基于四維離散數值方法的巖石圓環試樣動態破壞及耗能規律

張奔 趙高峰

摘 要：利用最新提出的四維離散彈簧元法（4D-LSM）對巖石圓環的動態抗變形及耗能特性進行研究。首先對4D-LSM用于描述巖石圓環試樣破壞的適用性進行了驗證，發現4D-LSM可以較好地再現巖石試樣的孔徑比與破壞形態和強度間的影響規律。在此基礎上，對孔隙率、非均質性、厚徑比等因素與抗變形及耗能間的規律進行研究，得到了對應的數學公式。利用4D-LSM模擬大變形方面的優勢，發現當巖石材料的變形抵抗能力較大時，巖石圓環將表現出與傳統僅考慮小變形情況下實驗和數值計算不同的破壞形態，巖石圓環的材料抗拉強度與抗變形能力也分別呈現非線性關系。通過建立圓環陣列模型，研究了由多個巖環構成的組合結構的抗變形和能量抵抗能力以及對應的破壞形態。結果表明，組合結構中的圓環單元與單圓環受力的破裂形態有所不同，但單圓環的抗變形及耗能規律仍適用于巖環陣列結構的分析。

關鍵詞：四維離散彈簧元法;巖石圓環;耗能;變形

中圖分類號：TU457

文獻標志碼：A 文章編號：2096-6717（2019）02-0020-09

Abstract：In this work， the deformation resistance and energy dissipation of rock rings were investigated by using the 4D lattice spring model （4D-LSM）. Firstly， the 4D-LSM was verified against existing experimental and numerical simulation results in terms of the influence of rock ring size on the failure pattern and strength. On this basis， empirical relationships of the influence of various factors， e.g. the porosity， heterogeneity， and thickness-diameter ratio， on the deformation resistance and energy dissipation of the rock ring were derived from numerical tests with the 4D-LSM. When considering the large deformation， it was found that the failure pattern of the rock ring would be different from the classical experimental and numerical observations. Moreover， different empirical relationships between the deformation resistance and energy dissipation as well as the material ultimate deformation were derived compared to these numerical tests considering small deformation only. Finally， the failure pattern， deformation resistance and energy dissipation of a composed structure made up from an array of rock rings were studied. Numerical results reveal that these relationships obtained for the single rock ring are also applicable to the composed structure.

Keywords：4D lattice spring model; rock ring; energy dissipation; deformation

近年來，地下空間不斷得到新的拓展和開發，許多重大基礎設施，如地鐵、人防工程、核廢料處置庫等在地下相繼修建。長期以來，人們對地下工程的抗震性能都持較為樂觀的態度，認為地下工程抗震能力要遠優于地上結構，然而，最近一些地震活動導致的地下工程嚴重破壞乃至坍塌的案例[1]使人們開始對地下工程在地震作用下的穩定性進行更深入的研究。與地面建筑以抗震設計為主不同，地下重大基礎設施多采用更為有效的隔震手段[2]。地震屬于振動形式的一種，隔振技術主要通過有效的防護措施將建筑物和振動環境進行適當隔離，通過降低能量的輸入保證建筑結構在載荷沖擊過程中盡量保持正常狀態[3]。實際工程中，常采用在重要地下硐室旁開挖輔助硐室的方式來隔離動力災害，通過鉆孔的方式來改變巖體的動力學阻抗也是一種可行的隔震方式。

作為一種新型多功能材料，孔隙材料在能量吸收方面展現了良好的性能[4-8]，近年來備受關注。其中，類巖石孔隙材料由于質量輕、耗能好、耐久性高等特點而被用于土建工程中，其吸能減振的機理受到了科研工作者的廣泛重視。王智等[9]對多孔混凝土的制備方法進行探究，在保證孔隙率的條件下有效提高了混凝土的強度。黃勝等[10]、趙武勝等[11]將自制的泡沫混凝土作為西藏扎墨公路嘎隆拉隧道的隔震層進行模擬計算，破壞區的范圍得到有效縮小，證明了孔隙材料保護隧道免遭地震波沖擊的良好性能。王代華等[12]對含有泡沫混凝土層的復合結構在爆破中的能量狀態進行模擬，結果顯示，孔隙結構對于改變復合結構中的能量分布效果明顯，能量穿過孔隙結構后明顯衰減。劉海燕等[13]對泡沫混凝土高應變率狀態下的吸能特征進行了實驗探究，總結了泡沫混凝土在抗沖擊過程中的變形規律。葉燕華等[14]在空心砌塊墻體中分別注入、不注入泡沫混凝土，并反復加、卸壓，對比發現，前者在載荷作用下抗剪強度和極限承載力得到提高，墻體破壞時裂紋擴展分散、速度慢，顯示了優良的抗倒塌性能。

巖石類材料以脆性為主，具有較高的強度，但抗變形能力很小。孔隙的引入對巖石類材料特性改變非常大，能提高其隔振能力，但動力學數值模擬中對剛性轉角大變形的分析一直比較困難，因為數學上需要進行近似處理。最近提出的四維離散彈簧元法（4D-LSM）通過四維空間的相互作用，一定程度上解決了這個問題[15]，該方法可以較好地處理動態大變形問題。筆者先對4D-LSM用于單個巖石圓環模型的適用性進行了驗證;研究了單個巖環模型在不同條件下的破裂形態以及動態變形和能量抵抗能力;對含有隨機孔隙結構的巖環陣列模型的動態能量吸收特性和尺寸效應進行了分析。

1 四維離散數值方法4D-LSM

1.1 模型簡介

4D-LSM是在三維離散彈簧元法（DLSM）的基礎上發展的。在DLSM[16]中，模型由彈簧和離散球形顆粒連接構成，顆粒之間的連接彈簧包括法向和切向兩個方向。DLSM使用相同的顆粒模型可以產生不同的晶格結構，從而表征不同的宏觀力學行為。與傳統離散方法相比，DLSM無需宏觀參數校準，自由度是離散單元法（DEM）的一半，且容易進行并行處理。DLSM中切向彈簧根據局部應變進行計算，具有旋轉不變性。4D-LSM[15]基于平行世界的概念，在DLSM的基礎上引入第四維度構造“四維超薄膜”，通過三維模型與平行世界中的模型建立相互作用關系，有效解決了傳統LSM方法中的泊松比限制問題，4D-LSM的原理圖見文獻[15]。相對于經典連續介質力學，4D-LSM的離散性使其更適合模擬巖石或類巖石等非均質材料的破壞問題。

1.2 理論公式

與DLSM相比，4D-LSM的力和法向矢量具有4個分量。在4D-LSM中，代表三維相互作用的彈簧剛度（k3D）全部相同，而代表四維相互作用的彈簧剛度出現差異，差異特征由四維剛度比λ4D表征。為了獲得彈性的各向同性，四維相互作用中彈簧剛度通過式（1）進行調整。

2 巖石圓環模型計算驗證

2.1 計算模型

建立半徑R為50 mm、厚度T為50 mm的圓盤，組成圓盤的球形顆粒直徑為1 mm。探究4D-LSM對于研究圓環劈裂的適用性，以10 mm為一個梯度，在圓盤模型中分別挖去半徑為10、20、30 mm的同心圓孔，如圖1所示。用參數δ來表征內外徑之比，即δ=r/R（δ=0、0.2、0.4、0.6）。模型彈性模量、泊松比、密度的設置參考卡拉拉大理石，系統具體輸入參數如表1所示。

因巴西圓盤劈裂實驗中加載端存在應力集中問題，有學者對試樣進行改進[17]，將加載端打磨成兩個相互平行的平面，使線載荷轉化為面載荷，有效地保證了圓盤試樣的中間起裂。對于4D-LSM模擬劈裂問題，模型采用速度控制的加載方式，速度作用在模型最上層顆粒面和最底層顆粒面，加載角度φ為16.1°。對所有模型最上層的顆粒面設置大小為4 mm/s的垂直向下速度;最底層顆粒面沿垂直方向速度設為0，表示對模型的底端的固定。

2.2 驗證

將δ=0時的圓盤模型考慮成圓環模型的特殊情況。由圖1可知，當δ值為0、0.2時，模型表現出單一的縱向拉伸破壞，試樣破壞成兩部分;δ值等于0.4、0.6時，模型同時表現出縱向和橫向拉伸破壞，模型破壞成4部分。這表明，隨著δ值的增大，模型破壞裂紋數量表現出增多的趨勢。由圖1可知，通過4D-LSM模擬巖石圓環模型的加載，得到的破壞形態與前人[18-19]得出的物理實驗結果相吻合。

將模型加載峰值載荷除去πRL進行標準化處理，即抗拉強度σt=Pmax/πRL。為對4D-LSM求解的圓環模型的抗拉強度與現有文獻中的結果進行對比，將各試樣的σt除去δ=0時的σt，進行歸一化處理。圖2為歸一化處理后的實驗數據[18]、FEM/DEM模擬數據[20]以及4D-LSM模擬數據和擬合曲線，由圖2可知數據相差不大。4D-LSM數據擬合曲線的公式為

巖環模型隨著孔徑比δ的增加抗拉強度呈指數下降的趨勢，δ對模型抗拉強度的影響隨著δ的增加逐漸減弱。擬合曲線有效驗證了尤明慶等[21]指出的巖環劈裂載荷隨內徑增加而呈現出指數下降的結論。通過破壞形態、模擬數據兩方面證實了4D-LSM對于研究巖石圓環力學特性的可行性。

3 巖石圓環的耗能規律

3.1 厚度與外直徑之比

將模型厚度T與外直徑D的比值定義為w，即w=T/D，選取δ=0.6的模型，通過設置不同厚度值，探究w（w=0.25、0.50、0.75、1.00）對模擬結果的影響，如圖3所示。對孔隙率n、均質度m、顆粒間彈簧抗拉伸長量u 3個因素以δ=0.6、w=0.50的圓環模型為基礎進行研究。

圓環破壞的載荷加載點位移曲線中，峰值載荷對應的位移值為模型的動態變形抵抗能力;在動態載荷的作用下，破壞后吸收的能量為模型的動態能量抵抗能力，數值等于載荷加載點位移曲線中開始加載到峰值載荷的曲線段與橫坐標軸圍成圖形的面積。因該曲線段接近直線，圖形近似看成三角形，則模型的動態能量抵抗能力計算式為

式中：Q為動態能量抵抗能力;z為動態變形抵抗能力。

由圖4（a）可知，不同w值模型的峰值載荷差異較大，但整理數據后發現，圓環模型抗拉強度并未因為模型厚度不同而出現太大變化，均值為0.230 0 MPa。這表明厚度的增加對于抗拉強度不會帶來較大的影響。模型的峰值載荷與模型厚度在一定范圍內成正比例關系，可以通過調節厚度的大小對模型峰值載荷進行調整。隨著w值的改變，動態變形抵抗能力在均值13.360 0 μm上下波動，而能量抵抗能力與w值呈正比例關系，函數表達式分別為

3.2 孔隙率

巖石中各類孔洞、裂隙的總體積與巖石總體積的比值稱為巖石的孔隙率[22]。分別生成孔隙率為0.05、0.10、0.15、0.20的模型，研究孔隙率對圓環劈裂的影響，如圖5所示。從圖6（b）中可知，隨著孔隙率的增加，抗拉強度呈二次函數下降，擬合曲線為

對圓環模型的動態變形抵抗能力和動態能量抵抗能力與孔隙率的關系進行擬合，如圖6（c）、（d）所示，圓環模型抵抗變形的能力與動態能量抵抗能力隨著孔隙率的增加分別呈冪函數和對數關系下降，表達式分別為

3.3 非均質性

由于巖石礦物組成成分、粒徑以及分布方式的不同，再加上裂隙、節理、孔隙等結構的存在，導致自然界中巖石具有非均質的特性。在4D-LSM系統中，模型材料的均質性符合韋布爾分布函數，用參數m表征材料的均質度，m值越大均質度越高。對圓環模型m值分別設置為5、10、20、30進行圓環劈裂實驗，如圖7所示。載荷加載點位移曲線如圖8（a）所示，峰值載荷隨均質度的增加逐漸增大。抗拉強度與均質度的擬合式為

模型的動態變形抵抗能力和動態能量抵抗能力隨著m值的增加分別呈對數關系增加，表達式分別為

3.4 脆性小變形破壞

將圓環模型顆粒間彈簧抗拉伸長量u分別設為0.10、0.15、0.20、0.30 μm，進一步探究脆性階段圓環破壞與u的關系。圓環模型載荷加載點位移曲線如圖9（a）所示，4條曲線表現出了極高的相似性，說明顆粒間彈簧抗拉伸長量的改變對載荷加載點位移曲線的走勢影響不大。抗拉強度與顆粒間彈簧抗拉伸長量的擬合線如圖9（b）所示，直線方程為

模型的動態變形抵抗能力和動態能量抵抗能力隨著u值的增加分別呈正比例函數和二次函數關系增加，表達式分別為

3.5 大變形破壞

將u分別設為0.04、0.08、0.12、0.16 mm，對圓環模型大變形階段的破壞模式和耗能特征進行研究，如圖10所示。結果表明，大變形階段圓環模型抗拉強度擬合曲線區別于小變形階段的正比例函數，更接近二次函數，函數關系式為

大變形階段圓環模型動態變形抵抗能力與小變形階段正比例函數相比也轉化為冪函數關系，擬合公式為

與小變形階段相比大變形階段圓環模型的動態能量抵抗能力表現出了相同的二次函數規律，函數表達式為Q=481.670 0u2+20.356 0u-0.648 5，

圖11為大變形階段（u=0.16 mm）圓環模型破壞過程圖。通過對u的設置提高模型變形量，以對圓環的大變形破壞過程進行模擬，研究發現，與脆性小變形階段相比，不僅圓環模型動態變形抵抗能力和動態能量抵抗能力增加，圓環模型的破壞模式也發生根本轉變：從小變形階段破壞成4部分，演變成僅縱向發生拉伸破壞。

3.6 巖環組合體

以δ=0.6、w=0.5、n=0.15的圓環模型為單元，分別建立N×N（N=1、2、3、4）的圓環陣列模型，如圖12所示，通過N對組合體模型尺度進行表征。對模型抗變形能力進行研究，對比不同組合體模型的載荷加載點位移曲線發現，隨著N的增加，圓環陣列模型的峰值載荷也逐漸變大，但第2峰值載荷與第1峰值載荷相比逐漸弱化。圓環陣列模型的第1峰值載荷Pmax與N呈正比例函數關系，表達式為

對巖環組合體模型的動態變形抵抗能力和動態能量抵抗能力進行分析，如圖13（c）、（d）所示，發現巖環組合體的變形抵抗能力隨著N的增加呈正比例增加，而動態變形抵抗能力與N呈冪函數關系。函數表達式分別為

對組成陣列材料圓環單元的動態變形抵抗能力和動態能量抵抗能力進行分析，如圖13（e）、（f）所示。圓環單元的動態變形抵抗能力和動態能量抵抗能力隨著N的變化基本沒有改變。單位圓環的變形抵抗能力均值為10.799 0 μm，能量抵抗能力均值為6.129 3×10-3 J，可知圓環單元在能量吸收方面幾乎不受陣列模型尺度的影響。

4 討論

根據不同因素下巖石圓環模型的破裂形態可知，孔隙率、非均質度均能引起圓環模型裂紋擴展形態的改變，但總體來說豎向裂紋差異較小，橫向裂紋大體在圓環腰部水平線附近上下浮動;厚徑比對裂紋擴展有一定影響，主要表現為橫向次生裂紋的數量差異。通過對孔隙度或均質度設置合理的參數，圓環模型破壞形態表現出了較規則的“四扇葉形”，如圖5、圖7所示，與前人實驗中所得破壞形式吻合[18-19，23]。由此可見，通過對圓環模型的均質度或孔隙率設置合理的參數，4D-LSM可以對巖石圓環模型的破壞模式進行良好的再現。

圓環模型厚度的增加并不會帶來抗拉強度和變形抵抗能力的增加，但能量抵抗能力隨著w值呈正比例增長。孔隙率的增加會導致圓環模型抗拉強度、變形抵抗能力與能量抵抗能力的不同規律下降，但總體而言，對變形抵抗能力影響幅值較小，抗拉強度、能量抵抗能力降低幅值較大。抗拉強度、變形抵抗能力、能量抵抗能力隨著模型均質度的增加而出現不同規律增大，由此可知，非均質性是影響巖石強度的一個重要因素，通過均質度的提高可以有效改善圓環模型的隔振性能。與小變形階段抗拉強度與變形抵抗能力的線性增長相比，大變形階段得到了非線性的規律和不同于現有實驗和數值的破壞結果。由此可知，當對類巖石材料（如混凝土等）通過加強材料韌性如添加納米材料進行改性時，其對應圓環模型的耗能與抗變形能力將會有大的提升，破壞模式與脆性階段相比也將表現出較大差異。

巖環組合體模型破壞形式主要表現為45°斜向破壞帶貫穿模型，導致模型喪失承載能力。組合體模型雖然總體上承受壓力，但本質上仍表現出圓環單元的受拉破壞，圓環單元破壞成4部分。不同尺度組合體模型中，各圓環單元表現出不同的破壞形態，但圓環單元的變形特征和耗能規律卻與單個圓環受載荷作用時表現一致。由此可見，對巖環組合體的耗能規律可以通過單個圓環進行較好的表征。基于以上特點，當通過增加孔隙對隔振超材料進行設計時，可先對單個圓環著手研究。

5 結論

1）4D-LSM用于分析巖石圓環破壞的適用性得到驗證。模擬結果表明，圓環試樣的的破壞形態由多個因素相互耦合共同作用而成。非均質性、孔隙率對圓環模型的破壞形式有著重要影響。

2）分別擬合得出了抗拉強度、動態變形抵抗能力、動態能量抵抗能力與厚徑比、孔隙率、非均質度、顆粒間彈簧抗拉伸長量的函數關系式。總結了圓環模型不同因素的抗變形特征和耗能規律。

3）N×N巖石圓環陣列模型的承載強度與N呈正比例關系，組合體模型中圓環單元的動態變形抵抗能力與動態能量抵抗能力不受陣列模型尺度的影響。

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（編輯 胡英奎）