雙重不確定分數階混沌系統的魯棒自適應同步控制算法研究

鐘 昆 高 嵩 黃姣茹,2 錢富才,2

1(西安工業大學電子信息工程學院 陜西 西安 710021)2(西安理工大學自動化與信息工程學院 陜西 西安 710048)

0 引 言

混沌系統同步控制是混沌系統有效應用于保密通信、圖像加密和經濟學預測等方面首要解決的核心問題之一，不斷完善和發展混沌同步控制算法成為主流方向[1]。隨著分數階微積分理論研究的熱潮興起[2-4]，學者們將分數階微積分推廣到混沌系統中，其結構和特性較之整數階系統更加復雜多樣，不僅包含了整數階系統所有特性，而且具有記憶性和遺傳性等特點[5]。因此，對分數階混沌系統同步控制算法的研究成為熱點。

近年來，考慮到不確定性對控制系統的不可忽略影響[6-7]，不確定分階混沌系統的同步控制問題引起了廣泛關注。文獻[8]針對含未知參數的嚴格反饋分數階混沌系統，提出自適應反演控制法實現同步并有效估計未知參數。文獻[9]提出了非線性控制器與參數自適應律相結合策略，實現參數不確定分數階混沌系統投影同步。文獻[10]研究了含時變參數的分數階超混沌系統的反同步問題，選取參數自適應律，解決時變參數的攝動問題。文獻[11]基于Lyapunov穩定性理論，運用追蹤控制和自適應滑模控制方法設計同步控制律，有效消除系統未知參數影響。文獻[12-13]針對系統受外部擾動影響，利用分數階擾動觀測器有效估計擾動，然后在同步控制器中加以補償來達到同步控制目的。文獻[14]討論了含未知上界外部擾動的同步控制問題，設計了模糊自適應同步控制器，給出了使同步誤差系統漸近穩定的充分條件。但是，上述研究結果在解決不確定同步控制問題時，要么只考慮了系統內部參數未知或者攝動，要么僅考慮了外界環境對系統帶來的擾動不確定影響。

眾所周知，由于實際系統所處的環境極其復雜，不確定性往往不只以某一種形式單獨存在，即同時含有參數不確定和外部擾動的雙重不確定性[15-16]。前者屬于可減少的不確定性，它們可以利用來自系統的輸出信息進行自學習而減少或者消失。后者屬于不可減少不確定性，即不能利用任何系統信息進行消除，但它們可以利用魯棒控制有效抑制或者削弱[17]。如果僅考慮前者而忽略后者的影響，會使得控制器過于激進和樂觀；若只考慮后者，又會使得控制器設計過于保守。

綜上，本文針對含未知參數且受有界外部擾動的雙重不確定分數階混沌系統同步控制問題，彌補以往同步控制算法的不足，提出了一種設計方法簡單且更易于實現的魯棒自適應同步控制器算法。基于分數階Lyapunov穩定定理，利用參數辨識和自適應控制方法，得到分數階參數估計誤差和控制器增益自適應律，嚴格地證明了使同步誤差系統魯棒漸進穩定的結論，同時得到未知參數的辨識曲線，最終實現了同步控制。

1 預備知識

定義1[18]針對連續可微函數x(t)的α階Caputo分數階微分定義為：

Dαx(t)=Jn-αx(n)(t)α>0

(1)

式中：Dα稱為α階Caputo分數階微分算子且n-1<α0)是α階Riemann-Liouville分數階積分定義，其表達式為：

(2)

式中：Γ(·)為gamma函數，其定義為：

(3)

引理1[19]考慮一類分數階系統：

Dαx(t)=f(x(t)) 0<α<1

(4)

令D?Rn是原點的某個值域，現假設假設系統的平衡點為xeq(t)=0，并且假設存在一個連續可微函數V(x(t)):[0,∞)×D→R+和K類函數γ使之滿足如下條件：

(5)

式中：x(t)?D。如果D=Rn，那么該系統在平衡點xeq(t)=0處是漸進穩定的。

引理2[20]令x(t)∈R為一個連續且可導的函數，則對于任意時刻t≥t0，有：

(6)

2 問題描述

考慮n維雙重不確定分數階混沌系統作為驅動系統：

(7)

相應地，考慮n維響應系統為：

(8)

假設驅動系統的擾動di(t)與響應系統擾動ci(t)均是有界的，并且滿足：

|ci(t)-di(t)|≤lii=1,2,…,n

(9)

式中：li為常數且滿足li>0。

fi(y)-fi(x)+ci(t)-di(t)+ui(t)=

[ci(t)-di(t)]+ui(t)

(10)

如果存在一個控制輸入ui(t)，使得：

(11)

那么，可以說明響應系統與驅動系統實現了狀態同步。因此，我們將兩個分數階混沌系統的同步算法設計問題轉化為判別分數階同步誤差系統的漸進穩定性問題。

本文主要目的是針對分數階狀態同步誤差系統設計一種有效的魯棒自適應同步控制算法，通過證明同步誤差系統的魯棒漸進穩定性，從而實現系統的同步控制，不僅克服外部擾動對系統的影響，而且能達到辨識未知參數的目的。

3 魯棒自適應同步控制算法

本節中，以實現含雙重不確定性分數階混沌系統的同步控制為目標，基于分數階Lyapunov穩定性定理，設計使同步誤差系統穩定的同步控制器算法、參數估計誤差自適應律和控制器增益自適應律，其魯棒自適應同步控制算法由下述定理1給出：

定理1分數階同步誤差系統對于任何初始狀態都是魯棒漸進穩定的，當且僅當其同步控制律ui(t)滿足：

ui(t)=-(θi+λi)ei-fi(y)+fi(x)-kisign(ei)

(12)

式中：i=1,2,…,n，λi為任意常數且λi>0，ki為控制器自適應反饋增益，其分數階自適應律滿足：

Dαki=|ei|

(13)

(14)

證明：將式(12)代入到式(10)中，有：

[ci(t)-di(t)]+ui(t)=

[ci(t)-di(t)]+[-(θi+λi)ei-

fi(y)+fi(x)-kisign(ei)]=

(15)

取如下形式Lyapunov函數：

(16)

由引理2，對式(16)兩邊同時求α(0<α<1)階微分，得到：

(17)

將式(15)代入到式(17)中，有：

(18)

利用絕對值不等式性質，式(18)可以寫為：

(19)

由式(9)得：

(20)

若令：

(21)

那么，由式(21)的條件，代入到式(20)且有λi>0，得：

(22)

由引理1，同步誤差系統是漸進穩定的。

證畢。

因此，定理1給出的魯棒自適應同步控制器、分數階未知參數估計誤差自適應律和分數階控制器增益自適應律能夠保證響應系統與驅動系統實現狀態同步。下面將通過實例仿真來驗證所述同步控制算法的有效性與可行性。

4 實例仿真與分析

本節中，以一類含絕對值項的分數階混沌系統為同步控制對象，考慮參數未知且受到有界外部擾動的雙重不確定性。利用本文提出的控制算法實現同步，同時得到未知參數的辨識曲線，以此驗證算法有效性。

考慮含絕對值項的分數階混沌系統模型表達式為：

(23)

式中：θ1、θ2、θ3是系統參數。在不考慮任何不確定性時，我們取系統參數為θ1=-3、θ2=5、θ3=-10，狀態初值為x1(0)=3、x2(0)=-5、x3(0)=-1，系統階數取α=0.95時的混沌吸引子相圖如圖1所示。

圖1 新分數階混沌系統的狀態相圖

當考慮系統受到參數未知和外部擾動的雙重不確定性影響時，驅動系統模型可寫為：

(24)

相應地，響應系統模型可寫為：

(25)

為了實現響應系統與驅動系統的同步，根據本文提出的同步控制算法，設計魯棒自適應同步控制器為：

(26)

控制器增益的分數階自適應律為：

(27)

參數估計誤差的分數階自適應律為：

(28)

圖2 混沌系統狀態同步控制圖

由圖2可以看出，響應系統與驅動系統的狀態控制曲線在有限時間內實現了同步，即兩個系統的狀態最終實現重合。接下來，仿真得到狀態同步誤差曲線ei(i=1,2,3)如圖3所示，同時繪制出未知參數辨識曲線如圖4所示。

圖3 驅動系統與響應系統狀態同步誤差曲線

圖4 未知參數的辨識曲線

由圖3知，在未知參數和外部擾動的雙重不確定性影響下，驅動系統與響應系統的系統狀態誤差曲線在2.5 s時開始漸進趨向于零，定性地說明了同步控制算法能夠最終實現兩個系統狀態同步。由圖4可知，未知參數的估計值可以由任意給定的初始值最終趨近于真實值，證明參數自適應律的設計是符合要求的。由此，證明了所提出的同步控制算法是有效和可行的。

5 結 語

基于參數估計理論與自適應控制理論，本文針對一類含有未知參數和外部擾動的雙重不確定分數階混沌系統的同步控制問題，設計了一種魯棒自適應同步控制算法。利用分數階Lyapunov穩定性理論給出了使同步誤差系統漸進穩定的參數估計誤差和控制增益自適應律設計方法。將設計的同步算法運用到分數階混沌系統同步控制實例中，數值仿真結果表明提出的算法控制效果好、設計方法簡便且易于實現，并具有非常可觀的應用前景。