題不在多 但求精彩——例談“1+3 作業模式”習題精選和設計的策略

浙江省江山市城南中學 陳立順

做習題，是學生重溫和組合舊知，去解決“新”課題的過程，這個過程，也是學生經歷觀察、分析，并不斷調整策略的過程。因此，做習題對訓練學生的思維，提高學生的數學能力和素養至關重要。那么教師應怎樣精選和設計習題，讓學生擺脫“題海”，做到以少勝多呢？多年來，本人探索并踐行了一種“1+3 作業模式”，即1 本省編作業本加上3 道提高題供學生分層作業。其設計策略主要體現在以下三個方面：

一、一題多解，旨在多解歸一，凸顯本質

例1 如 圖1，AM ∥BN，求∠APB，∠PAM，∠PBN 三個角之間的數量關系（要求至少用三種不同的解法）。

分析：這道題得出三個角的和為360 度的結論并不難，難就難在要用多種方法求解。解法1：如圖2，過P 作PQ ∥AM ，由平行線的性質和周角的意義可得結論；解法2：如圖3，連接AB，由平行線的性質和三角形內角和性質可得結論；解法3：如圖4，在BN 上任取一點Q，連接AQ，由平行線的性質和四邊形內角和性質可得結論；解法4：如圖5，作QR 與AM，BN 交于R，Q，由平行線的性質和五邊形內角和性質可得結論；解法5：如圖6，任意作截線QR 與AM，BN 所在直線交于R，Q，再用平行線的性質、三角形及四邊形內角和性質也可獲得結論。

圖1

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6

當然解法遠不止這些，但解題不應到此結束。一題多解之后要進行多解歸一，歸一才能凸顯本質。上述解法雖然開始都不同，但走到最后，都需要應用平行線性質，可見通過構造截線或被截線，讓兩直線平行產生至少一對內錯角或同旁內角或同位角，從而讓兩直線平行這個條件“英雄有用武之地”是必經之路。其次，從結論來看，添輔助線的目的也是為了把要求和的分散的三個角集中到所熟知的多邊形或者周角、平角及互補的同旁內角這些基本圖形中，從而解決問題。另外，從考查的知識看，構造的這些圖形無非就是將平行線與各種多邊形或周角等圖形進行組合而已。學生這樣做題，就可切入本質，深刻理解知識之間的聯系，從而做到做一題，通一類，這也正是提升解題能力的根本之道！當然其前提是習題一定要精心選擇和設計。

二、題組訓練，旨在多題歸一，揭示基本思考規律

例2 完成下列題組：

1.已知點A（3，7）、B（1，2） 、C （6，4）是坐標系中的三個點，點D 是平面上的另一點。若以點A，B，C，D為頂點的四邊形為平行四邊形，求點D 的坐標。

圖7

2.如圖7，正三角形ABC 的邊長為 6 cm，射線AG ∥BC，點E 從點A 出發，沿射線AG 以1cm/s的速度運動，同時點F 從點B 出發，沿射線BC 以2 cm/s 的速度運動，問運動多長時間，以A，F，C，E 為頂點的四邊形是平行四邊形？

3.已知拋物線y=ax2+bx+c 過A（-1，0），B（5，0），C（0，5）三點。點M，N 分別為直線BC 和拋物線上的動點，若以M，N，C，O 為頂點的四邊形為平行四邊形，試求出點M 的坐標。

分析：平行四邊形頂點坐標有如下規律：平行四邊形相對頂點的橫坐標的和相等，縱坐標的和相等。第1 題中三個頂點坐標是已知的，只要以相對頂點為線索，分三種情況討論即可求得點D 的坐標。第2題中平行四邊形兩個頂點是定的（坐標未知），則可分別以AC 為對角線和邊分兩種情況進行分類求解： 先用時間t 表示出AE 和 CF，再根據AE=CF 列出方程求解。第3 題中平行四邊形有兩個頂點定（坐標已知），一種解法就是先設出定直線上點M 的坐標為（m，-m+5），然后以相對頂點為線索用m 表示出點N 的坐標，再代入拋物線的函數表達式進行求解。當然，這題還可以進行一題多變，將拋物線改成雙曲線或圓或直線等。

上述題組旨在多題歸一，揭示出如下動點形成平行四邊形的基本思考規律：

1.變中抓不變，分析哪些頂點定，哪些頂點動；

2.若三定一動，則以相對頂點為線索分三種情況求解；

3.若兩定兩動，則分兩種情況，一是兩定點坐標已知，則可用一個字母先表示第三個頂點坐標，再以相對頂點為線索分三類求出第四個頂點坐標，再根據第四個頂點滿足的條件進行求解。二是兩定點坐標不易求得，則以兩定點的連線段為抓手，分別以它為邊和對角線分類進行求解……（此規律還要在實踐中加以完善）

上述題組訓練，關鍵在于教師能否引導學生總結出那些常用的基本圖形、基本數式及基本思考規律等。

三、題型齊全，緊扣中考趨勢，全面訓練各類解題方法

從現行中考數學試卷結構看，有選擇題、填空題和解答題三大題型。從具體題型看，有計算題、作圖題、證明題、規律探索題、閱讀理解題，新定義題及綜合題等。每一類題型的解題方法也會有差異。特別是選擇題和填空題，只求正確結論，不必寫出步驟，因此解題策略就顯得非常重要。教師要引導學生充分利用題目的有效信息選擇恰當的方法進行 “巧算”，其主要解法有直接法、猜想法、特殊值法、枚舉法、數形結合法、代入驗證法、排除法、實踐操作法、測量法和估算法等。當然，有時解一道題需同時使用幾種方法，教師要精選好習題，讓學生平時加以訓練。

總之，題不在多，但求精彩。只有教師科學地精選和設計習題，才能讓學生做到以少勝多，舉一反三，從而切實減輕學生的學業負擔，讓學生全面健康地成長。