《選修3—3》常見錯誤例析

■上海師范大學附屬中學 李樹祥(特級教師)

一、錯誤分析與計算壓強

例1如圖1所示，內(nèi)部橫截面積為S的圓筒形絕熱容器，封有一定質(zhì)量的理想氣體，開口向上放在硬板上。設活塞質(zhì)量為m1，現(xiàn)有一質(zhì)量為m2的橡皮泥從距活塞上表面高為h1處的A點由靜止開始下落，碰到活塞后，隨活塞一起下降的最大距離為h2，若不計活塞與容器壁的摩擦，求容器內(nèi)氣體內(nèi)能的最大變化量。

圖1

錯解：橡皮泥在自由下落h1的過程中，機械能守恒；橡皮泥碰撞活塞時，動量守恒；在橡皮泥和活塞一起下降的過程中，因為容器絕熱，所以減少的機械能都通過對氣體做功轉(zhuǎn)變成系統(tǒng)的內(nèi)能。由機械能守恒定律得，由動量守恒定律得m2v=（m1+m2）v1，所以容器內(nèi)氣體內(nèi)能的增量。

正解：橡皮泥在自由下落的過程中，機械能守恒，則；橡皮泥碰撞活塞時，動量守恒，則m2v=（m1+m2）v1；橡皮泥和活塞一起下降的過程中，因為氣體體積發(fā)生了變化，所以大氣壓力要對氣體做功，大氣壓力做的功也使內(nèi)能增加。因此容器內(nèi)氣體增加的內(nèi)能p0Sh2。

例2如圖2所示，一個橫截面積為S的圓筒形容器豎直放置，金屬圓板的上表面是水平的，下表面是傾斜的，下表面與水平面間的夾角為θ，圓板的質(zhì)量為M。不計圓板與容器內(nèi)壁之間的摩擦。已知大氣壓強為p0，則被圓板封閉在容器中的氣體的壓強p等于（ ）。

圖2

正解：設圓板下表面的面積為S′，取圓板為研究對象，圓板受重力Mg，容器的支持力N，大氣壓力p0S和封閉氣體壓力pS′四個力作用，如圖3所示。由平衡條件可知，沿豎直方向有pS′cosθ=p0S+Mg，又有，解得。

答案：D

圖3

方法與總結(jié)

對物體進行受力分析時，必須考慮四周氣體對物體的壓力。當然，一般物體由于四周都有大氣的存在，它們產(chǎn)生的壓力相互抵消，使得物體受到的大氣壓力為零。求壓強時，需要進行受力分析，受力分析時，氣體壓力一定要和接觸面垂直。如果物體處于平衡狀態(tài)，則利用平衡條件列方程求解；如果物體做變速運動，則一般用牛頓第二定律列方程求解。

二、錯誤分析氣體狀態(tài)變化過程

例3如圖4所示，在總長度l=93cm、下端封閉、開口向上、粗細均勻的玻璃管中有長h=25cm的水銀柱封閉了長l0=42cm的空氣柱，被封閉氣體的溫度為27℃，已知大氣壓強p0=75cmHg，則將水銀全部排出玻璃管，被封閉氣體的溫度至少應升高到____℃。

圖4

錯解：設玻璃管橫截面積為S，則p1=p0+h（cmHg）=100cmHg，V1=l0S=42S，T1=（273+27）K=300K。水銀被全部排出時有p2=p0=75cmHg，V2=lS=93S。由理想氣體的狀態(tài)方程得，解得T2=498.2K=225.2℃。

正解：在水銀排出玻璃管的過程中，設在管內(nèi)還有長為x的水銀，如圖5所示。隨著x的減小，封閉氣體的壓強將減小，而氣體的體積在增大。壓強與體積的乘積隨x的減小如何變化將直接影響封閉氣體所需的溫度，根據(jù)理想氣體的狀態(tài)方程得，因為（p0+x）+（l-x）=p0+l為恒量，所以當p0+x=l-x，即時，（p0+x）（l-x）有最大值，此時對應的溫度即是將水銀全部排出所必須達到的溫度。由已知條件得x=，封閉氣體的溫度231℃。

圖5

例4一端封閉一端開口，內(nèi)徑均勻的直玻璃管注入一段60mm的水銀柱，當管水平放置達到平衡時，封閉端空氣柱A長140mm，開口端空氣柱B長140mm，如圖6所示。若將管輕輕倒轉(zhuǎn)后再豎直插入水銀槽內(nèi)，達到平衡時，管中封閉端空氣柱A長133mm，如圖7所示。設大氣壓強為760mmHg，氣體溫度保持不變，求槽中水銀進入管中的長度H。

圖6

錯解：以水平放置作為初態(tài)，以豎直插入水銀槽后作為末態(tài)，分別對A，B兩部分氣體應用玻意耳定律得pA1VA1=pA2VA2，pB1VB1=pB2VB2，解得pA2=，又因為pB2=pA2+h=（800+60）mmHg=860mmHg，所以，LB2=123.72mm。因此槽中水銀進入玻璃管中的長度H=（LA1+LB1）-（LA2+LB2）=23.28mm。

圖7

正解：把全過程分為兩個過程來分析。第一個過程，從水平狀態(tài)輕輕倒轉(zhuǎn)到豎直狀態(tài)尚未插入，此時pA2=（760-60）mmHg=700mmHg。對A氣體有pA1VA1=pA2VA2，解得，因此L=A2152mm。對B氣體有LB2=（140×2-152）mm=128mm，pB2=760mmHg。第二個過程，將玻璃管插入水銀槽中，對A氣體有pA1VA1=pA3VA3，解得pA3=800mmHg，所以pB3=（800+60）mmHg=860mmHg，對B氣體有pB2VB2=pB3VB3，解得VB3=113S，因此LB3=113mm。因此槽中水銀進入管中的長度H=（140×2-133-113）mm=34mm。

方法與總結(jié)

在研究氣體狀態(tài)變化時，要合理選擇狀態(tài)變化過程的初、末狀態(tài)。我們既要關(guān)注已知的數(shù)據(jù)，更要對題目所述的物理過程進行全面的分析，以確定出氣體發(fā)生變化的真實物理過程。真實物理過程的判斷，是以已知條件及相應的物理規(guī)律為基礎的，而不是靠“想當然”捏造出來的。

三、錯誤分析氣體分裝及抽、打氣問題

例5容積V=20L的鋼瓶充滿氧氣后，壓強p=30atm，打開鋼瓶閥門，將氧氣分裝到容積V1=5L的小瓶子中去。如果小瓶子已抽成真空，分裝到小瓶子中的氧氣壓強均為p1=2atm，在分裝過程中無漏氣現(xiàn)象，且溫度保持不變，那么最多可裝的小瓶子數(shù)是（ ）。

A.4 B.50

C.56 D.60

錯解：設可充氣的小瓶子數(shù)最多為n，由玻意耳定律得pV=p1nV1，解得n=60，選D。

正解：設最多可裝的小瓶子數(shù)為n，因為鋼瓶里的氣體不可能全部分裝到小瓶子中，所以最終鋼瓶里氣體的壓強與小瓶子里氣體的壓強相同。由玻意耳定律得pV=p1（V+nV1），解得n=56。

答案：C

例6用容積為ΔV的活塞式抽氣機對容積為V0的容器中的氣體抽氣，設容器中原來氣體的壓強為p0，抽氣過程中氣體溫度不變。求：抽氣機的活塞抽動n次后，容器中剩余氣體的壓強pn為多大?

錯解：n次抽氣可以等效為一次抽出nΔV的氣體，氣體做等溫變化，由玻意耳定律得p0V0=p（V0+nΔV），解得。

正解：如圖8所示是活塞式抽氣機的示意圖，當活塞上提抽第一次氣時，容器中氣體壓強為p1，根據(jù)玻意耳定律得p1（V0+ΔV）=p0V0，解得。當活塞下壓時，閥門a關(guān)閉，b打開，抽氣機中ΔV體積的氣體排出。當活塞第二次上提（即抽第二次氣）時，容器中氣體壓強降為p2，根據(jù)玻意耳定律得p2（V0+ΔV）=p1V0，解得p2=。因此抽第n次氣后，容器中剩余氣體的壓強降為pn=。

圖8

方法與總結(jié)

抽氣、充氣和氣體分裝的問題屬于氣體變質(zhì)量問題的常見題型。若抽氣和充氣過程中的溫度不變，則一般用玻意耳定律求解。因為玻意耳定律的適用條件是氣體質(zhì)量不變，所以充氣時可以設想將充進容器內(nèi)的氣體用一只無形的彈性口袋收集起來，那么當我們?nèi)∪萜骱涂诖鼉?nèi)的全部氣體為研究對象時，這些氣體狀態(tài)不管怎樣變化，其質(zhì)量總是不變的；抽氣時，每抽一次，容器內(nèi)的氣體質(zhì)量和壓強都會變化，這就需要分析每次的抽氣過程，要把抽出的氣體和容器中的氣體一起作為研究對象，依次列出方程，然后用數(shù)學歸納法尋找規(guī)律。氣體的分裝有兩種情況：一種是將大容器中的高壓氣體同時分裝到各個小容器中，分裝后各個小容器內(nèi)氣體的狀態(tài)完全相同，這種情況實質(zhì)上是打氣的逆過程，每個小容器內(nèi)的氣體相當于打氣筒內(nèi)每次打進的氣體，大容器中剩下的氣體相當于打氣前容器中的原有氣體。另一種是逐個分裝，即每個小容器中所裝氣體的壓強依次減小，事實上，逐個分裝的方法與從大容器中抽氣的過程很相似，其解答過程可參照抽氣問題的解答過程。

四、錯誤理解分子動理論

例7在觀察布朗運動時，從微粒在a點開始計時，每間隔30s記下微粒的一個位置得到b、c、d、e、f、g等點，然后用直線依次連接，如圖9所示，則下列說法中正確的是（ ）。

A.微粒在75s末時的位置一定在cd連接的中點

B.微粒在75s末時的位置可能在cd連線上，但不可能在cd連線的中點

C.微粒在前30s內(nèi)的路程一定等于ab連線的長度

D.微粒在前30s內(nèi)的位移大小一定等于ab連線的長度

錯解：分子運動時沿直線從a到b再到c、d、e、f、g各點，選C。

正解：b、c、d、e、f、g分別對應微粒在30s、60s、90s、120s、150s、180s時的位置，因為微粒做的是無規(guī)則運動，所以微粒并不一定沿著折線abcdefg運動。

答案：D

圖9

例8有關(guān)分子的熱運動，下列說法中正確的是（ ）。

A.當兩個分子的分子勢能變大時說明兩分子間距變大了

B.用手捏海綿，海綿的體積變小了，說明分子間有間隙

C.當兩分子間作用力的合力表現(xiàn)為引力且引力最小時分子勢能也最小

D.在做墨水滴入水中的擴散實驗中，我們看不到墨水的分子在運動

錯解：分子勢能變大，說明分子力做負功，當分子間作用力的合力表現(xiàn)為引力時，當分子間距變大時分子引力做負功，故選A；海綿體積變小，說明分子間距變小，也就說明分子間有間隙，故選B；兩分子間的引力最小，則相應的分子勢能自然最小，故選C。

正解：分子勢能增大有兩種情況，一是分子間作用力的合力表現(xiàn)為引力時分子間距離變大，二是分子間作用力的合力表現(xiàn)為斥力時分子間距離變小，這兩種情況都是分子力做負功導致的分子勢能增大，選項A錯誤。用手捏海綿，海綿的體積變小了，這是因為海綿內(nèi)有很多空隙，空隙中充滿空氣，不能說明分子之間有間隙，選項B錯誤。當兩個分子從相距較遠處靠近時，首先表現(xiàn)為引力，引力雖然先增大后減小，但因為一直做正功，所以分子勢能一直減小，到平衡位置處分子力為零時分子勢能最小，選項C錯誤。在做墨水滴入水中的擴散實驗中，看到的是由分子組成的水的運動，墨水分子的運動是肉眼看不到的，選項D正確。

答案：D

方法與總結(jié)

分子動理論的基本內(nèi)容：物體是由大量分子組成的，分子永不停息地做無規(guī)則運動，分子間存在著相互作用力。分子直徑很小和阿伏伽德羅常數(shù)都能使我們認識到物體是由大量分子組成的，擴散現(xiàn)象和布朗運動都可以很好地證明分子做的是無規(guī)則的熱運動。布朗運動是指懸浮在液體中的固體微粒的無規(guī)則運動。關(guān)于布朗運動，要注意：①形成條件是微粒足夠小；②溫度越高，布朗運動越劇烈；③觀察到的是固體微粒（不是液體，不是固體分子）的無規(guī)則運動，反映的是液體分子運動的無規(guī)則性。分子雖然做無規(guī)則運動，但是固體和液體卻比較穩(wěn)定地存在著，其原因是分子間存在分子力。分子力的特點：①分子間同時存在引力和斥力；②引力和斥力都隨著距離的增大而減??；③斥力比引力變化得更快。

五、錯誤理解內(nèi)能及其變化

例9下列說法中正確的是（ ）。

A.溫度低的物體內(nèi)能小

B.溫度低的物體分子運動的平均速率小

C.做加速運動的物體，因為速度越來越大，所以物體分子的平均動能也越來越大

D.外界對物體做功時，物體的內(nèi)能不一定增加

錯解：因為溫度低，動能小，所以內(nèi)能就小，選A；由動能公式可知，速度越小，動能就越小，而溫度低的物體分子平均動能小，所以速率也小，選B；由加速運動的規(guī)律可知，物體的速度大小由初速度、加速度與時間決定，隨著時間的推移，速度肯定越來越快，再由動能公式可知，物體分子的平均動能也越來越大，選C。

正解：內(nèi)能是物體內(nèi)所有分子的動能和勢能的總和，溫度低只表示物體分子的平均動能小，而不表示勢能一定也小，也就是所有分子的動能和勢能的總和不一定也小，選項A錯誤。因為不同物質(zhì)的分子質(zhì)量不同，而動能不僅與速度有關(guān)，也與分子質(zhì)量有關(guān)，所以單從一方面考慮問題是不夠全面的，選項B錯誤。分子的平均動能只是分子無規(guī)則運動的動能，而物體做加速運動時，物體內(nèi)所有分子均參與物體的整體、有規(guī)則的運動，這時物體整體運動雖然越來越快，但并不能說明分子無規(guī)則運動的劇烈情況就要加劇。分子無規(guī)則運動的劇烈程度只與物體的溫度有關(guān)，而與物體的宏觀運動情況無關(guān)，選項C錯誤。因為物體內(nèi)能的變化與做功和熱傳遞兩方面有關(guān)，所以物體內(nèi)能是否改變要從這兩方面綜合考慮。若外界對物體做功轉(zhuǎn)化為物體的內(nèi)能等于或小于物體放出的熱量，則物體的內(nèi)能不變或減少，即外界對物體做功時，物體的內(nèi)能不一定增加，選項D正確。

答案：D

例10如圖10所示，絕熱隔板把絕熱容器分成兩部分，左側(cè)封閉有一定質(zhì)量的理想氣體，右側(cè)為真空。把容器固定在靜止的小車上，把小車放在光滑水平面上，系統(tǒng)處于靜止狀態(tài)。現(xiàn)撤去絕熱隔板，至整個系統(tǒng)重新達到穩(wěn)定狀態(tài)的過程中（ ）。

A.容器內(nèi)氣體的內(nèi)能不變

B.容器內(nèi)氣體的內(nèi)能一直減小

C.容器內(nèi)氣體的內(nèi)能一直增大

D.容器內(nèi)氣體的內(nèi)能先減小后增大

錯解：撤去隔板后，氣體的體積增大，對外做功，又因為容器絕熱，所以根據(jù)熱力學第一定律知容器內(nèi)氣體的內(nèi)能減小，選B；撤去隔板后，因為右側(cè)為真空，所以氣體自由膨脹對外界不做功，外界對氣體也不做功，又因為容器絕熱，沒有熱交換，所以容器內(nèi)氣體的內(nèi)能不變，選A。

正解：撤去隔板后，氣體向右自由膨脹，雖然不對右側(cè)真空做功，但會對左側(cè)器壁有力的作用，由動量守恒定律可知，小車會向左運動，由于氣體對容器做功導致系統(tǒng)的機械能增大而內(nèi)能減小。當系統(tǒng)重新達到穩(wěn)定狀態(tài)后，由動量守恒定律可知，系統(tǒng)會重新處于靜止狀態(tài)，系統(tǒng)的機械能又將轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，所以容器內(nèi)氣體的內(nèi)能又會增大。

答案：D

圖10

方法與總結(jié)

物體的內(nèi)能是指組成物體的所有分子的熱運動動能與分子勢能的總和。因為溫度越高，分子平均動能越大，所以物體的內(nèi)能與物體的溫度有關(guān)；因為分子勢能與分子間距離有關(guān)，分子間距離又與物體的體積有關(guān)，所以物體的內(nèi)能與物體的體積有關(guān)；因為物體的摩爾數(shù)不同，物體包含的分子數(shù)目就不同，分子熱運動的總動能與分子勢能的總和也會不同，所以物體的內(nèi)能與物體的摩爾數(shù)有關(guān)。對于理想氣體來說，因為分子之間沒有相互作用力，就不存在分子勢能，所以理想氣體的內(nèi)能就是氣體所有分子的熱運動動能的總和。

改變物體內(nèi)能就是改變物體的分子動能和分子勢能，能夠改變物體內(nèi)能的物理過程有兩種，即做功和熱傳遞。外界對物體做多少功，物體的內(nèi)能就增加多少；物體對外界做多少功，物體的內(nèi)能就減少多少。物體吸收了多少熱量，物體的內(nèi)能就增加多少；物體放出了多少熱量，物體的內(nèi)能就減小多少。做功和熱傳遞對改變物體的內(nèi)能是等效的。功和熱量都可以用來量度內(nèi)能的變化，它們的區(qū)別是：做功是其他形式的能（如電能、機械能……）和內(nèi)能之間的轉(zhuǎn)化，熱傳遞是物體之間內(nèi)能的轉(zhuǎn)移。