轉子-軸承-干氣密封系統軸向振動穩定性分析*

(蘭州理工大學石油化工學院 甘肅蘭州 730050)

干氣密封氣膜之間的軸向平衡間隙為微米級尺寸[1]，當微小的干擾作用于穩定運行的平衡狀態密封端面，就會在平衡位置產生復雜的運動疊加。目前，干氣密封技術不斷完善，有超過90%的新型離心壓縮機裝備了干氣密封[2]。密封一旦失效，引起介質泄漏不僅由于停車維修，造成巨大的經濟損失，而且嚴重的會引起重大安全事故。因此，保證干氣密封裝置的穩定性、可靠性一直都是國內外研究的熱點和難點。

ZIRKELBACK和ANDRES[3]采用微擾法，基于有限元法求解了擾動雷諾方程，得出了微擾頻率的剛度和阻尼系數，并對其密封運動的穩定性進行了討論。劉雨川[4]從軸向和角向方向上，采用有限元法求解微小擾動下的雷諾方程，迭代解出干氣密封氣膜的動態特性系數，作為氣膜穩定性的判斷依據。MILLER和GREEN[5]從軸向和角向兩個方向上分析螺旋槽干氣密封的密封環的振動情況，并且運用數值頻率響應法計算出密封氣膜的剛度和阻尼系數。李雙喜等[6]對微擾雷諾方程采用了一種新的高階形函數有限元法，獲得了氣體密封軸向微擾的剛度和阻尼。杜兆年、丁雪興等[7-8]對部分氣膜動態特性參數(1軸向、1角向)，運用微擾法、近似解析法進行了計算論證。張偉政等[9]采用四階的Runge-Kutta求解了氣膜與靜環的振動微分方程，并且探討了不同槽型參數對密封系統中靜環振動的影響規律。劉蘊等人[10]針對干氣密封中氣膜厚度穩定性，運用Workbench中的模態分析法和諧響應分析對浮動環系統進行研究，總結了不同參數條件下浮動環軸向振動幅值的變化趨勢，并對影響其軸向振動幅值的主要因素和次要因素作了分析。丁雪興等[11]建立了氣膜-密封環系統軸向振動模型，考慮熱耗散變形下的干氣密封系統，在軸向上進行振動穩定性動力學分析。成玫等人[12]對轉子-軸承-密封系統的非線性振動特性進行研究，選擇的密封系統是迷宮密封。

目前，盡管在干氣密封動力學研究方面已取得了不少成果，但關于干氣密封應用大系統下的非線性動力學方面的理論研究還很少，有待于進一步分析研究。以轉子、軸承、干氣密封系統組成的大系統為研究對象時，考慮到實際的干氣密封系統會同時受到密封力和軸承油膜力的影響，這兩種因素之間會發生一定程度的耦合以及多頻激勵，從而導致復雜的動力學響應。本文作者研究轉子-軸承-干氣密封系統的非線性動力學行為，探討在實際工況下干氣密封槽形參數的穩定范圍，歸納失穩的判據，對干氣密封優化設計與實際應用具有重要的理論指導意義。

1 單自由度干氣密封軸向振動計算模型

在恒定轉速下(轉速n=16 500 r/min)，當不考慮轉子、軸承，只考慮氣膜和靜環時，可建立如圖1所示的氣膜-靜環系統軸向振動模型。圖中：m2為靜環質量；K2為氣膜剛度；K3為彈簧剛度；C2為氣膜阻尼;z為靜環振動位移；F(t)表示作用在離散質量上的簡諧激振力，其大小為Fi(t)=Pisin(ΩT+τ)。

其振動方程為

m2z··+C2z·+K2z+K3z=F(t)

(1)

圖1 氣膜-靜環系統軸向振動模型

2 雙自由度模型與基本方程的建立

2.1 轉子-軸承-干氣密封系統軸向振動模型

模型的假設：在恒定轉速下(轉速n=16 500 r/min)，將轉子-軸承-干氣密封系統視為雙自由度受迫振動；干氣密封氣膜可以假定為具有非線性剛度的彈簧；瞬態激振力假定為簡諧激振力，其軸向位移可假定為簡諧運動。

建立轉子-軸承-干氣密封系統幾何模型如圖2所示，其軸向振動模型如圖3所示。

圖2 轉子-軸承-干氣密封系統

圖中：m1為動環和轉軸的質量；m2為靜環的質量；K1為軸承剛度；K2為氣膜剛度；K3為彈簧剛度；C1為軸承阻尼；C2為氣膜阻尼;x1為動環振動位移；x2為靜環振動位移；F1(t)和F2(t)分別表示作用在兩個離散質量上的簡諧激振力，其大小為Fi(t)=Pisin(ΩT+τ)。

2.2 轉子-軸承-干氣密封系統軸向振動計算

由圖3，根據牛頓定律分別寫出兩個離散質量的運動方程：

{F1(t)-K1x1+C2[x·2-x·1]+K2[x2-x1]=m1x··1

F2(t)-C2[x·2-x·1]-K2[x2-x1]-C3x·2-K3x2=m2x··2

(2)

整理得到：

{m1x··1+(C1+C2)x·1-C2x·2+(K1+K2)x1-K2x2=F1(t)

m2x··2-C2x·1+C2x·2-K2x1+(K2+K3)x2=F2(t)

(3)

為簡潔，引入矩陣形式表達：

[C1+C2-C2

-C2C2]=[C]，[K1+K2-K2

-K2K2+K3]=[K],{x}={x1

x2},{F(t)}={F1(t)

F2(t)},[m10

0m2]=[m]

可將運動方程寫成簡潔的矩陣形式：[m]{x··}+[C]{x·}+[K]{x}={F(t)}

引入量綱一化公式:

μm=m2m1,μk=K2K1)μk,j=KjK1),f2=P2P1+P2)fi=PiP1+P2),ζ=C12m1K1,ω=ΩK1/m1,

μc,j=CjC1,Xi=xiK1P1+P2,b=BKP1+P2)bi=BiKjP1+P2,i=1,2;j=1,2,3),t=Tm1/K1

則式(3)變為

{μm,1X··1+2ζμc,1X1·+μk,1X1+2ζμc,2(X·1-X·2)+

μk,2(X1-X2)=f1sin(ωt+τ)

μm,2X··2+2ζμc,2(X·2-X·1)+μk,2(X2-X1)+

μk,3X2=f2sin(ωt+τ)

(4)

其矩陣形式為

[10

0μm][X··1

X··2]+[2ζ(1+μc)-2ζμc

-2ζμc2ζμc][X1·

X2·]+[1+μk,2-μk,2

-μk,2μk,2+μk,3][X1

X2]=[1-f2

f2]sin(ωt+τ)

3 非線性氣膜動態特性參數的計算

3.1 氣膜非線性剛度K2和阻尼C2的計算

應用PH線性法和變分法求解干氣密封非線性雷諾方程，得到氣膜角向渦動剛度的解析式[8]為

Ka′=4Riδ+E∫ξ01ζ2η(η1(ζ)cosω+η2(ζ)sinω)(1-ηcosω0)2dζ

(5)

穩態下Reynolds方程中，以復數來定義微擾動態壓力的微擾量，其實部對應于氣膜的剛度，虛部對應于氣膜的阻尼。利用復數轉換法以及多次的迭代平均法對穩態下氣膜邊值問題進行求解，獲得了氣膜軸向剛度和阻尼的近似解析解。

量綱一氣膜軸向剛度、軸向阻尼[11]為

Ka=2∫ξ01ζη(η1(ζ)cosω+η2(ζ)sinω)(1-ηcosω0)2dζ

(6)

c=2∫ξ01ζ2η(η1(ζ)sinω+η2(ζ)cosω)(1-ηcosω0)2dζ

(7)

式中：

η1(ζ)=c10eβ1ζ+c′10e-β1ζ+(c11eβ1ζ+c′11e-β1ζ+

A12β1ζeβ1ζ-B12β1ζe-β1ζ)ε;

η2(ζ)=c20eβ1ζ+c′20e-β1ζ+(c21eβ1ζ+c′21e-β1ζ+

A22β1ζeβ1ζ-B22β1ζe-β1ζ-α2β1)ε;

c10=Aeβ1ζ/(e2β1ζ0-e2β1),c′10=-Aeβ1(ζ0+2)/(e2β1ζ0-e2β1),

c20=Beβ1ζ/(e2β1ζ0-e2β1),c′20=-Beβ1(ζ0+2)/(e2β1ζ0-e2β1),

c11=[-A1(ζ0e2β1ζ0-e2β1)+B1(ζ0-1)]/[2β1·(e2β1ζ0-e2β1)],

c′11=-A1e2β1/(2β1)+B1/(2β1)-c11e2β1,

c′21=-c21e2β1-A22β1e2β1+B22β1+α2β1eβ1,

c21=[-A22β1)ζeβ1ζ0-e2β1)+B22β1)ζ0-1)+

α2β1)eβ1ζ0-eβ1)]/[e2β1ζ0-e2β1],

A1=(-α1β1+α2)c20,B2=(α1β1+α2)c′20,

A2=(α1β1-α2)c10,B2=-(α1β1+α2)c′10,

A=1η)P0-1)(cosw0-η),B=1η)P0-1)sinw0,

n2+β20=β1,2β0=α1ε,nχ=α2ε,

ω=nφ+β0ζ,ω0=β0ζ,β0=ntanα,h=E/(E+d+x2)

氣膜的軸向擺動剛度[7]：

K*=aπR2iPiδ

(8)

氣膜阻尼:

C*=cRiPi2nr

(9)

將公式(5)—(9)運用Maple軟件多次地擬合平均計算出密封氣膜剛度K2和阻尼C2的非線性方程分別為

K2=-1 812.005 950α+2 463.115 574-

7.069 855 800×108x2α+9.609 540 480×108x2-

9.186 853 050×1013x22α+1.248 601 136×1014x22

(10)

C2=500.681 500 0α-684.420 115 5+1.986 379 500×108x2α-2.717 728 176×108x2+2.626 491 500×1013x22α-3.596 760 561×1013x22

(11)

氣膜剛度隨螺旋角和靜環的振動位移的變化曲面，如圖4所示，在靜環振動位移方向上，氣膜剛度的分布規律是先降低后升高。氣膜阻尼隨螺旋角和靜環的振動位移的變化曲面，如圖5所示，在靜環振動位移方向上，氣膜阻尼的分布規律是先升高后降低。

圖4 氣膜剛度隨螺旋角和靜環振動位移的變化曲面 圖5 氣膜阻尼隨螺旋角和靜環振動位移的變化曲面

3.2 實例計算

文中研究的樣機的幾何參數：內徑Di=122 mm，外徑Do=159 mm，平衡直徑D=122 mm；螺旋槽數N=16，槽深2hg=8 μm，螺旋角α=77.92° ；硬環的外徑為163 mm，內徑為112 mm；靜環的外徑為165 mm，內徑為122 mm。設計的運行參數：介質氣體為氮氣，介質壓力為0.6 MPa，環境壓力pi=0.101 3 MPa，轉速n=16 500 r/min，氣膜厚度h=3.47 μm。系統參數值如表1所示。

表1 系統的參數值

根據樣機幾何參數和表1所示系統參數，可得到：

m1=51.662 647 kg

μm=8.845 96×10-3

ζ=2.457 77

μk,3=K3/K1=1.457 7

μk,2=K2/K1=-0.660 352 022 6×10-5α+0.897 636 871×10-5-2.576 478 061x2α+3.502 019 125x2-

334 797.851 7x22α+455 029.568 5x22

(12)

μc=C2/C1=0.008 554 797 493α-0.011 694 211 77+

3 393.988 866x2α-4 643.593 619x2+0.448 770 383 9×109x22α-0.614 553 528 1×109x22

(13)

樣機的螺旋角α=77.92° ，聯立式(9)、(10)，運用Runge-Kutta求解振動方程(1)，獲得該螺旋角下響應的時間歷程圖和相軌圖，如圖6所示，可知螺旋角α=77.92°時，單自由度下靜環的最大振幅為4 μm。同樣，聯立式(11)、(12)，運用Runge-Kutta求解振動方程(4)，獲得該螺旋角下響應的時間歷程圖和相軌圖，如圖7所示，可知α=77.92°時，雙自由下靜環的最大振幅為9 μm。即考慮了轉子、軸承影響的干氣密封系統靜環的振動位移大于僅考慮干氣密封的靜環的振動位移。

圖6 單自由度下螺旋角α=77.92°的時間歷程圖及相軌圖

圖7 雙自由度下螺旋角α=77.92°的時間歷程圖及相軌圖

3.2 螺旋槽螺旋角響應的優化

由文獻[13]的螺旋角取值α=77.92°，在其鄰域內取值，即螺旋角分別取76.78°、77.35°、78.50°、79.07°、79.64°，聯立式(11)、(12)，運用Runge-Kutta求解振動方程(4)，獲得不同螺旋角下響應的時間歷程圖和相軌圖，如圖8所示?？梢?，極小的螺旋角變化就可引起較大振動數值的變化。圖9示出了螺旋角度與靜環振動位移的關系?？梢姡红o環振動位移隨著螺旋角度(76.5°～80.0°)的增加先減小后增加；當α=78.50°時，振動數值最小，其最大振幅為7 μm，最大振速為25 μm/s。因此，當α=78.50°時，動環和靜環的追隨性最佳，證明該系統運行穩定。

圖8 雙自由度下不同螺旋角的時間歷程圖及相軌圖

圖9 螺旋角度與靜環位移的關系

Fig 9 The relationship between spiral angle and displacement

of static ring

3.3 螺旋槽槽深響應的優化

取螺旋角α=78.50°，以螺旋槽干氣密封的槽深為控制變量，分別取槽深2hg=6，8，10 μm，利用Runge-Kutta求解振動方程(4)，獲得不同槽深響應的時間歷程圖和相軌圖，如圖10所示?？芍郝菪鄹蓺饷芊獾牟凵?hg=6 μm時，靜環振動的最大幅值是7 μm；2hg=8 μm時，靜環振動的最大幅值是6 μm；2hg=10 μm時，靜環振動的最大幅值是5 μm。即，槽深數值越大，靜環的振動幅值越小。

當E=3 μm時，通過Maple軟件多次的擬合平均計算出氣膜非線性剛度：

K2(E=3)=-20 384.759 80α+27 721.053 22-

5.553 574 030×109xα+7.551 913 295×109x-

8.033 919 000×1013x2α+1.091 345 691×1014x2

C2(E=3)=-56 432.556 00α+76 741.700 65-

1.495 387 605×1010xα+2.033 440 258×1010x+

6.349 430 000×1013x2α-8.674 215 395×1013x2

當E=4 μm時，螺旋槽干氣密封氣膜的剛度、阻尼：

K2(E=4)=-21 984.302 65α+29 895.989 48-

5.069 306 530×109xα+6.893 242 645×109x-

4.647 440 000×1012x2α+6.198 917 890×1012x2

C2(E=4)=-59 196.118 00α+80 498.853 70-

1.295 629 585×1010xα+1.761 748 975×1010x+

3.572 492 800×1014x2α-4.862 332 009×1014x2

當E=5 μm時，螺旋槽干氣密封氣膜的剛度、阻尼：

K2(E=5)=-23 315.892 80α+31 706.502 96-

4.632 838 905×109xα+6.299 588 900×109x+

4.122 853 500×1013x2α-5.618 742 845×1013x2

C2(E=5)=-62 300.699 60α+84 719.731 10-

1.136 956 435×1010xα+1.545 935 042×1010x+

5.062 677 000×1014x2α-6.888 841 635×1014x2

由圖11可知，隨著槽深的增加，靜環振動位移是減小的。但是，從總的趨勢來看，改變螺旋槽干氣密封的槽深，靜環振動的幅值沒有發生太大的變化，而通過之前的改變螺旋槽的螺旋角度響應可以得出，螺旋角度的變化對干氣密封系統靜環的振動幅值影響比較明顯。

圖11 螺旋槽槽深與靜環位移的關系

4 結論

(1)研究表明，靜環在雙自由度下的振動幅值比單自由度下的振動振幅值要大，所以研究干氣密封系統考慮轉子和軸承是非常必要的，文中所建立的雙自由度轉子-軸承-干氣密封系統軸向振動模型更接近于實際工況。

(2)螺旋角變化對系統穩定性的影響較大，極小的螺旋角變化就可引起較大振動數值的變化；適當增大螺旋角度，可以提高整個大系統的穩定性。而螺旋槽槽深的改變，對干氣密封靜環的振動幅值幾乎沒有影響。

(3)由于轉子-軸承-干氣密封系統是一個復雜的非線性系統，其中的非線性動力學行為還有待實驗驗證。