《微積分》如何計算圓周率π的近似值

錄嶺法 張利齊

摘要：圓周率π可以說是在數學中最為常見的一個無理數，在計算圓周長、圓面積、球體積以及很多相關圖形（比如扇形、橢圓和橢球等）計算中起到了關鍵作用。它最早被定義為圓周長與直徑的比值。而如何計算圓周率π也引起了古今中外眾多數學家們的關注。利用“割圓術”，我國古代著名數學家祖沖之得到了兩個圓周率的近似值，分別為約率22/7和密率335/113。其中密率335/113足足比歐洲早了1000年。然而，由于“割圓術”方法的局限性，改進已有結果的難度變得越來越大。在本文中，我們主要介紹在微積分中利用無窮級數計算圓周率π的一些公式。利用計算機編程，人們甚至可以將圓周率計算到小數點后10萬億位。

關鍵詞：圓周率;割圓術;微積分;無窮級數

中圖分類號：G642.4 ? ? 文獻標志碼：A ? ? 文章編號：1674-9324（2019）20-0211-02

一、簡介

在常見的一些圖形中，全部由直線構成的一些圖形（比如三角形、矩形、梯形、長方體等等）的長度、面積和體積都是比較容易計算的，直接就可以通過“切割”成一些規則圖形來計算。例如，一個長方形可以通過切割獲得兩個直角三角形從而有了直角三角形的面積公式，進一步一個三角形也可以被切割成兩個直角三角形，從而三角形的面積公式也很容易被得到。用類似的方法還可以獲得梯形和平行四邊形等圖形的面積公式。然而，一些由曲線圍成的圖形（比如圓形、扇形、橢圓、圓球、橢球等等）的長度、面積和體積都是無法通過傳統的“切割”方法來計算它們的精確值的。然而，一些數學家通過觀察發現，圓的周長和它的直徑的比值是固定的。因此，它們把這個數字稱為圓周率，通常記為π。雖然我們無法通過“切割”方法來計算π的精確值，然而卻可以通過這種方法獲得π的一些近似值。例如，我們南北朝時期的著名數學家祖沖之，就通過“割圓法”把圓切割成正多邊形，從而得出圓周率π介于3.1415926到3.1415927之間。除此之外，他還得到了兩個圓周率的近似值，分別為約率22/7和密率335/113。其中密率335/113足足比歐洲早了1000年。但是，由于“割圓法”的一些局限性，改進已有結果的難度變得越來越大。如何使用其他的方法來計算圓周率π在過去吸引了很多數學家們的關注。大量的方法和計算公式層出不窮。這也促進了“微積分”這門學科的發展。因此，在這篇論文中，我們主要介紹一下如何使用微積分中的知識來計算圓周率π。

二、利用瓦里斯公式計算圓周率π

四、總結

通過上述（*1）到（*5）中的每一個公式，然后再利用計算機編程，我們都可以計算出圓周率π的近似值。相比較而言，（*2），（*4）和（*5）是最方便記憶的，其中（*2）應該是最為好用的。目前，人們利用計算機編程，已經能計算到小數點后10萬億位。然而，實際中我們并不需要這么精確。不過，這也充分證明計算圓周率π已經吸引了眾多數學家們的關注。

參考文獻：

[1]官飛.圓周率的一個近似計算公式[J].高等數學研究，2012，15（3）.

[2]韓雪濤.古今中外計算圓周率π的方法[J].語數外學習：高中版上旬，2017，（03）.