基于節點位置相關性分析的結構位形推算方法

劉俊 羅永峰 楊旭 栗云松

摘? ? 要：既有空間結構鑒定計算應按結構實際位形建立幾何模型.根據空間結構幾何構造特性，采用節點位置偏差相關系數的函數模型分析節點位置相關性并給出模型參數確定方法;基于節點位置相關性分析，提出根據抽樣測量節點位置推算結構幾何位形的方法，以條件概率分布期望作為未測節點實際位置偏差的期望估計值，以交叉驗證的方差置信上限作為偏差的方差估計值，由此確定偏差分布，得到結構實際幾何位形，建立結構鑒定計算的不確定模型.對實際網殼結構根據抽樣測量節點位置推算結構實際幾何位形，并進行整體穩定性分析.研究結果表明，基于節點位置相關性分析的推算方法結果更符合實際.

關鍵詞：空間結構;鑒定分析;位形推算;節點位置相關性

中圖分類號：TU393.3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標志碼：A

Abstract：In both the analysis and appraisal of existing spatial structures，structures should be modeled in accordance with the actual geometric shapes. A function of correlation coefficient was recommended to model the correlated deviation of nodal positions according to the geometric characteristics of the existing spatial structures， and the approach to calculating model parameters was given. Based on the correlation analysis of nodal positional deviations，a new method of reckoning the structural geometric shapes by sampling nodal positions was proposed. In the proposed method， the deviation distributions of unmeasured nodal positions can be inferred from sampling data where expectations should be calculated by conditional distributions and variances would be estimated as upper limits of the confidence intervals from the cross validation. Then， using the calculated deviation distributions， uncertain geometric models can be established to analyze and assess the existing spatial structures. Through calculating the shell shape by sampling the nodes and analyzing its overall stability， it concludes that the method based on nodal positions correlation analysis meets the actual case. The proposed method was applied to reckoning the geometric shape of a reticulated shell structure，and the nonlinear static stability analysis was carried out. It is shown that the proposed method can give reliable results and apply to the appraisal of existing spatial structures.

Key words：spatial structure;structural analysis and appraisal;geometric reckoning;nodal positional correlation

對既有空間結構進行定期或適時的檢測、鑒定與維護，是保障結構安全且正常使用的前提和必要條件[1-2].國內外規范[3-4]均指出，既有結構鑒定分析采用的計算模型應是根據結構實際狀況建立的二維或三維模型.然而，對既有空間結構的幾何位形進行完全測量是不經濟且沒有必要的，有時甚至是不可能的，因而，實際工程結構檢測通常采用抽樣測量的方法.但是，抽樣測量只能獲得部分節點位置信息，要建立符合實際狀況既有結構幾何模型，必須根據已測量節點位置及結構設計信息，推算未測量節點位置，形成結構實際整體幾何位形.

目前，由于缺乏關于既有結構整體位形反演推算的理論成果，實際結構工程鑒定中未測節點位置往往采用設計位置.對于單層網殼結構等缺陷敏感型空間結構，幾何缺陷是影響結構整體穩定承載力的關鍵因素之一[5-7].因此，當未測節點位置采用設計位置時，則必須考慮結構幾何缺陷，而實際工程鑒定分析中，結構幾何缺陷仍按設計方法考慮.設計假定的缺陷與結構實際缺陷可能完全不同，這將導致鑒定分析結果與結構實際狀態可能存在很大差異.對于此，羅立勝等[8]研究認為，采用不確定模型進行結構鑒定計算更為合適;羅永峰等[9]提出推算結構實際幾何位形的隨機偏差方法，根據已測節點位置推斷未測節點位置偏差分布，建立不確定幾何模型.此類方法基于節點空間位置的不確定性和隨機分布特性.由于空間結構節點位置偏差受安裝設備、安裝技術、工人技術水平等多種因素影響，因而偏差一般具有明顯的隨機分布特征，同時，實際工程測量數據表明[10-12]，節點位置偏差往往服從正態分布.但是，不同節點的偏差分布可能并非相互獨立，Chen等[10]在對單層網殼結構初始整體幾何缺陷的研究中指出，結構鄰近節點的實際位置偏差具有相關關系，并采用實際單層網殼結構節點位置偏差實測數據進行了驗證.現有推算既有空間結構節點位置的隨機偏差方法假定不同節點位置偏差相互獨立，未考慮節點實際位置偏差可能存在的相關性.推算結構實際幾何位形時，忽略實際存在的節點位置偏差相關關系，會導致抽樣測量數據提供的相關性信息被忽略，未測節點位置推算結果的準確程度降低，結構鑒定分析結果與實際狀況差異增大.

基于此，本文針對既有空間結構幾何位形的推算方法進行研究，提出基于節點位置相關性分析的位形推算方法.該方法首先根據節點位置抽樣測量數據，擬合節點實際位置偏差的相關系數函數模型;然后，基于節點位置相關性分析結果，通過抽樣測量數據推算未測節點實際位置偏差分布;最后，根據偏差分布推算結果建立既有空間結構鑒定計算的幾何模型.

1? ?節點位置相關性

1.1? ?偏差的相關性

節點位置相關性是指結構不同節點實際位置偏差的相關性.既有空間結構鄰近節點的位置偏差往往具有一定相關性，節點位置抽樣測量數據可以為未測節點位置推算提供有效信息.

例如，假定結構中2個節點同一方向位置偏差X1和X2均服從正態分布，即X1～N（μ1，σ21）、X2～N（μ2，σ22），其中μ1和μ2為分布的期望，σ21和σ22為分布的方差，則其密度函數分別為：

記X1和X2的相關系數為r，此時，X1和X2服從聯合正態分布，其聯合密度函數為：

根據概率論與數理統計理論，某一隨機事件在另外一個事件已經發生條件下的發生概率被稱為條件概率.若已知X1的測量值x1，則X2的條件概率密度函數可由

相較于X2的原正態分布，可以發現X2的方差由σ22降低為σ22（1-r2），由此可見，X1的實測值x1可以為X2分布推斷提供一定信息，使X2方差減小.考慮極端情況，若X1和X2同分布，且相關系數 r=1，此時X2方差降低為0.這表明得到X1實際值為x1，則可以以100%概率推斷X2 = X1.由此可見，若節點之間存在相關性，基于條件概率理論，必須考慮節點位置相關性才能充分利用抽樣測量數據信息，提高偏差分布推斷準確程度.

1.2? ?協方差與相關系數

考慮既有空間結構節點位置相關性，應首先對不同節點位置偏差的相關關系進行定量分析.概率論和數理統計理論中，主要采用協方差和相關系數描述變量之間的相關性大小.以隨機變量表示節點實際位置與設計位置偏差，空間結構節點同一方向位置偏差變量集合可以表示為（X1，X2，…，XN），其中N為節點總數量，同時，變量對應的實際偏差值記為（x1，x2，…，xN）.分別以E、var和cov表示變量的期望、方差和協方差，則對于任意第i和第j個節點，偏差Xi和Xj的協方差定義為：

相關系數反映了隨機變量間的線性相關程度[13]， r越大，相關程度越大; r最大為1，此時兩個變量完全線性相關;而 r = 0則表明兩個變量之間不相關.此外，r的正負分別表示正相關和負相關.

協方差與相關系數均為定量描述相關性大小的參數，特別是，若（X1，X2，…，XN）同分布，則方差為常量，記為σ2，由式（8）可得：

表明協方差是相關系數與常量的乘積，此時，協方差與相關系數呈完全正比關系.由于相關系數是無量綱參數，易于對比分析，因此，本文選用相關系數作為定量描述節點位置相關性的參數.

1.3? ?相關系數函數模型

既有空間結構節點數量往往較多，為求不同節點之間相關系數，首先需要根據既有空間結構幾何構造特性和節點位置偏差分布特征，確定一個合理且實用的相關系數數學函數模型.節點位置相關性受結構網格劃分形式、結構安裝方式和施工技術水平等多個因素影響，難以根據全部影響因素建立函數模型.Chen等[10]指出節點距離越近，相關性越強，并提出以兩節點之間最小桿件連接數為相關系數函數的自變量.本文根據既有空間結構幾何構造特點和空間整體性，假定節點位置相關性僅取決于節點間距離，節點之間距離越大相關性越小.因此，相關系數是節點距離的函數，即

其中，d為第i個節點與第j個節點設計位置之間的距離.r（d）應滿足d=0時r最大為1;隨著d增大，r逐漸較小;當d較大時，r接近或等于0.基于此變化特點，理論模型可采用線性模型、球狀模型和高斯模型等[14]，以高斯模型為例，

其中，θ為待定參數.高斯函數圖像如圖1所示.由圖1可知，此模型符合相關系數變緩特點.相關系數函數模型的參數，可根據節點位置抽樣測量數據計算得到.同時，對函數模型擬合實際工程測量數據的準確程度進行分析，若函數模型能較好擬合樣本數據，則假定模型的合理性得到驗證.

2? ?節點位置推算

2.1? ?偏差分布推斷

施工誤差引起既有空間結構幾何位形偏離設計位形時，節點實際位置應是以設計位置為中心的隨機分布，因此，節點位置偏差應服從期望為零的某種概率分布，一般認為偏差近似服從正態分布.

假定既有空間結構節點位置偏差服從期望為零、方差為σ2的正態分布， T為n個抽樣測量節點位置偏差，相關系數矩陣R定義為：

則X的概率密度函數為：

記X0為某一未測節點位置偏差，那么相關系數向量 r可以定義為：

抽樣測量得到X的樣本值x=（x1，x2，…，xn）T之后，X0的概率分布變為條件概率分布，由條件概率密度計算公式[15]可計算得到X=x時X0的條件概率密度函數為：

根據正態分布密度函數可知，X0條件概率服從正態分布，即X0～N（rTR-1x，（1-rTR-1r）σ2）.基于此條件概率分布，可以認為X0的期望估計值方差估計值可以證明[16]，期望的估計值 0是最優線性無偏估計（簡單Kriging估計），對于非正態分布依然成立.一般rTR-1r < 1，因此 20 < σ2，表明推斷分布的方差小于原分布方差.因而，本文方法偏差分布推斷結果精度，高于忽略節點相關性的推斷結果.

2.2? ?相關系數模型及參數確定

估計式（19）（20）中含有2個未知參數，即方差σ2以及用于計算R和r的相關系數模型參數 .采用估計公式進行偏差分布推斷時，首先需要確定相關系數函數模型，并根據抽樣測量數據估計參數 σ2和θ.由此可構建函數

則R（d）中恰好包含未知參數σ2和θ.隨機過程理論中， R（d）被稱為自相關函數，簡稱相關函數，根據抽樣測量數據擬合得到相關函數，就可以得到參數σ2和θ.

首先，根據n個抽樣節點位置偏差（x1，x2，…，xn），對于任意第i和第j個節點，分別計算兩節點距離dij及偏差乘積xi xj，可以得到R（d）的多組觀測值 （dij，xi xj）（i，j∈N;i≠j）.然后，繪出（dij，xi xj）的散點分布圖，由于σ2為定值，自相關函數R（d）趨勢與相關系數函數模型r（d）相同，因此，根據散點圖趨勢可以選定合適的相關系數模型.

實際工程中數據（dij，xi xj）分布散亂，往往需要通過對距離dij進行分組并計算均值作為R（d）的觀測值.首先給定組寬2d0，確定距離dij落在區間[dm - d0，dm + d0]內的所有數據對，然后計算偏差乘積的均值，記為Rm，得到新的M組數據對（dm，Rm），由此繪出R（d）的散點圖.

根據散點數據擬合相關函數方法有多種[17]，最簡單實用的方法是非線性最小二乘法.相關系數模型選定之后，乘以參數σ2得到R（d）的數學函數模型，以此作為非線性回歸模型對M組數據進行回歸分析.采用非線性最小二乘法對回歸模型的參數進行估計，構造函數求解使得其達到最小的σ2和θ，就可得到參數的最小二乘估計.若相關系數選用高斯模型等連續可導函數，R對 σ2和θ也均連續可導時，此時，可以利用微分法建立非線性最小二乘估計的正規方程組：

求解該方程組即可得到參數σ2和θ的最小二乘估計.

若相關系數模型（球狀模型或線性模型等）對 θ非連續可導時，需要通過最優化計算方法，直接求解使式（23）最小的σ2和θ，得到參數估計值.

2.3? ?方法適用性

本文方法假定相關系數是節點距離的函數，若相關函數散點圖顯示節點相關性與節點距離沒有趨勢的明顯變化關系，則本文方法不適用，偏差分布推斷應采用獨立樣本的傳統統計推斷方法.

由式（20）可以得出方差估計值，但是由于相關系數模型與實際存在差異等原因，方差估計值可能與實際值存在一定差異.對已測節點數據進行交叉驗證，由于交叉驗證結果包含模型差異因素，因此，采用交叉驗證方差作為未測節點位置偏差的方差更為準確合適.按照本文方法的計算式（19）計算偏差的期望估計值，以交叉驗證結果的方差作為方差估計值，就可以得到未測節點位置偏差分布.將未測節點以設計位置為中心，按推斷的偏差分布建立不確定模型，可進一步進行蒙特卡羅有限元計算和結構鑒定分析.

3? ?案例分析

3.1? ?結構信息

既有單層鋼網殼模型跨度為3.6 m，矢高為0.9 m，體系為5環K6型，共91個節點（30個支座節點），如圖2所示.桿件截面均為？準6×1，焊接球半徑為70 mm，材料均為Q235鋼，節點為剛接節點，支座為剛接支座.

3.2? ?節點位置相關性

測量全部節點坐標，分別計算X、Y、Z方向上的節點實際位置與設計位置偏差.根據實測偏差數據，分別計算不同節點同一方向上偏差乘積.對節點距離進行分組，組寬取200 mm，計算落入同一組內乘積的均值，得到相關函數的37個觀測值，繪出散點分布圖（如圖3所示）.

由圖3可知，X、Y方向上節點相關性與距離存在明顯的下降趨勢變化關系，隨著節點距離達到一定值，下降趨勢轉變為水平趨勢，且相關函數值在0附近波動;Z方向散點圖無明顯趨勢變化關系.因此，可以認為，X、Y方向上鄰近節點之間具有偏差相關性，隨著節點距離增加，相關性逐漸減小，而Z方向上節點位置偏差沒有明顯相關關系.

實際網殼的實測數據表明，既有空間結構X、Y方向不同節點位置偏差具有一定相關關系.同時，節點偏差的相關系數與節點距離存在明顯趨勢關系，相關系數與節點距離變化關系符合本文第2.2節

假定.

3.3? ?節點位置推算

本算例忽略測量誤差，選取1，3，···，91號共46個節點作為抽樣測量節點，其余節點作為未測節點.計算實際節點位置坐標與設計節點位置坐標偏差，對節點偏差進行期望為零的假設檢驗，結果如表1所示.由表1可知，各方向偏差都滿足期望為零的假設，結構未發生較大使用變形.

相關系數函數選用高斯模型，對采用本文方法抽樣測量數據進行交叉驗證，分別將已測46個節點中的每個節點作為未測節點，其余45個節點作為已測節點進行推算.對交叉驗證計算得到的 0與實測結果差值進行統計分析，結果見表2.

表2中交叉驗證差值結果的均值非常接近零，驗證了本文方法得到的偏差分布期望估計值 0是無偏性的.

計算得到的X方向和Y方向方差估計值 20均值分別為0.96和1.71，對比表2中交叉驗證方差可以發現， 20的均值明顯小于交叉驗證方差.理論上兩者應較為接近，但由于相關模型與實際存在差異等原因，交叉驗證方差大于 20的均值，因此，采用交叉驗證的方差作為未測節點位置偏差方差的估計值更合適，偏于保守，可采用95%置信區間估計的上限值σ2L.

按照本文方法，基于節點位置相關性推算未測節點位置，抽樣測量數據表明，X方向和Y方向上節點位置偏差具有明顯相關關系，因此，對X方向和Y方向偏差進行推算.

推算結果的 0與實測結果差值的統計分析結果如表3所示.推算差的均值接近零，表明以推斷得到的 0作為未測節點位置偏差推算值，結果較為準確;推算差的方差接近但小于σ2L，表明以結果的方差置信上限σ2L作為方差的估計是合理的且偏于保守的.

假定各節點位置偏差相互獨立，計算得到偏差分布的期望估計和方差估計，統計分析X方向和Y方向期望估計值與未測節點實際值的差值，結果見表4.對比表3與表4結果，可以發現本文方法推測結果偏差的方差更小，精度更高.

3.4? ?結構鑒定分析

以結構實際整體穩定承載力為例進行鑒定分析，采用有限元軟件ANSYS進行建模計算.桿件選用BEAM188單元模擬，材料選用理想彈塑性模型.節點為剛接節點，支座為固定支座，模型中考慮焊接球為節點剛域.荷載為滿跨均布0.5 kN/m2恒載和均布0.75 kN/m2活載，荷載組合為1.0恒+1.0活.

利用ANSYS軟件PDS模塊進行蒙特卡羅隨機有限元分析，未測節點以設計節點為中心，X和Y方向偏差分布依據本文方法計算結果，即期望為估計值 ，方差為交叉驗證置信上限 ;Z方向偏差由于無明顯節點位置相關性，因此采用普通統計推斷方法結果.1 000次隨機輸入的概率分析計算結果如圖4所示，具有95%可靠度的整體穩定荷載因子為1.643.

整體穩定荷載因子按不考慮節點相關性的偏差分布推斷結果，1 000次隨機輸入的概率分析計算結果如圖4所示，具有95%可靠度的整體穩定荷載因子為1.635.對所有節點位置全部測量，建立完全符合實際的幾何模型，計算得到整體穩定性荷載因子為1.651，對比可知，同樣偏于安全的情況下，本文方法結果更加接近實際.

4? ?結? ?論

本文針對既有空間結構幾何位形的推算方法進行研究，得到的研究成果及結論如下：

1）基于既有空間結構節點實際位置偏差的相關性，提出根據已測節點位置及節點位置相關性推算未測節點位置偏差分布，得到結構實際幾何位形推算方法.根據本文方法可以建立既有空間結構鑒定計算的不確定幾何模型，進行結構鑒定分析.

2）根據空間結構特點，采用以節點距離為自變量的節點位置偏差相關系數函數模型，進行既有空間結構節點位置相關性分析，并給出模型參數確定方法.

3）基于概率論和數理統計理論，根據已測節點實際位置偏差及節點位置相關性分析結果，提出以條件概率分布期望作為未測節點實際位置偏差分布的期望估計值;以交叉驗證方差的置信上限作為偏差分布的方差估計值，得到偏差分布.

4）本文方法考慮了不同節點位置偏差的相關性，相較于現有方法，偏差分布推斷更為準確.實際案例分析表明，基于本文方法的鑒定分析結果更符合結構實際狀態，本文方法的可行性與合理性得到驗證.

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