基于決策更新的多級火箭彈道重規劃技術研究

馬昊磊 李學鋒

1. 北京航天自動控制研究所，北京 100854 2. 宇航智能控制技術國家級重點實驗室，北京 100854

在實際飛行任務中，運載火箭可能由于故障原因偏離原先設計好的標稱彈道，繼續沿用標稱彈道條件下的制導控制方案將難以完成任務。增強飛行安全與可靠性是未來火箭的發展目標，這就要求火箭既能將載荷高精度送入預定軌道，還能在發生故障偏差時重新規劃飛行彈道。

彈道重規劃包括任務決策和軌跡規劃2部分內容。當飛行過程中出現異常狀態時，需要通過任務決策確定下一步的行動目標。任務決策設計需要綜合利用全箭信息，根據飛行狀態判斷是否開展重規劃工作[1]，采用軌道設計反方法[2]與組合性能指標函數[3]等設計思想，分析飛行器的機動變軌能力，進而確定滿足要求的最優任務軌道。軌跡規劃則是將目標軌道根數作為終端約束，設計從重規劃初始點到入軌點的飛行彈道。根據目標軌道約束和火箭運行規律，結合最優控制原理設計火箭多級點火的彈道規劃算法[4-5]。采用級數設計[6]與非線性規劃[7-8]等方法進行問題求解，能夠有效應對各種偏差，實現飛行彈道的快速規劃。本文采用基于決策更新的彈道重規劃方法完成任務決策，當存在飛行異常或偏差時能夠根據任務要求，重新規劃出一條滿足條件的飛行彈道，盡可能保證任務順利完成。即使偏差較大不能進入目標軌道，也要盡可能保證載荷進入次優軌道。

1 模型建立

在地心慣性坐標系OE-XEYEZE中描述火箭的質心運動方程，原點OE位于地球質心，OEXE在地球赤道平面內指向發射點所在經度線，OEXEYE平面為赤道平面，OEZE為地球自轉軸，指向北極。

假設火箭發動機推力方向始終沿著體軸方向，并忽略附加哥氏力。考慮空氣動力影響的條件下，根據牛頓第二定律，火箭在地心慣性坐標系中的運動方程如下

(1)

其中，r=[x,y,z]T為位移矢量在地心慣性系中的投影；V=[Vx,Vy,Vz]T為速度矢量在地心慣性系中的投影；ux,uy,uz為推力單位矢量分量；FDx,FDy,FDz為阻力分量；FLx,FLy,FLz為升力分量；FSx,FSy,FSz為側向力分量；m為火箭質量；μ為引力系數；T為發動機推力；ISP為發動機比沖。

氣動力在地心慣性系中的分量可以表示為

(2)

(3)

(4)

其中，ωE為地球自轉角速度；L為發射點緯度；θ為彈道傾角；σ為航跡偏航角；A,B分別為

A=sinLcosθcosσ+cosLsinθ
B=sinLsinθcosσ-cosLcosθ

(5)

對于阻力，其數值可以表示為

(6)

其中，CD為阻力系數，由飛行馬赫數和攻角確定；S為氣動參考面積；ρ為大氣密度；Vre為火箭相對于大氣的速度。升力和側向力的大小可同理求得。

多級火箭在上升段飛行過程中，各級的飛行狀態有所不同。級間分離的過渡階段需要滿足約束[9]

(7)

其中，p=1,2,…表示火箭不同的飛行階段；md為級間分離拋去前級的質量。

多級火箭彈道重規劃問題可以描述為最優控制問題，最優控制模型以有限推力作用下的質心運動模型(1)作為狀態方程，系統包含7個狀態量X=[x,y,z,Vx,Vy,Vz,m]T和3個控制量U=[ux,uy,uz]T。

初始狀態為重規劃起始點的位置、速度和質量，初始時刻狀態由導航信息給定，即

X0=X|t=t0

(8)

目標集為滿足終端約束要求的目標軌道根數，即

h(Xf)=0

(9)

當末端滿足軌道根數半長軸a、偏心率e、軌道傾角i、升交點赤經Ω及近地點幅角ω五個終端約束時，具體可描述為[10]

(10)

其中，hN為目標軌道法向矢量，即

(11)

2 彈道重規劃方案

2.1 軌跡規劃

當運載火箭的飛行偏差在允許范圍內，無需開展彈道重規劃工作，采用系統自身的適應性調整就可以將載荷送入目標軌道。當超出總體給定的偏差，但超出偏差范圍不大時，可以采用軌跡規劃設計，綜合考慮運載火箭實時位置、速度、目標及約束條件，通過快速規劃算法得到滿足飛行終端任務要求的彈道，將載荷送入目標軌道。

本文采用自適應偽譜法[11]實現運載火箭的軌跡規劃設計，配點選擇正交Legendre多項式的零點，積分過程采用Gauss積分公式。自適應偽譜法在傳統偽譜法的基礎上加入了自適應區間劃分，在優化過程中可以更新配點設置，動態調整區間和函數階次。這種方法可以更加靈活地完成優化問題的求解。

正交Legendre多項式的基點在(-1,1)之間取值，需要首先將時間變量[t0,tf]投影變換到[-1,1]，即

(12)

將連續最優控制問題轉換為以基點處的狀態變量和控制變量為未知系數的標準非線性規劃問題，原來的連續問題轉化成為離散問題。變量取值包括初值和K個基點值，時間變量有-1

(13)

(14)

(15)

性能指標可選取燃料消耗最少，對于推力大小不可調的火箭來說，等效于飛行時間最短。連續問題轉化成為離散的最優問題，性能指標可以描述為

(16)

其中，Wk為Gauss積分公式中的積分權重，當基點數給定時為常值。

最優問題的約束條件包括地心慣性系中控制變量的單位化約束、變化率約束以及狀態變量約束

(17)

其中，α表示控制變量變化率的幅值約束，將地球近似為圓球取半徑RE。最優控制問題可以轉化為非線性規劃問題。對于非線性規劃問題，可以采用SNOPT[12]求解器完成求解。

2.2 決策等級更新

當運載火箭飛行超出的偏差范圍過大，但尚未造成致命性故障時，載荷不能進入目標軌道。運載火箭需要開展彈道重規劃工作，通過任務決策與軌跡規劃將載荷送入次優軌道，對異常飛行狀態實現一定程度的補救。為實現快速規劃，可以先完成滿足部分約束條件的規劃任務，盡可能保證規劃問題有解且收斂，之后通過提高約束條件和求解精度等方法更新任務決策，獲得決策等級更高的高精度優化解。

如果無法將載荷送入預訂目標軌道，需要規劃出次優軌道或備用救援軌道。在飛行任務決策時，需要確定保留軌道根數的決策等級，提出合理可行的更新策略。保留軌道根數的決策依據主要包括任務需求、后續調整難度和可實現性等因素。綜合上述因素，確定重規劃方案保留軌道根數的決策等級。本文選用三級決策等級方案，如表1所示，其中“〇”表示需要滿足約束條件的軌道根數，“—”表示不受約束允許出現偏差的軌道根數。表中等級III代表最低決策等級，等級I代表最高決策等級，任務決策等級越高，則終端約束條件越多，獲得收斂解的難度就會越大。

表1 軌道根數約束的任務決策等級

任務決策等級的更新策略如圖1所示。當火箭飛行過程中出現異常狀態時，應急模式啟動，開始彈道重規劃任務。根據選用的決策等級方案，完成任務約束條件的初始化。本文不考慮導航系統故障，即認為系統提供的導航信息準確可靠，由導航信息可以確定初始時刻的位置和速度。根據火箭設計方案及燃油測量裝置可以確定火箭的質量。位置、速度和質量信息共同構成優化問題的初始時刻狀態量。建立優化問題，采用自適應偽譜法完成規劃問題求解。在此過程中若是無法滿足誤差精度要求，可以更新配點設置后再進行規劃求解。

圖1 任務決策等級更新策略

由于火箭飛行的實時性要求，若在一定時間內無法得到確定的收斂解，需要對優化求解問題進行中斷，滿足中斷條件即認為當前任務決策等級下無法快速獲得收斂解。如果在最低決策等級條件下無法獲得收斂解，則飛行偏差過大，即使通過彈道重規劃也不能將載荷送入軌道。如果能夠獲得滿足誤差精度要求的收斂解，則對現有的火箭飛行彈道進行更新，并生成相應的制導指令。

為獲得滿足更多目標約束條件的飛行彈道，需要更新任務決策，增加約束條件以滿足更高決策等級的要求。增加目標約束條件以后，原有的優化問題發生了變化，重新構建最優控制問題并進行求解。為提高迭代運算的收斂速度，可以采用之前決策等級條件下的彈道規劃結果作為優化問題新的迭代初值。如果仍能獲得滿足誤差精度要求的收斂解，則對飛行彈道和制導指令進行更新替換，同時繼續更新決策等級，直到滿足最高決策等級條件下的目標軌道約束要求。

為滿足彈道規劃的實時性要求，優化求解過程中配點數目不宜過多，這種條件下獲得的彈道精度相對不高，制導指令可能存在一定的偏差。進一步更新配點設置，增加配點數量，可以獲得更高精度的飛行彈道，生成更為準確的制導控制指令，從而完成火箭的自主彈道重規劃。

3 仿真分析

以多級運載火箭上升段飛行為例，應用MATLAB對彈道重規劃方案進行仿真驗證。首先根據任務要求規劃標稱彈道。標稱彈道可以直接采用本文提到的自適應偽譜法完成設計。

當火箭飛行過程中出現推力偏差和跟蹤偏差時，采用本文所設計的任務決策方案，確定任務目標軌道根數的約束條件，并規劃新的飛行彈道。

仿真具體參數如下：

運載火箭的初始位置在地心慣性系下分量：X=5.5236×106m，Y=0m，Z=3.1891×106m；

運載火箭的初始速度在地心慣性系下分量：Vx=0m/s，Vy=402.79m/s，Vz=0m/s；

對于多級火箭，載荷質量為4000kg，各級質量及推力參數如表2所示。

表2 多級火箭質量與推力參數

原有任務的目標軌道根數為：a=24400km，e=0.72，i=30°，Ω=270°，ω=130°，真近點角f=0°。火箭點火起飛后，正常情況下會按照預先設計好的標稱彈道飛行。

本文選取t=150s作為異常狀況發生點，此時也是彈道重規劃的任務起始點。根據表2的有關參數可知，當t=150s時，運載火箭已完成助推級分離，正處于芯一級工作階段。之后的過程包括芯一級剩余工作階段、一二級分離、芯二級工作階段。選擇芯一級推力下降20%、25%、30%和35%這4種推力偏差情況，假設推力偏差情況下發動機比沖不變，剩余燃料仍能充分燃燒，級間正常分離并且芯二級能夠完全正常工作。采用基于決策更新的方法完成彈道的重規劃設計。

當推力下降20%時，重規劃彈道與原標稱彈道的位移、速度、控制變量對比如圖2～4所示，其中虛線為原標稱彈道變化情況，實線為重規劃彈道變化情況。

圖2 彈道位移對比

圖3 彈道速度對比

圖4 彈道控制變量對比

通過仿真過程可以驗證，當推力下降20%時，任務決策等級可到達最高的I級，即半長軸、偏心率、軌道傾角、升交點赤經、近地點幅角5個終端約束均能滿足原有要求。根據圖2～4所示的仿真結果可以看出，推力下降時完成目標的飛行用時有所增加。

采用同樣的方案可以確定推力下降25%、30%和35%情況下的重規劃彈道。表3為原目標軌道、推力下降20%、下降25%、下降30%及推力下降35%重規劃的目標軌道根數。

由表3可以看出，推力下降25%時，任務決策等級仍能到達I級，5個終端約束均能滿足原有要求；推力下降30%時，任務決策等級可到達II級，目標軌道可以滿足半長軸、偏心率、軌道傾角及升交點赤經4個終端約束條件；推力下降35%時，任務決策等級僅能到達III級，目標軌道可以滿足半長軸、偏心率及軌道傾角3個終端約束條件。隨著推力偏差的增加，彈道重規劃任務可實現的決策等級會降低，能夠滿足的終端約束條件也隨之減少。若進一步增大推力偏差，最低任務決策等級也有可能無法達到。

表3 不同推力偏差條件下的目標軌道根數

4 結論

針對多級火箭上升段飛行的偏差問題，提出了一種基于任務決策等級更新的火箭彈道重規劃方案。將多級火箭彈道重規劃問題轉化為最優控制問題，在考慮氣動力和飛行約束的條件下，構造了火箭飛行的質心運動模型和最優控制模型。根據不同任務的特點設計任務決策等級方案，確定重規劃任務的終端約束條件。采用自適應偽譜法快速生成高精度的收斂彈道，設計了當火箭飛行過程中出現推力偏差狀況時的彈道重規劃方案。仿真結果表明本文提出的方案能夠快速規劃出滿足任務要求的飛行彈道，在火箭飛行出現異常狀態時實現了一定程度的補救挽回。