一種改進(jìn)的GPS/BDS雙模系統(tǒng)整周模糊度求解算法

胡朝陽(yáng) 張思遠(yuǎn) 裴炳南

1. 大連大學(xué) 遼寧省北斗高精度位置服務(wù)技術(shù)工程實(shí)驗(yàn)室，大連116622 2. 泉州信息工程學(xué)院 通信與導(dǎo)航技術(shù)研究所，泉州 362000

中國(guó)“北斗”導(dǎo)航系統(tǒng)的組建完成和美國(guó)GPS的技術(shù)升級(jí)換代為利用多星座組合提高導(dǎo)航系統(tǒng)的定位精度和可靠性提供了條件[1]。模糊度參數(shù)的正確固定是利用導(dǎo)航載波相位數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)高精度定位的關(guān)鍵技術(shù)。相對(duì)于其他模糊度固定算法，LAMBDA(最小二乘降相關(guān)平差)算法是目前公認(rèn)的最好的模糊度固定算法[2]，特別適用于高維模糊度的固定。LAMBDA算法的核心思想是去相關(guān)和整數(shù)最小二乘搜索[3-4]。另一種模糊度參數(shù)固定技術(shù)是Bootstrapping(序貫最小二乘平差法)算法，較整數(shù)最小二乘搜索簡(jiǎn)單，但有一定的失敗率[5-6]；其基本思想是在前面模糊度取整固定條件下，對(duì)余下的其他浮點(diǎn)解進(jìn)行序貫最小二乘平差改正，然后對(duì)改正后的值取整。

利用LAMBDA算法漏檢率低和Bootstrapping算法計(jì)算復(fù)雜度低的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)又克服了LAMBDA算法中整數(shù)最小二乘搜索計(jì)算復(fù)雜度高和Bootstrapping算法漏檢率高的缺點(diǎn)，本文提出一種新的算法。該算法針對(duì)短基線情況下基線向量和整周模糊度的相關(guān)性的病態(tài)問題，加入數(shù)學(xué)上的正則化方法調(diào)整基線和模糊度參數(shù)，改善了協(xié)方差矩陣的病態(tài)問題，提高了模糊度的搜索效率和成功率。實(shí)測(cè)導(dǎo)航數(shù)據(jù)的計(jì)算機(jī)仿真表明，該方法可以節(jié)省時(shí)間和提高定位性能。

1 提出算法的依據(jù)和問題分析

1.1 雙差觀測(cè)模型

GPS/BDS組合相對(duì)定位載波雙差方程的數(shù)學(xué)模型為：

y=Bb+Aa+e

(1)

對(duì)方程(1)中的未知向量參數(shù)a和b的求解一般可通過3步進(jìn)行[7]：

1)通過經(jīng)典的最小二乘法或者卡爾曼濾波方法[8-9]獲得模糊度和未知的基線向量坐標(biāo)的浮點(diǎn)解以及相應(yīng)的協(xié)方差矩陣

(2)

(3)

(4)

1.2 LAMBDA算法

在模糊度的解法中，LAMBDA算法是目前最為熟知和使用的一種方法。LAMBDA算法解決了整數(shù)最小二乘問題，并且能夠獲得載波相位整周模糊度的估計(jì)值。

對(duì)式(3)進(jìn)行模糊度搜索求解時(shí)，搜索空間可表示為[8]:

(5)

在LAMBDA算法中為加快模糊度固定解的搜索，需要對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行去相關(guān)。Teunissen[4-5]對(duì)原始模糊度浮點(diǎn)解做Z變換，以降低其相關(guān)性，使搜索橢球更接近球體。其基本算法如下：

1)尋找一個(gè)Z矩陣滿足[11]：Z中所有元素為整數(shù)，det(Z)=±1。

2)對(duì)原始模糊度進(jìn)行如下變換：

(6)

(7)

4)反變換得到原始模糊度的固定解。

1.3 Bootstrapping算法

(8)

1.4 病態(tài)問題和正則化估計(jì)

1.4.1 病態(tài)性分析

在式(1)中，令H=[B,A]，Y=[b,a]，則式(1)可以寫成式(9)所示：

L=HY+ε

(9)

式中：L為kn×1維雙差觀測(cè)向量，H為kn×(n+3)維系數(shù)矩陣，Y為(n+3)×1維未知向量(包括基線向量和整周模糊度)。

通過加權(quán)最小二乘法可得Y的最小二乘解為：

(10)

1.4.2 正則化估計(jì)

GPS/BDS組合快速定位是一個(gè)典型的不適定問題[13]。事實(shí)上，在觀測(cè)歷元較少的情況下，由于觀測(cè)信息不足或者衛(wèi)星幾何形狀變化較小將導(dǎo)致法方程的嚴(yán)重病態(tài)，正則化方法是求解不適定問題的有效方法，本文對(duì)不適定方程加上一個(gè)正則條件約束，將問題轉(zhuǎn)化為適定方程，從而獲得準(zhǔn)確穩(wěn)定的解。

根據(jù)Tikhonov正則化原理，求解觀測(cè)方程(9)即是尋求滿足如下估計(jì)準(zhǔn)則的解[14-15]：

(11)

(12)

由式(11)和(12)可以看出，正則化的關(guān)鍵是要確定正則化參數(shù)α和正則化矩陣Rα。本文重點(diǎn)是針對(duì)LAMBDA快速搜索算法進(jìn)行討論，所以正則化參數(shù)α和正則化矩陣Rα直接引用文獻(xiàn)[15]的討論結(jié)果。

2 改進(jìn)的快速模糊度搜索算法

利用BDS/GPS組合導(dǎo)航系統(tǒng)的數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)高精度定位將導(dǎo)致整周模糊度的搜索維數(shù)顯著增大，從而產(chǎn)生大得多的計(jì)算負(fù)擔(dān)；使用LAMBDA算法解決這類問題將可能導(dǎo)致不能快速定位[16]。Bootstrapping算法是直接取整法和序貫條件最小二乘平差算法的結(jié)合，考慮了部分模糊度之間的相關(guān)性，但是Bootstrapping只是一種近似的估計(jì)算法，且只有一定的成功率[8]，其正確估計(jì)的概率為：

(13)

對(duì)式(3)進(jìn)行順序的序貫條件最小二乘模糊度求解來實(shí)現(xiàn)各分量去相關(guān)，進(jìn)行逆序處理之后的表達(dá)式如式(14)[10]：

(14)

該算法并不是所有情形下都能正確估計(jì)整周模糊度，其估計(jì)正確的概率的上限是一個(gè)與模糊度維數(shù)n有關(guān)的函數(shù)，但是該方法比整數(shù)最小二乘搜索簡(jiǎn)單得多，因此確定高精度浮點(diǎn)解和較低精度浮點(diǎn)解的界限是該方法解算的關(guān)鍵。對(duì)于滿足某種判別條件，采用Bootstrapping進(jìn)行估計(jì)，不滿足判別條件，則采用正則化限定后的整數(shù)最小二乘進(jìn)行搜索。這樣既提高了搜索效率，又保證了模糊度的求解準(zhǔn)確。本文提出的適合BDS/GPS導(dǎo)航數(shù)據(jù)的解算整周模糊度參數(shù)的方法如圖1所示。

圖1 改進(jìn)模糊度解算流程圖

文獻(xiàn)[11]給出了判別式如式(15)：

(15)

由于實(shí)際的觀測(cè)數(shù)據(jù)時(shí)間很短，初始的雙差整周模糊度的序貫存在不連續(xù)情況，對(duì)于n≥10的高維模糊度搜索來說，一般式(15)很難滿足，此時(shí)采用Bootstrapping估計(jì)模糊度固定解的成功率比較低。LAMBDA算法對(duì)初始模糊度進(jìn)行了整數(shù)Z變換，經(jīng)過變換之后，以及考慮加入改進(jìn)的正則化條件，目標(biāo)函數(shù)式(3)轉(zhuǎn)化為：

(16)

與此對(duì)應(yīng)的式(14)變?yōu)椋?/p>

(17)

則與式(15)對(duì)應(yīng)的判別式變?yōu)椋?/p>

(18)

3 數(shù)據(jù)采集與仿真結(jié)果分析

為了驗(yàn)證提出方法的有效性，在2018年7月12日上午10時(shí)，利用大連大學(xué)日新樓樓頂?shù)膬蓧K上海司南導(dǎo)航公司生產(chǎn)的板卡(K528)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)測(cè)量，以雙差模型對(duì)其進(jìn)行處理，求得雙差模型的浮點(diǎn)解和相應(yīng)的方差-協(xié)方差矩陣，其中，GPS和BDS觀測(cè)數(shù)據(jù)的采樣間隔設(shè)置為10s，觀測(cè)時(shí)間持續(xù)分別為10min和20min，獲得衛(wèi)星鐘差文件和導(dǎo)航電文文件，其中鐘差文件大小為16KB，導(dǎo)航電文大小為4.4MB。在實(shí)際的觀測(cè)情況中，BDS/GPS雙模導(dǎo)航系統(tǒng)可視衛(wèi)星一般保持在13-18顆左右，模糊度維數(shù)隨歷元變化情況如圖2所示。

圖2 模糊度維數(shù)隨歷元變化

考慮到去相關(guān)搜索策略會(huì)影響搜索效率，因此，采用Bootstrapping方法、LAMBDA方法和本文提出的新算法(即Modify-search簡(jiǎn)稱M-S算法)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。實(shí)驗(yàn)結(jié)果分別如表1和2所示。M-S方法中預(yù)設(shè)的Ratio測(cè)試成功率為0.965，由于整數(shù)最小二乘解在高維空間中很難直接算出，但是其成功率是最高的，因此設(shè)置整數(shù)最小二乘的成功率為1。

其中，Ratio值即是整數(shù)解中次小與最小驗(yàn)后方差比的檢驗(yàn)量，單系統(tǒng)和組合系統(tǒng)的閾值均設(shè)為3，則固定率=滿足閾值的固定數(shù)/總歷元數(shù)。

表1 不同模糊度搜索時(shí)間、成功率比較

表2 不同模糊度搜索時(shí)間、成功率比較

由表1和2可以看出，在組合定位模式中，針對(duì)高維模糊度結(jié)算來說，模糊度估計(jì)效率最高的是Bootstrapping方法，但是其固定成功率最低；LAMBDA算法雖然能夠保證解算出整周模糊度，但是其由于方法過于保守，備選模糊度比較多而導(dǎo)致解算效率降低；M-S算法首先通過正則化比例因子改善整周模糊度浮點(diǎn)解，然后通過判別式綜合利用Bootstrapping方法和LAMBDA算法，在滿足解算模糊度成功率的基礎(chǔ)上，一定程度上提高了解算效率，保證了高維模糊度對(duì)高精度定位的快速性。

4 結(jié)束語

針對(duì)BDS/GPS雙差觀測(cè)模型的整周模糊度的解算問題，比較研究了LAMBDA算法和Bootstrapping方法的優(yōu)點(diǎn)和不足，研究了加權(quán)最小二乘方法解算整周模糊度中出現(xiàn)的病態(tài)問題，通過引入正則化比例因子改善整周模糊度浮點(diǎn)解，提出了新的整周模糊度求解算法。實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證和仿真分析表明，改進(jìn)后的整周模糊度求解算法有效改善了高維情況下的病態(tài)性，提高了整周模糊度解算的速度，在雙模系統(tǒng)的高精度定位中具有一定的參考價(jià)值。