基于貝葉斯傅里葉動態模型的橋梁極值應力預測

樊學平 屈廣 劉月飛

摘? ?要：研究了基于健康監測應力數據的橋梁極值應力動態預測.考慮到監測應力的周期性、隨機性和動態性等特點，首先初次建立了橋梁監測極值應力的傅里葉動態非線性模型（Fourier Dynamic Nonlinear Model，FDNM），結合Taylor級數展開技術，將FDNM近似轉化為傅里葉動態線性模型（Fourier Dynamic Linear Model，FDLM）;然后采用貝葉斯方法，基于動態監測極值應力數據，建立了無先驗信息的貝葉斯傅里葉動態線性模型（Bayesian Fourier Dynamic Linear Model： BFDLM），進而對監測極值應力的一步向前預測分布參數和后驗應力狀態分布參數進行了預測分析;最后通過實際橋梁監測極值應力數據對本文所建模型和方法的合理性及適用性進行了驗證分析，結果表明本文所建BFDLM能夠反映橋梁極值應力的周期性、隨機性以及動態性等特點.研究成果將為橋梁監測極值應力預測提供理論基礎和應用方法.

關鍵詞：橋梁;傅里葉動態非線性模型;Taylor級數展開技術;貝葉斯方法;橋梁極值應力預測

中圖分類號：TU391; TU392.5? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標志碼：A

Abstract： The dynamic prediction of bridge extreme stress based on health monitoring stress data was studied. Considering the monitored stresses periodicity， randomness， dynamic characteristics and so forth，firstly，the Fourier Dynamic Nonlinear Model（FDNM） of bridge monitored extreme stress was built，and， with Taylor series expansion technology， FDNM was approximately transferred into the Fourier Dynamic Linear Model（FDLM）;secondly， with Bayes method， the Bayesian FDLM（BFDLM） was built based on the monitored extreme stress data，and the one-step forward prediction distribution parameters of monitored extreme stress and distribution parameters of posterior stress state were dynamically predicted; finally， the monitored extreme stress data of an actual bridge was provided to illustrate the application and feasibility of the proposed models and methods. The results show that the proposed BFDLM can reflect bridge extreme stresses' periodicity， randomness， dynamics and so forth，which can provide the theoretical foundation and application approach for bridge monitoring extreme stress prediction.

Key words： bridge;Fourier dynamic nonlinear model;Taylor series expansion technology;Bayesian approach; bridge extreme stress prediction

橋梁健康監測系統在長期運營中積累了大量監測數據，如應力、應變、撓度、加速度等.發展至今，監測數據合理應用的研究主要集中在模態分析[1]、損傷識別與評估[1-2]、模型修正[3]以及可靠性評估[4-5]等領域，仍難以有效預測結構的動態可靠性，因此如何有效利用監測信息預測結構可靠性仍是橋梁健康監測領域備受關注的研究難點.而結構可靠性主要跟抗力與荷載效應相關，因而合理動態預測荷載效應就成為結構可靠性預測的關鍵問題.

考慮到橋梁有限元建模和模型更新的復雜性和困難性，采用無需模型的分析方法逐漸成為橋梁健康監測領域的研究趨勢.基于實際監測數據，采用無需模型的分析方法預測橋梁的荷載效應已取得一些研究成果，但多為基于離線監測信息的預測研究[5-7]，而基于實時監測信息的動態預測研究相對較少，且研究成果存在一定的局限性，如：Frangopol等[8-9]提出了基于監測極值一次回歸函數的橋梁性能的可靠性預測方法，并于同年提出了基于貝葉斯更新的橋梁可靠性預測方法，兩種方法分析過程中分別采用一次回歸函數和常值函數進行荷載效應動態預測，均未考慮監測變量的動態隨機性和周期性;趙卓[10]采用ARMA模型動態預測了長春伊通河橋構件的荷載效應（撓度、加速度以及索力等），分析過程中亦未考慮監測變量的動態隨機性和周期性，且存在模型長期預測精度不高的問題;樊學平等[11-13]利用監測數據，研究了基于貝葉斯動態線性模型和貝葉斯動態非線性模型的橋梁構件可靠性動態預測方法，分析過程中存在以下兩個問題：a）荷載效應的動態預測均未考慮監測變量數據周期性的特點，即貝葉斯動態模型的狀態方程均未考慮監測變量狀態的周期性;b）動態模型中監測誤差的方差均為已知.綜上所述，本文作者經過研究發現，存在以下問題需要解決：1）如何建立考慮監測數據動態性、隨機性以及周期性等特點的動態模型;2）在監測誤差未知的情況下，如何采用貝葉斯方法對動態模型進行概率遞推.

鑒于上述問題，本文通過傅里葉函數來建立先驗信息未知的橋梁監測極值應力動態模型，采用貝葉斯方法對其進行概率遞推，實現橋梁極值應力的動態預測.

1? ?研究流程及步驟考慮到監測數據的動態性、隨機性以及周期性，本文所提的橋梁極值應力動態預測的詳細流程圖如圖1所示.

結合圖1可得具體研究步驟為：1）利用橋梁系統歷史監測極值應力數據，本文認為其為一個時間序列，對其進行五點三次平滑處理，近似得到極值應力狀態數據，采用傅里葉函數和Taylor級數展開技術，近似得到極值應力的線性狀態方程，并將狀態方程與歷史監測極值應力數據相結合得到線性監測方程，進而可得橋梁極值應力無先驗信息的傅里葉動態線性模型（FDLM）;2）基于建立的無先驗信息FDLM和動態監測極值應力數據，采用貝葉斯方法，實現橋梁極值應力的動態概率預測，并通過實際橋梁的監測極值應力數據驗證所提方法的合理性和適用性.

2? ?橋梁監測極值應力無先驗信息的FDLM傅里葉動態線性模型（FDLM）由線性監測方程、基于傅里葉函數和Taylor級數展開技術的線性狀態方程以及初始狀態信息三部分組成.狀態方程反映了監測變量和系統隨時間變化的水平，監測方程反映了監測變量和狀態變量之間的關系.本文所建立的FDLM基于兩點假設[14-15]：

1）狀態變量{θt}的變化是一個馬爾科夫過程;

2）監測變量{yt}相互獨立，且只與狀態變量相關.

2.1? ?狀態方程的建立本文主要通過橋梁歷史監測極值應力數據建立動態線性模型，其中狀態方程的詳細建立步驟

如下：

1）利用五點三次平滑處理方法[10]，對橋梁歷史監測極值應力數據進行重采樣，近似得到初始極值應力狀態數據;

2）采用傅里葉函數（反映數據的周期性）對初始應力狀態數據進行回歸分析，得到極值應力狀態的回歸函數;

3）利用回歸函數，結合Taylor級數展開技術，建立傅里葉線性狀態方程.初始極值應力狀態的回歸函數為

4? ?實橋應力預測分析（天津富民橋）

本文選取了天津富民橋作為工程實例，詳見文獻[13].富民橋總長340.3 m，寬40 m，主跨157 m，為單塔空間索面自錨式懸索橋.其主跨主纜錨于主梁兩側，邊跨主纜錨于重力式錨碇，形成了一個獨特而又穩定的結構體系.該結構體系動力響應較為復雜，同時結構受溫度影響較大，故監測應力信息通常呈周期性.由文獻[13]可知：D斷面橫梁截面安裝了3個傳感器（如圖2所示），分別為FBG01012、FBG01015和FBG01005.

本文定義每一分鐘的監測應力極大值為監測極值應力，在2009年8月24日和25日對D斷面進行動態監測，經過數據分析比較可得，期間傳感器FBG01012采集到的監測應力值最大，所采集的每一分鐘的監測極值應力如圖3所示.因而本文結合D斷面傳感器FBG01012的歷史動態監測極值應力數據（1 ～287 min的每分鐘的周期性極值應力數據如圖3所示）建立FDNM，并對其進行線性化，轉化為FDLM，再利用貝葉斯方法，基于287 ～1 149 min的監測極值應力數據，對第288 ～1 150 min的極值應力進行動態預測.

式中：yt為t時刻的監測應力值;vt為監測誤差;V為常值未知方差，可以通過St-1 = dt-1 /nt-1近似估計.mt-1 和Ct-1可以通過前287 min應力數據經過五點三次平滑處理的數據（平滑處理后的初始信息見圖4）近似估計得到.

采用式（8）～式（20）和式（22）～式（25），利用1～287 min的監測應力數據建立的FDLM，對第288～574 min（后287 min）的應力進行動態預測，結果如圖5～圖7所示.

由圖5與圖6可知，預測應力與監測應力的大小近似相等，且預測應力區間均包含了監測應力和預測應力的所有數據，證明了本文所建模型是合理的.

由圖7可知，由式（17）計算得到的FDLM的預測精度隨著監測應力的不斷修正越來越好，進一步驗證了本文所建模型的合理性.

5? ?結? ?論

本文考慮到橋梁監測信號的隨機性、動態性以及周期性等特點，首次建立了傅里葉動態線性模型，采用貝葉斯方法對其進行了動態概率遞推，并利用實際橋梁監測數據對其進行了驗證分析，結論如下：

1）無先驗信息FDLM能夠對橋梁極值應力進行合理的預測，預測值和監測值的變化趨勢一致，大小近似相等，而且能夠有效反映實時監測數據的變化范圍和趨勢，并且由于模型方差未知，更為符合工程實際.

2）無先驗信息FDLM隨著實時監測數據的不斷修正，預測精度越來越高.說明預測的客觀性越來越好.這些成果將為橋梁健康監測提供一定的理論基礎.

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收稿日期：2018-05-16

基金項目：國家自然科學基金資助項目（51608243），National Natural Science Foundation of China（51608243）;甘肅省自然科學基金資助項目（1606RJYA246），Natural Science Foundation of Gansu Province（1606RJYA246）

作者簡介：樊學平（1983—），男，山西運城人，蘭州大學副教授，博士

通訊聯系人，E-mail：fxp_2004@163.com