具捕殺效應(yīng)的SEI狂犬病模型的空間動力學(xué)分析

孟悅 朱家楨 林支桂

摘 要： 為討論針對性的捕殺對狂犬病傳播的影響，研究了一類具捕殺效應(yīng)的易感者-潛伏期感染者-已經(jīng)感染者（SEI）狂犬病模型.通過相應(yīng)的特征值問題，引入基本再生數(shù)，并利用上下解方法建立了平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性.結(jié)果表明：有針對性的捕殺對狂犬病的控制和預(yù)防起著重要的作用.

關(guān)鍵詞： 易感者-潛伏期感染者-已經(jīng)感染者（SEI）狂犬病模型; 捕殺效應(yīng); 基本再生數(shù); 穩(wěn)定性

中圖分類號： O 715.26文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A文章編號： 1000-5137（2019）02-0113-07

1 具捕殺效應(yīng)的狂犬病模型

狂犬病是感染中樞神經(jīng)系統(tǒng)的狂犬病毒所導(dǎo)致的急性傳染病，是一種人畜共患病，主要通過撕咬等直接接觸傳播，多發(fā)生于犬、狐貍、狼等動物，人患狂犬病主要由狗傳染導(dǎo)致.狂犬病沒有有效的治療手段，一旦到臨床階段，死亡率近100%.因此，狂犬病對人類來說是一大威脅.為了更好地預(yù)防和控制狂犬病，人們建立了大量的數(shù)學(xué)模型來研究狂犬病的傳播機(jī)理.

MURRAY等[1]研究了一類狐貍間狂犬病空間傳播的易感者-潛伏期感染者-已經(jīng)感染者（SEI）擴(kuò)散模型

其中，S，E和I分別表示易感狐貍、感染的但沒有傳染性的狐貍和已感染狂犬病的狐貍的密度，N=S+E+I，是t時(shí)刻單位面積上的狐貍總數(shù)，D是擴(kuò)散系數(shù)，a是出生率，b是內(nèi)稟死亡率，K是環(huán)境容納量，β是疾病傳播系數(shù)，σ是狐貍從感染到傳染的轉(zhuǎn)化率，α是患病狐貍的病死率，（a-b）N/K表示食物耗盡導(dǎo)致的狐貍死亡率.假設(shè)a>b，以確保可持續(xù)的種群規(guī)模.

事實(shí)上，狂犬病作為動物傳染病，主要受環(huán)境異質(zhì)性與棲息地的空間分布影響[2-3]，疾病傳播系數(shù)、無病平衡點(diǎn)和擴(kuò)散系數(shù)都與空間有關(guān).此外，狂犬病的空間控制行為，如捕殺和接種疫苗[4-5]，導(dǎo)致種群的死亡率和無病平衡點(diǎn)與空間有關(guān).因此，在式（1）的基礎(chǔ)上，擴(kuò)散系數(shù)D（x）、疾病傳播系數(shù)β（x）和患病狐貍的死亡率α（x）也均與空間有關(guān).

人為控制狂犬病的傳播通常有捕殺、免疫和捕殺-免疫相結(jié)合3種方法.對于野生狐貍，強(qiáng)制免疫需要損耗大量的人力和物力，因而本研究主要考慮針對性地捕殺患病狐貍對狂犬病傳播的影響.為了考察捕殺和空間環(huán)境異質(zhì)性在狂犬病傳播和預(yù)防過程中的影響，研究如下反應(yīng)擴(kuò)散問題：

2 基本再生數(shù)

在此引入基本再生數(shù)R0，并且分析其性質(zhì).基本再生數(shù)在傳染病學(xué)上是反映疾病是否蔓延或消退的重要閾值，因而研究基本再生數(shù)的性質(zhì)對理解狂犬病模型的動力學(xué)行為有著重要的意義.

易知系統(tǒng)（2）存在無病平衡點(diǎn)（0，0，K）.將系統(tǒng)（2）的前3個(gè)方程在（0，0，K）處線性化后得

線性化后的第三個(gè)方程與前兩個(gè)方程不是耦合的，因此只需考慮前兩個(gè)方程.下面首先考慮如下的特征值問題：

定理結(jié)論中1）的單調(diào)性證明類似于文獻(xiàn)[7]中的推論2.3，結(jié)論2）和3）的單調(diào)性由R0的表達(dá)式直接得到.

3 無病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

在討論無病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性前先給出問題（2）上下解的定義.

定義1

假設(shè)R0<1，則問題（2）的無病平衡點(diǎn)（0，0，K）是局部漸近穩(wěn)定的.

引理2

問題（5）有一個(gè)實(shí)的主特征值λ*和正的特征函數(shù).

證明

將問題（5）改寫為等價(jià)形式

因此，對任意固定的x∈Ω，當(dāng)t→∞時(shí)，E（x，t）和I（x，t）趨向于∞，這與式（10）矛盾.定理證畢.

通過上述結(jié)論，可以發(fā)現(xiàn)有針對性地捕殺對狂犬病傳播控制起著重要的作用.當(dāng)捕殺力度k較小時(shí)，R0>1，由定理2，無病平衡點(diǎn)不穩(wěn)定，意味著當(dāng)捕殺力度減弱，狂犬病可能持續(xù).而當(dāng)捕殺力度k較大時(shí)，由定理1，隨著時(shí)間的推移，感染狐貍E（x，t）和患病狐貍I（x，t）快速消退，且易感狐貍S（x，t）收斂于正穩(wěn)態(tài)解，故可以通過加強(qiáng)捕殺患病狐貍的力度來控制狂犬病的傳播.

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（責(zé)任編輯：馮珍珍）