目標機動下導彈攔截Fig.3 Intercepting target in Case 1

時間收斂的要求，導彈在末制導前期通常需要進行較大的機動使得導彈盡快的對準目標，但是導彈的機動能力有限，因此制導指令在末制導初始階段會出現飽和現象，ANTSMG和ANFTSMG在相同的仿真場景下也出現了飽和現象。飽和現象的出現并不會影響制導系統的穩定性，但會導致滑模面和系統變量收斂時間的增加。如圖6所示，在第3種目標機動下，相比于不考慮制導指令飽和的情況，ASCNTSMG依舊能夠使得滑模面s

圖4 第2種目標機動下導彈攔截Fig.4 Intercepting target in Case 2

圖5 第3種目標機動下導彈攔截Fig.5 Intercepting target in Case 3

表1 第1種目標機動下仿真結果Table 1 Simulation results in Case 1

制導律攔截時間/s脫靶量/mLOS角誤差/(°)aME/(m·s-2)ASCNTSMG17.22810.02150.0279102.4745ANTSMG19.61580.03050.0180173.7820ANFTSMG17.73340.02570.0443123.7496

表2 第2種目標機動下仿真結果Table 2 Simulation results in Case 2

表3 第3種目標機動下仿真結果Table 3 Simulation results in Case 3

圖6 不考慮制導指令飽和的仿真對比Fig.6 Simulation comparison without saturation

和LOS視線角q在有限時間內收斂，但是收斂時間分別增加了2 s和1 s左右。

3.2 以不同的初始航跡角γM0攔截目標

假設導彈攔截目標時期望的終端LOS角qd=20°，目標采取aM=7gcos(πt/4)進行機動，導彈的初始航跡角γM0分別為30°，60°和90°。針對ASCNTSMG進行仿真分析，結果如圖7以及表4所示。

圖7 以不同的初始航跡角攔截目標Fig.7 Intercepting target with different initial flight path angles

表4 以不同的初始航跡角攔截目標時仿真結果

Table 4 Simulation results of intercepting target with different initial flight path angles

初始航跡角(°)攔截時間/s脫靶量/mLOS角誤差/(°)aME/(m·s-2)3016.61180.02260.037897.47076017.22810.02150.0279102.47459019.39240.0163-0.0323134.1757

3.3 以不同的期望終端LOS角qd攔截目標

假設導彈攔截目標時初始航跡角γM0=60°,目標采取aM=7gcos(πt/4)進行機動，期望的終端LOS角qd分別為20°，30°，40°。針對ASCNTSMG進行仿真分析，結果如圖8以及表5所示。

圖8 以不同的期望終端LOS角攔截目標Fig.8 Intercepting target with different desired LOS angles

表5 以不同的期望終端LOS角攔截目標時仿真結果

Table 5 Simulation results of intercepting target with different desired LOS angles

期望LOS角/(°)攔截時間/s脫靶量/mLOS角誤差/(°)aME/(m·s-2)2017.22810.02150.0279102.47453015.69770.02370.028080.18184017.38880.01640.0209137.5841

4 結 論

1) 設計了一種自適應終端滑模制導律，能夠實現對機動目標的精確打擊和終端角度約束的要求。自適應估計的結構簡單，不影響制導系統的有限時間穩定性，提高了系統的抗干擾能力。

2) 設計的滑模面通過巧妙地構造一個包含制導系統狀態變量的混合項，解決了現有終端滑模制導律在處理奇異性時面臨的滑模面不能嚴格收斂以及系統狀態最終無法收斂到零的問題，提高了制導性能。

3) 所設計的制導律提高了制導系統的收斂速率和終端角度約束的精度，通過與ANTSMG以及ANFTSMG在相同場景下仿真對比，驗證了本文所設計的制導律的優越性。