尋找知識鏈接 形成知識網絡
——小學數學“整數乘法”教學探討

周 云

（平潭城東小學，福建 平潭 350400）

“整數乘法”是小學數學教材“數與代數”領域里的重要組成部分，也是學習小數、分數乘法的基礎，它在數的運算中起著舉足輕重的作用?？v觀小學數學教材編排體系，整數乘法的內容共分為四個階段，分別是二年級上冊的“乘法初步認識”、三年級上冊的“多位數乘一位數”、三年級下冊的“兩位數乘兩位數”、四年級上冊的“三位數乘兩位數”。這些學習內容呈現出螺旋上升的編排方式，構成了完整的整數乘法的知識學習體系。

一、學情分析，引發數學思考

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“運算能力主要是指能夠根據法則和運算律正確地進行運算的能力。”可見，運算中對法則的理解和應用至關重要，而在研讀四年級上冊“三位數乘兩位數”的教材時，卻發現沒有再出現所謂拐杖式的法則，這是否意味著“法則”無用呢？試想，如果我們還沒進行教學，學生能順利地進行“三位數乘兩位數”的正確計算嗎？帶著這些問題，我們對四年級的學生進行教學前測，其內容如下：

本題是考查學生能否運用已學的知識進行正遷移，理解算理，自主運用算法正確運算。

通過對兩個該學段教學班共 120人進行測試，監測的結果如下：1.出現第①種正確計算的有74人，占監測人數的61.7%。正確計算的學生中出現第②種情況的有3名，用第一個因數的每一位乘第二個因數的每一位；出現第③種的有2名，先用第二個因數的十位去乘第一個因數的每一位，再用個位上的數去乘。在訪談中發現學生知道計算的步驟，但對法則的口頭言語表述不清。

2.錯誤率達38.3%的學生大部分出現以下幾種錯誤：如第④⑤種的錯誤是學生用十位上的1去乘三位數，結果只乘兩位數，思維仍然停留在兩位數乘法階段，第⑥種的錯誤是用123乘10，結果算成123乘1，學生對算理還理解不清。

針對以上的學情分析，不難發現三分之二的學生未教會算，算理也很明確，但對法則的理解卻停留在機械的記憶中。顯然，這樣的學情告訴我們：在學生原有的認知結構中，“整數乘法”的知識結構具有一定的后續學習基礎，同時也存有一定的干擾區，面對這樣的最近發展區、干擾區，我們該如何進行“三位數乘兩位數”的新教學？這必須追溯到四年級之前學了哪些有關整數乘法的知識，學生已經積累了哪些知識經驗，這些知識彼此之間又存在著怎樣的聯系？

二、追根溯源，尋找知識鏈接

其實以上的“三位數乘兩位數”與三年級下冊學習的“兩位數乘兩位數”的算理算法是相同的，但一個因數的位數不止一個?；仡櫋皟晌粩党藘晌粩怠钡慕虒W重點是十位上的數相乘，所得的積的末位數要和十位上的數對齊，它的計算法則是：先用一個乘數個位上的數去乘另一個乘數，得數的末位與乘數的個位對齊，再用乘數十位上的數去乘另一個乘數，得數的末位與乘數的十位對齊，該法則的拓展基于三年級上冊的“多位數乘一位數”的算理算法基礎。前后兩個階段的法則歸納串成了筆算乘法的知識鏈接，將算理、算法有機聯合，就為學習“三位數乘兩位數”作孕伏。此時，我們對問題解決的癥結有了清醒的認識，整數乘法的本質就是計數單位相乘，只要將三年級學習的整數乘法進行拓展、再認識，就能形成正確的多位數乘法的思維。細細琢磨，筆算乘法的原型是什么？再次通過探究教材，發現三年級兩個階段的筆算前都先進行口算教學，這是為什么？原來筆算是建立在口算的基礎上，口算教學利用拆與合的方法，借助直觀把多位數寫成不同計數單位的數的和的形式，如：12×2=（1個十+2）×2，然后根據運算律進行計算，這就是筆算乘法操作程序的原型，通過口算幫助學生理解算理。學生理解算理的原認知又是什么？我們繼續追尋二年級的“乘法初步認識”，體會“幾個幾”的含義，理解乘法的意義。乘法意義的引入又建立在一年級加法的基礎上，加數相同的加法可以用乘法表示，溝通了相同數相加與乘法之間的關系。加法又在認數中學習，它是計算的前提，計算又加深了對數的認識。由此看來，從簡單的數數、認數開始，到加法、乘法，又從口算乘法到筆算乘法，它們之間保持著相互關聯、相互依存的數鏈數群的密切關系，這種關系充分體現了學習的循序性、漸進性的過程，教學必然要立足于對這一特性的認識。

三、整體把握，形成知識網絡

縱觀整個“整數乘法”的知識鏈，小學數學是逐級遞進的知識體系，需要教師站在更高層面審視和剖析教材，關注相同的知識在不同年級的目標定位，從整體上把握知識間的內在聯系，這樣才能有的放矢地設計教學目標和教學活動，幫助學生形成融會貫通的知識網絡。

一年級教材在加法計算的教學中，利用學生已有的知識經驗，通過數數和數的組成，幫助學生在認數中建立數的概念，為計算教學打下基礎，培養學生的數感，理解加法的含義。二年級上冊的“乘法初步認識”，為了找到新舊知識的“連接點”，呈現加法時，遇到相同加數相加，設計了這樣的題目：每排有2臺電腦，5排一共有幾臺？10排、20排呢？這時學生感到10個2、20個2相加很麻煩，產生了認知沖突，促使學生主動探究新的算法，引出乘法的初步認識。教學中，通過“比較”的策略，讓學生找準乘法與加法的內在聯系和區別，理解乘法的含義，并利用我國漢代遺留下來的“九九表”直接計算兩個一位數相乘的結果。

隨著學生認知水平的發展，數的運算在不斷地推進，教師要搭建“腳手架”，幫助學生將乘法的初步認識推向更高層面的筆算乘法階段。正如前蘇聯教育家維果茨基提出的“最近發展區”理論中指出學習與發展是一種社會和合作活動，它適于學生在自己的頭腦中構筑自己的理解，這一過程，教師扮演著“促進者”“幫助者”的角色，指導、激勵學生全面發展。三年級，在筆算乘法的第一階段：多位數乘一位數，教師設計擺小棒的活動，讓學生經歷“分解與組合”的過程，在頭腦中建立了計數單位的直觀表象，最后構建兩位數乘一位數的豎式計算的數學模型，從而理解算理、算法，歸納總結出計算法則。在此基礎上，運用知識的遷移，進入筆算乘法的第二階段：兩位數乘兩位數，通過“點子圖”重點理解第二層計算過程的含義，以形助數，把復雜的運算變得形象、直觀。這一階段是進入筆算乘法的高潮，為“三位數乘兩位數”做鋪墊，因此教師要引導學生與兩位數乘一位數的乘法進行比較，溝通前后知識的內在聯系，總結出兩位數乘兩位數的計算法則，發展學生的運算能力。到了第三階段的“三位數乘兩位數”就沒有必要花時間探究計算法則，而是將新知納入舊知識體系中，調動學習已有的知識儲備，把原有筆算乘法的計算法則進行拓展。三年級教材出現不完整的法則文本，這種形式的留白就為學生的自主歸納及知識的延伸提供機會。

教學中，我們要關注教材銜接，從宏觀上領略教材，找到知識的“生長點”和“延伸點”，這樣才能準確把握課程內容，體系清楚，上下貫通。同時這種教學理念，我們應該而且必須將其拓展到其他的數學教學體系中去梳理研究，做到教不越位，學要到位。

數學教學也和任何文化傳承一樣，它是一種旅行觀景的過程，“俯瞰好拾級，登階只為峰”，只要我們心有游覽圖，以俯瞰全貌的視角，擇其拾級登階的恰當線路，牢牢把握目標與行為的密切關系，穩健攀行，就一定能順利登頂，盡覽風景，師生共享文化之美。