一種分析非均勻厚度1-3型壓電復合材料換能器性能的方法

孫瑛琦，曾德平，張春楊，許佳琪，張菁霓，龔 洋，何 倩，高雪梅，楊增濤

(重慶醫科大學 生物醫學工程學院 省部共建國家重點實驗室培育基地—重慶市超聲醫學工程重點實驗室 重慶市生物醫學工程學重點實驗室 重慶市微無創醫學協同創新中心，重慶 400016)

壓電復合材料是指由壓電陶瓷和聚合物按一定的連通方式、一定的體積或質量比，以及一定的空間幾何分布復合而成的材料。根據連通性的不同，兩相壓電復合材料可分為10種類型，分別為0-0型、0-1型、0-2型、0-3型、1-1型、1-2型、1-3型、2-2型、2-3型和3-3型，其中對1-3型壓電復合材料的研究最深入。1-3型壓電復合材料結合了壓電陶瓷和聚合物的優點，與大多數壓電陶瓷相比，1-3型壓電復合材料具有較低的聲阻抗、較高的耦合系數、較低的機械品質因數和介電損耗，并且在設計方面具有更好的靈活性[1-2]。如今，1-3型壓電復合材料在生物醫學換能器、水下應用和微型定位系統等領域中得到廣泛的應用[3-5]。

將1-3型壓電復合材料設計成非均勻厚度壓電片可以增加換能器的工作帶寬，還可以實現超聲波聚焦[6-11]。基于非均勻厚度1-3型壓電復合材料片的特性，可將其作為一種寬帶超聲換能器，已被應用于水浸無損探傷、聲波測井以及超聲成像如：多普勒成像、彈性成像、灰度成像等領域，同時也可以作為聚焦超聲波發射換能器，實現在水中及固體材料中的聚焦。

超聲換能器性能參數的精確模擬在換能器設計過程中尤為重要。目前，換能器的常用分析方法有梅森(Mason)模型、克里姆霍爾茲(KLM)模型、壓電振動模型[12-14]以及有限元法[15-16]等。前三種研究方法已被應用到分析和優化均勻厚度1-3型壓電復合材料[17]，而無法直接用于分析非均勻厚度1-3型壓電復合材料換能器，有限單元法可不受結構形狀及材料的限制，但其模擬計算時耗時較長且無法解析表達出各參量之間的關系。因此，需要建立一種新的分析方法來分析非均勻厚度1-3型壓電復合材料換能器的性能。

為分析非均勻厚度1-3型壓電復合材料換能器的性能，本文提出了一種并聯振子等效電路模型，即將非均勻厚度1-3型壓電復合材料換能器看成并聯的諧振器陣列，采用三維厚度伸縮振動模型對諧振器單元進行理論分析，并制作了非均勻厚度壓電換能器的樣品，分析對比理論及實驗結果。對非均勻厚度壓電換能器的動態特性進行建模。

1 等效模型建立

非均勻厚度1-3型壓電復合材料片示意圖，如圖1所示。該換能器被設計為平凹形狀，其厚度沿徑向逐漸增加，其中凹面的曲率為R，邊緣厚度為H，壓電片的直徑為d。

圖1 非均勻厚度1-3型壓電復合材料片示意圖Fig.1 1-3 piezoelectric composites harvester of gradually varying thickness

對于1-3型壓電復合材料，其橫向應力被聚合物介質吸收，環氧樹脂相的剪切模量遠遠小于壓電相的縱向彈性模量，各個PZT柱之間的相互耦合很小[18-19]，因此，當1-3型壓電復合材料制作成非均勻厚度壓電片時，可以認為它是由不同厚度的諧振器陣列并聯組成。在施加超聲壓力時，這些諧振器陣列可以沿著厚度方向獨立地進行振動。因此，在前期建立的1-3型壓電復合材料厚度伸縮模型[20-23]的基礎上進行完善與改進，建立并聯振子等效電路模型對非均勻厚度1-3型壓電復合材料進行理論分析，如圖2所示。

圖2 非均勻厚度1-3型壓電復合材料的等效電路模型Fig.2 The equivalent circuit model of non-uniform thickness 1-3 piezoelectric composite transducers

2 振動及阻抗分析

由諧振器陣列并聯而成的非均勻厚度1-3型壓電復合材料的總阻抗可以表示為

(1)

式中：Zi為單個振蕩器單元的阻抗。

以厚度為2hi的振蕩器單元為例，其振動模型如圖3所示。有研究表明1-3型壓電復合材料可以作為有效的均勻介質處理[24]。因此，提出了一種采用大體積壓電陶瓷板代替1-3型壓電復合材料的分析模型，該板由x=±hi的兩個平面界定，并且這兩個表面之間無牽引力。極化方向P沿板的縱向，即圖3中x3方向。

圖3 諧振器單元振動模型Fig.3 The vibration model of the oscillator unit i

1-3壓電復合板的三維線性壓電控制方程和界面邊界條件方程可以寫成[25]

(2)

式中：ui為位移矢量；Tij為應力張量；Sij為應變張量；Ei為電場矢量；Di為電位移矢量；φ為電勢。cijkl，ekij和εij分別為有效彈性常數、壓電常數和介電常數；ρ為有效的質量密度；ω為角速度；V為上下兩個界面的電勢差。

對于在x3方向上極化的1-3個壓電復合材料，考慮到板的厚度拉伸振動僅取決于u3，位移及電勢表達式為

u3=u(x3)eiωt,u1=u2=0,φ=φ(x3)eiωt

(3)

上式描述的模式可由三維線性壓電方程表示，并且可簡化為一維模型。對式(2)和式(3)進行推導和簡化，可得到單個諧振器單元的電阻抗的解析解

(4)

將式(4)代入式(1)，可以得到非均勻厚度1-3型壓電復合材料總阻抗的解析解為

(5)

3 實驗結果與討論

為驗證模型的正確性，采用鋯鈦酸鉛(PZT-5A)和環氧樹脂兩種材料，通過“切割-填充法”[26]制作1-3型壓電復合材料片，再通過特殊工藝將壓電復合材料片中的一面制作成凹面，另一面為平面，制作出非均勻厚度的1-3型壓電復合材料樣片，如圖4所示。其材料參數和幾何參數如表1所示。

對于如圖4所示的凹球面形狀換能器，通過簡單幾何關系可以得到hi與半徑r之間的關系

(6)

式中：R為壓電片凹面的曲率半徑；H為壓電片的邊緣厚度；d為壓電片的直徑。

表1 PZT-5A和環氧樹脂的材料參數及壓電片的幾何參數Tab.1 Material parameters for PZT-5A and epoxy,and geometry parameters for non-uniform thickness disc

圖4 非均勻厚度1-3型壓電復合材料樣片Fig.4 Samples of non-uniform thickness 1-3 piezoelectric composite disc

在1-3壓電復合材料片的厚度伸縮振動數值計算中，存在黏性阻尼，使用c33(1+iQ)代替有效彈性常數c33。在建模中，通常使用Q表示整個結構阻尼的單個阻尼系數。對于該樣本，在理論分析中令Q=0.06以匹配實驗結果。

使用阻抗分析儀(Agilent 4294A)對非均勻厚度1-3型壓電復合材料樣片的阻抗進行了測量，將實際測量結果與理論結果進行對比，如圖5所示。圖5(a)、圖5 (b)分別為幅頻特性曲線和相頻特性曲線。

如圖5所示，實驗結果和理論結果之間一致性相對較好，偏差較小，證實本文提出的一種采用并聯振子等效電路模型計算非均勻厚度1-3型壓電復合材料換能器性能的方法是可行的。

由圖5(a)可知，阻抗的極大值點為反諧振頻率fa，阻抗的極小值點為諧振頻率fr。由式(1)可得，fa和fr分別由換能器內最小厚度及最大厚度的振蕩器單元決定。文獻[27-28]表明通過將諧振頻率接近的多個諧振器并聯，可以很大程度上增加換能器的帶寬。依據電路原理可知，當兩個阻值相差懸殊的電阻并聯后，并聯的總阻值更接近于小電阻值。在厚度振動模式下，諧振單元的厚度對諧振頻率及阻抗的影響如式(4)所示。當將換能器設計成非均勻厚度時，并聯的諧振單元的阻抗幅頻曲線的趨勢是相似的，彼此的諧振頻率不同但阻抗極值接近，因此導致并聯電路總阻抗頻響曲線在較寬的頻率范圍內較為平坦，使其工作帶寬明顯增加，因此該換能器的頻率差Δf(Δf=fa-fr)由換能器的厚度差決定，這與傳統的均勻厚度1-3型壓電復合材料阻抗特性明顯不同。

圖5 實測結果與理論結果比較Fig.5 Electrical impedance comparison between theoretical and experimental

如式(1)和式(5)所示，n為換能器半徑長度范圍內諧振單元的個數，為使理論計算中幾何尺寸與樣品實測的厚度相吻合，需使n等于換能器半徑長度范圍內PZT柱的個數。圖4所示換能器樣品的半徑長度范圍內PZT柱的數量為10個，因此在計算中取n=10。如圖5所示，當n=10時，在fr和fa范圍內的理論結果及實測結果均出現起伏現象，但隨著n值的增加，即當換能器PZT柱越密集時，其阻抗的曲線會變得更為平滑。因此，換能器的厚度不連續會造成其阻抗曲線的起伏。

從圖5(a)可知，理論結果與實測結果還存在一定的偏差，主要表現在理論頻率差Δf略大于實際頻率差，理論阻抗值略小于實際阻抗值，產生這一現象的主要原因如下：①非均勻厚度1-3型壓電復合材料換能器樣品的PZT柱橫向尺寸為0.8 mm×0.8 mm，PZT柱不夠密，造成厚度不夠連續；②在設計等效模型時，由于橫向剪切力比較小，沒有考慮橫向剪切力帶來的影響；③此外，也沒有考慮換能器的制作工藝、導線及焊點等因素所帶來的影響。

4 結 論

本文提出了一種用于分析非均勻厚度1-3型壓電復合材料換能器性能的方法。采用并聯振子等效電路模型及三維厚度伸縮振動模型，建立了分析非均勻厚度1-3型壓電復合材料換能器性能的方法，得到了非均勻厚度壓電復合材料阻抗的解析解；設計并制作了非均勻厚度壓電換能器，并通過試驗進行驗證。結果表明，理論及試驗結果吻合性較好，并聯振子等效電路模型可用來計算非均勻厚度1-3型壓電復合材料換能器的阻抗；非均勻厚度換能器的1-3型壓電復合材料換能器的工作帶寬由其厚度差決定。研究結果可為非均勻厚度寬帶換能器的設計提供參考。