無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上具有病毒變異的SIAS傳播模型

董晶，徐浩，劉文瑾，柳雄頂 (長(zhǎng)江大學(xué)電子信息學(xué)院，湖北 荊州 434023)

人類(lèi)面臨的各種疾病突發(fā)事件越來(lái)越頻繁，如禽流感病毒(H7N9)、乙肝、SARS等傳染病突發(fā)事件[1～6]。盡管人們采取治療藥物控制了疾病病毒的傳播[7～10]，但在傳播過(guò)程中病毒易發(fā)生變異，從而增加了病毒傳播的復(fù)雜性。當(dāng)病毒發(fā)生變異后，原有的抗病毒藥物可能失效，在新型抗病毒藥物產(chǎn)生之前，變異病毒會(huì)導(dǎo)致疾病爆發(fā)，而新抗病毒藥物產(chǎn)生之后，疾病的傳播會(huì)被抑制[11]。對(duì)上面2種傳播特性，建立適當(dāng)?shù)膫鞑ツＰ蛠?lái)研究疾病的傳播機(jī)制將有助于了解疾病的傳播動(dòng)力學(xué)行為，從而采取有效的措施來(lái)抑制疾病的蔓延[12～14]。文獻(xiàn)[15]提出了一類(lèi)SEIR傳染病模型，研究了在均質(zhì)網(wǎng)絡(luò)中病毒變異前恢復(fù)率對(duì)疾病傳播的影響。文獻(xiàn)[11]提出了一類(lèi)SIS傳染病模型，研究了在均質(zhì)網(wǎng)絡(luò)中的病毒變異后出現(xiàn)的一段真空期對(duì)疾病傳播的影響，研究結(jié)果表明真空期的出現(xiàn)能增加瞬間感染比例，而對(duì)穩(wěn)態(tài)感染比例沒(méi)有影響。但這些基于均質(zhì)網(wǎng)絡(luò)上的研究，未考慮疾病網(wǎng)絡(luò)的無(wú)標(biāo)度特點(diǎn)[16]?？紤]變異行為對(duì)疾病傳播的影響和網(wǎng)絡(luò)的無(wú)標(biāo)度特點(diǎn)，筆者提出了一類(lèi)無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上具有病毒變異的SIAS傳播模型。

1 模型建立

圖1 SIAS模型的流程圖

SIAS模型流程圖如圖1所示。假設(shè)系統(tǒng)由3類(lèi)節(jié)點(diǎn)組成，分別為易感染節(jié)點(diǎn)(S)、感染節(jié)點(diǎn)(I)和變異節(jié)點(diǎn)(A)。S類(lèi)節(jié)點(diǎn)與I類(lèi)節(jié)點(diǎn)接觸后以概率ρ1轉(zhuǎn)變?yōu)镮類(lèi)節(jié)點(diǎn)，S類(lèi)節(jié)點(diǎn)與A類(lèi)節(jié)點(diǎn)接觸后以概率ρ2轉(zhuǎn)變?yōu)锳類(lèi)節(jié)點(diǎn)；r表示變異率，即I類(lèi)節(jié)點(diǎn)發(fā)生變異轉(zhuǎn)變?yōu)锳類(lèi)節(jié)點(diǎn)的概率；α、β分別表示I類(lèi)節(jié)點(diǎn)和A類(lèi)節(jié)點(diǎn)的治愈率，即轉(zhuǎn)變?yōu)镾類(lèi)節(jié)點(diǎn)的概率;θ1、θ2分別表示S類(lèi)節(jié)點(diǎn)與I類(lèi)節(jié)點(diǎn)和A類(lèi)節(jié)點(diǎn)的接觸概率。

令Sk(t)、Ik(t)、Ak(t)分別表示t時(shí)刻在度值為k(k=1,2,3,…,n)的節(jié)點(diǎn)中易感染、感染、變異節(jié)點(diǎn)所占的比例，根據(jù)平均場(chǎng)理論，建立如下傳播動(dòng)力學(xué)方程：

(1)

式中：Θ1(t)、Θ2(t)分別表示t時(shí)刻隨機(jī)取一條邊與感染節(jié)點(diǎn)或變異節(jié)點(diǎn)相連的概率：

(2)

2 模型分析

基本再生數(shù)表示一個(gè)患病者在平均患病期內(nèi)所傳染的人數(shù)[17]。

定理1令基本再生數(shù)：

當(dāng)R0<1時(shí)，系統(tǒng)(1)存在無(wú)病平衡點(diǎn)E0(1,0,0)；

(3)

由方程(3)可以解得：

(4)

由方程(4)可得：

(5)

(6)

將方程(6)代入方程(2)得到：

(7)

可得：

即基本再生數(shù)滿足：

3 數(shù)值仿真

假設(shè)網(wǎng)絡(luò)規(guī)模N≈1000，平均度值k≈6，各類(lèi)節(jié)點(diǎn)的初始值為Sk(0)=0.9,Ik(0)=0.1,Ak(0)=0。

選取參數(shù)ρ1=0.25,ρ2=0.2,r=0.2,α=0.75,β=0.8時(shí)，R0=0.7554<1，系統(tǒng)(1)中S100,I100,A100隨時(shí)間t的變化趨勢(shì)如圖2(a)所示。從圖2(a)可以看出，R0<1時(shí)，穩(wěn)態(tài)I100、A100均趨于零。表明病毒在網(wǎng)絡(luò)中將會(huì)逐漸消失，系統(tǒng)穩(wěn)定于無(wú)病平衡點(diǎn)。

選取參數(shù)ρ1=0.5,ρ2=0.2,r=0.2,α=0.6,β=0.5時(shí)，R0=1.9829>1，系統(tǒng)(1)中S100,I100,A100隨時(shí)間t的變化趨勢(shì)如圖2(b)所示。從圖2(b)可以看出，R0>1時(shí)，穩(wěn)態(tài)I100、A100分別趨于正的穩(wěn)定值，表明病毒在網(wǎng)絡(luò)中將會(huì)持續(xù)存在，系統(tǒng)穩(wěn)定于地方病平衡點(diǎn)。

選取參數(shù)ρ1=0.5,r=0.2,α=0.6,β=0.5，ρ2依次取0.3、0.2、0.001，穩(wěn)態(tài)(I100+A100)隨時(shí)間t的變化趨勢(shì)如圖3所示。從圖3可以看出，減小ρ2值，穩(wěn)態(tài)(I100+A100)會(huì)降低,表明減小變異病毒的感染率ρ2可以降低疾病的穩(wěn)定值大小。

選取參數(shù)ρ1=0.5,ρ2=0.2,α=0.6,β=0.5，r依次取0.15、0.2、0.4，穩(wěn)態(tài)(I100+A100)隨時(shí)間t的變化趨勢(shì)如圖4所示。從圖4可以看出，增大r值，穩(wěn)態(tài)(I100+A100)會(huì)降低。表明在病毒變異后能及時(shí)開(kāi)發(fā)出新型抗病毒藥物的情況下，即β>0，增大病毒變異率r有助于控制疾病的傳播。

選取參數(shù)ρ1=0.5,ρ2=0.2,α=0.6,β=0，r依次取0.15、0.2、0.4，穩(wěn)態(tài)(I100+A100)隨時(shí)間t的變化趨勢(shì)如圖5所示。

從圖5可以看出,穩(wěn)態(tài)(I100+A100)會(huì)趨于1，且r值越大，趨于穩(wěn)定的時(shí)間越短。在病毒變異后未能及時(shí)開(kāi)發(fā)出新型抗病毒藥物的情況下，即β=0，r增大，即使不會(huì)改變最終患者及變異人數(shù)，但在短期內(nèi)會(huì)稍微增大患病規(guī)模。

圖2 系統(tǒng)(1)中S100,I100,A100隨時(shí)間t的變化趨勢(shì)

圖3 不同ρ2時(shí)穩(wěn)態(tài)(I100+A100)隨時(shí)間t的變化趨勢(shì) 圖4 β=0.5，不同r時(shí)穩(wěn)態(tài)(I100+A100) 隨時(shí)間t的變化趨勢(shì)

4 結(jié)論

1)基于無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)提出了一類(lèi)具有病毒變異的SIAS疾病傳播模型，通過(guò)平均場(chǎng)理論對(duì)疾病的傳播動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了分析，得到了基本再生數(shù)R0、無(wú)病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)。當(dāng)R0<1時(shí)，病毒在網(wǎng)絡(luò)中將會(huì)逐漸消失，系統(tǒng)穩(wěn)定于無(wú)病平衡點(diǎn)；當(dāng)R0>1時(shí)，病毒在網(wǎng)絡(luò)中持續(xù)存在，系統(tǒng)穩(wěn)定于地方病平衡點(diǎn)。

圖5 β=0，不同r時(shí)穩(wěn)態(tài)(I100+A100)隨時(shí)間t的變化趨勢(shì)

2)減小變異病毒的感染率ρ2不會(huì)改變基本再生數(shù)，但可以降低疾病的穩(wěn)定值大??；在病毒變異后能及時(shí)開(kāi)發(fā)出新型抗病毒藥物的情況下，即β>0，增大病毒變異率r有利于抑制疾病的傳播；在病毒變異后未能及時(shí)開(kāi)發(fā)出新型抗病毒藥物的情況下，即β=0，增大病毒變異率r有利于疾病的傳播。