楔形樁的動力響應與試驗研究

王奎華 童魏烽 肖偲 吳斌杰

摘? ?要：假設樁體為彈性，樁周土體通過平面應變模型描述，利用Laplace變換和阻抗傳遞法求得樁頂動力響應. 對數值結果進行參數分析，討論了樁土特性對楔形樁動力響應的影響，并且通過模型試驗驗證了理論的正確性. 結果表明：1）存在臨界樁徑比，使得楔形樁的樁底反射信號難以判讀，臨界樁徑比隨樁長增大而增大;2）楔角和樁長對楔形樁的動力響應有較大的影響，對于樁尖直徑為0的小直徑楔形樁，樁長對其動力響應影響不大;3）土體的剪切波速和縱向分層性對楔形樁的動力響應會產生較大影響;4）模型試驗結果與理論解符合，反映規律一致.

關鍵字：平面應變模型;楔形樁;樁徑比;時域分析;頻域分析;模型試驗

中圖分類號：TU473.1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標志碼：A

Abstract： The pile was supposed to be elastic and the plane-strain model was adopted to simulate the surrounding soil. By the means of Laplace transform and impedance function transfer method， the dynamic response of tapered pile was obtained. Then， by parametric method， the influence of pile and soil characteristics on the dynamic response of tapered pile was discussed. Meanwhile， the correctness of the theory was verified by model test. The results show that： 1）There is a critical pile diameter ratio at which the reflected signal from pile bottom is difficult to find， and the ratio increases as the pile grows; 2） Cone angle and pile length have a great influence on the dynamic response of tapered pile. However， in the case of small-diameter pile with a zero-diameter end， pile length doesn't have an obvious influence;3） Shear wave velocity of soil and vertical distribution of soil have a great influence on the dynamic response of tapered pile; 4） Good agreement is shown between experimental and theoretical results.

Key words： plane-strain model;tapered pile;pile diameter ratio;time domain analysis;frequency domain analysis;model tests

楔形樁是20世紀末起源于前蘇聯的一種樁型，上大下小的特殊幾何特性能使樁土作用發揮得更為充分. 特殊地，當樁底面積趨向于0時樁身呈錐形，此類樁型能較大地加快施工速度[1]. 近年來，國內外學者通過現場試驗、理論分析、有限元分析等手段，對楔形樁的承載特性做了大量研究. Kodikara等[2]通過理論分析得出了打入式楔形樁的承載性能更佳的結論. 劉杰等[3]通過模型試驗研究驗證了楔形樁的承載優越性. 另一方面，楔形樁的動力性質研究沒有足夠深入.

傳統管樁的動力響應方面，Novak等[4]導出了多層土體中樁基的波阻抗函數傳遞規律. Gough等[5]推導出了只考慮樁端土作用時基樁的自由振動特性. Koten等[6]求得了無限長樁在錘擊條件下，考慮樁側土作用時的縱向振動問題解. 以上研究都做了較大程度的簡化，無法體現工程特性，近來出現了更多的求解方法和解釋理論. 郭平[7]首先對低應變檢測的波動原理進行了闡述，王奎華等[8-10]采用阻抗傳遞法研究了單樁在不同工況下的振動響應，并在楔形樁的動力問題上提出了改進的樁土作用模型. 陳安國等[11]利用差分法解得基樁在考慮樁土相互作用時的縱向振動響應解. 吳文兵等[12-14]對常見完整楔形樁的動力特性進行了初步理論分析，并考慮了擠土效應的影響. 張獻民等[15]研究了樁基缺陷與傳遞波能量之間的關系.

在此背景下，考慮到前人[10，12-14]的理論基礎已被證明正確，本文將采用積分變換法及阻抗函數傳遞方法，求得楔形樁在平面應變土體模型中的縱向振動響應，并輔以模型試驗，對楔形樁的動力特性做進一步相關分析.

1? ?理論模型

1.1? ?模型建立與假設

根據郭平[7]、王奎華等[8-10]和吳文兵等[12-14]的相關研究，可做以下合理假設：1）樁體為一維彈性桿件，外部激勵下，產生的變形為小變形，忽略樁體的徑向變形;2）為實現樁徑漸變，將樁身劃分成足夠多的樁段;3）當楔形樁取極限形態時，取底部面積為小量（如0.001 m2）;4）單層土體為各向同性的黏彈性體，樁周土體為平面應變模型;5）假設任意土層在無窮遠處不受激勵影響，自由表面處土體的應變為0;6）樁土完全接觸，接觸面上應力連續.樁土系統如圖1所示. 圖中，將樁體分為m段，最底部的樁段標號為1，順序往上. 為方便后續對土層性質的研究，同時將土體相應劃分為同樣厚度的土層.假設總樁長為L，第i段樁的樁徑為r0i，高度為 Hi，且樁段頂部距離為hi. EP、ρP、AP分別表示樁體的彈性模量、密度、橫截面積. 對于土體，采用平面應變模型計算樁土接觸面的作用，Gs、ρs分別表示土體的剪切模量和密度.ui（r，t）表示第i層土的豎向位移函數，wi（z，t）表示第i段樁的豎向位移函數.Kb、Cb表示彈性和阻尼系數，根據Lysmer等的模擬公式：

1.3? ?方程求解

2.2? ?楔角對完整楔形樁動力響應的影響

當樁底反射信號不可見時，樁體的工作特性難以把握，需要進一步探討. 為了對比，以下討論中，分別對樁尖直徑不為0的楔形樁（下標記為1）和樁尖直徑為0的楔形樁（下標記為2）進行分析.

對于樁尖直徑為0的楔形樁，控制縱向長度L = 10 m，楔角α = 1.5°、2.0°、2.5°、3.0°. 對于樁尖直徑不為0的楔形樁，考慮到樁徑會影響樁土作用，再固定樁身1/2高度處的樁徑rm = 0.3 m. 圖5顯示，無論楔形樁的楔角取值如何，樁底樁徑為0時均無樁底反射信號存在，而當樁底樁徑不為0時，樁底反射信號峰隨楔角的增大而漸弱，另外在初始激振信號之后的曲線段中，反射信號隨楔角增大而逐漸抬升. 這是由于楔形樁樁身漸變，截面間不存在突變波阻抗，且當樁底樁徑為0時，樁端與土作用弱，導致不存在樁底反射. 本文計算模型考慮了樁土之間的相互作用，在曲線上反映為產生與激振方向相反的下沉量. 而隨著楔角的增大，截面之間存在更大的波阻抗差，相對而言有更明顯的縮徑表現，即產生與初始激振同向的變化趨勢. 因此反射信號曲線隨楔角增大而抬升.

圖6顯示，樁底樁徑為0時，隨著楔角增大，曲線震蕩幅值提高，并快速衰減為一條水平直線. 樁底樁徑不為0的情況下，當楔角增大時，低頻區的曲線幅值升高，高頻區的幅值減小. 這是因為當楔形樁樁尖直徑為0時，楔角增大會引起樁身平均樁徑增大，導致樁土相互作用漸弱，加劇樁身振動，在圖中即表現為曲線震蕩幅值隨楔角增大而增大. 另外，楔角的變化會不同程度地影響同階共振頻率的移動.

2.3? ?縱向樁長對完整楔形樁動力響應的影響

此節，固定楔角為α = 2°，縱向長度L = 8 m、10 m、12 m、15 m，對樁尖直徑不為0的楔形樁，固定樁身1/2高度處的樁徑rm = 0.3 m. 圖7表明樁底樁徑為0時，始終無法觀察到樁底反射. 樁底樁徑不為0時，隨樁長增加，樁底反射信號峰漸弱，當樁長L = 15 m時，幾乎無法判讀. 這是由于樁長的增加使得激振波能量在傳遞過程中受到更多樁側土阻力的影響，損耗增加，導致信號峰降低.

圖8中，樁底樁徑為0時，各樁長的楔形樁表現一致，在低頻區有明顯的共振現象，高頻區快速趨向穩定. 這是因為歸一化處理后屏蔽了部分幾何信息，對于大直徑楔形樁，應考慮三維效應修改模型. 當樁底樁徑不為0時，隨著樁身長度的增加，頻域響應曲線的震蕩幅度減小. 這是由于在相同的激振方式下，樁土作用增強抑制了樁身振動. 同時，當樁長增加時，在低頻區，同階共振頻率會發生明顯的右移，在高頻區，同階共振頻率逐漸恢復同步.

2.4? ?均質土體剪切波速對完整楔形樁動力響應的影響基樁嵌入地基土中工作，土體性質將會影響樁身的動力響應. 在本節中，通過改變土體的剪切波速來分析其對樁頂動力響應的影響. 基樁尺寸設置為樁長L = 10 m，楔角α = 2°.首先考慮為均質土，根據常見土質的剪切波速，設置剪切波速Vs = 100 m/s、150 m/s、200 m/s、250 m/s、300 m/s. 由圖9可知，當樁底樁徑為0時，沒有出現樁底反射信號，對于初始激振信號之后的曲線段，土體剪切波速越大，曲線下沉越多，最終趨向一致. 在樁底樁徑不為0的情況下，土體剪切波速越大，樁底反射信號峰越低，當剪切波速達到300 m/s時，樁底反射已極其微弱. 這是因為，樁土相互作用會引起與初始激振波反向的信號，在相同的楔形樁條件下，剪切波速越大，樁土相互作用越強，造成曲線下沉越多，另一方面，樁土相互作用的增大使得激振波能量損耗增加，反映在時域響應曲線上即為樁底反射峰的下降. 在圖10頻域響應曲線中反映出，土體的剪切波速越大，頻域響應曲線的震蕩幅度越小，而且在低頻區域同階共振峰的共振頻率越大.當樁底樁徑為0時，頻域響應曲線更快地趨向穩定. 這是由于更大的樁土作用抑制了樁的縱向振動.

2.5? ?非均質土體剪切波速對完整楔形樁動力響應的影響

實際樁土系統中，土體的剪切波速并非均質. 因此，本節進一步考慮土體剪切波速縱向線性漸變情況下的樁體縱向振動響應. 為實現土體性質的線性漸變，將土體劃分為100層，與樁體分層數一致. 控制土體剪切波速的算術平均值為150 m/s，根據樁頂土層剪切波速Vu和樁底土層剪切波速Vd的不同，分為4種變化程度考慮：①Vu = 0 m/s，Vd = 300 m/s;② Vu = 50 m/s，Vd = 250 m/s;③Vu = 100 m/s，Vd = 200 m/s;④Vu = 150 m/s，Vd = 150 m/s. 其中Case4即為均質土的情況.

由圖11時域響應曲線可知，對樁底樁徑為0的楔形樁，隨著土層剪切波速的差別變大，時域響應曲線的浮動也越大，但無論何種土體條件下，樁底反射信號均不可見. 樁底樁徑不為0的情況下，在曲線浮動的基礎上，樁底反射信號都較為明顯，但會隨著曲線發生豎向的平移，土層剪切波速的差別越大，下沉越多. 這是因為，上部土體剪切波速越小，樁土作用越小，曲線上抬越多，相應地，下部土體的剪切波速越大，曲線下沉越多. 另一方面，由于計算中取土體剪切波速的算術平均值相同，因此激振在傳遞過程中的能量損耗相差無幾，所以樁底反射峰都較為明顯. 圖12顯示，隨著土層剪切波速差別增大，低頻區曲線震蕩幅值增大，對樁底樁徑為0的楔形樁，在短暫的波動后快速趨向穩定，對樁底樁徑不為0的楔形樁，同階共振頻率會右移，且高頻區震蕩幅度減小，同階共振頻率基本一致.

2.6? ?樁身縱波速對完整楔形樁動力響應的影響

事實上，樁身材料對樁頂縱向振動響應也有較大的影響. 實際工程中，由于采用不同標號的混凝土等材料，樁身彈性模量和縱波速會發生一定的變化. 考慮到常見混凝土彈性模量在30～40 GPa，縱波速控制在3 000～ 4 000 m/s的范圍內進行討論.

計算結果如圖13～圖14所示. 分析可知，縱波速越大，時域響應曲線上的波峰越高，對頻域響應而言，曲線的震蕩幅度會隨之變大，共振頻率幾乎不發生變化. 這是由于，當樁身模量（縱波速）提高時，相同的外力作用下發生的變形會更小，相應地，樁土作用力弱化，激振波在傳遞過程中的損耗也更少. 在時域響應曲線上表現為波峰的增大，在頻域響應曲線上表現為震蕩幅度變大.

3? ?模型試驗

為更好地驗證上述楔形樁的動力響應規律，利用尼龍棒進行模型試驗，如圖15所示. 尼龍棒的彈性模量為4 000 MPa，密度為1 200 kg/m3，縱波傳播波速約為1 800 m/s. 在模型設計中，制作樁頂直徑分別為8 cm、10 cm、12 cm的模型樁，其長度均為100 cm，底部半徑均為2 cm. 同時，每根模型樁都由多個樁段拼接，從而實現多種楔角多種長度的樁型模擬，具體試驗參數見表2. 試驗采用福建標準砂模擬樁周土，干重度14.6 kN/m3，相對密實度41%，土粒比重2.63，泊松比取0.35，剪切模量取38 MPa.

如圖16、圖17所示，實測曲線與理論解符合良好，且反映出相同的規律. 當樁長相同時，楔角越大，樁底反射信號越弱. 且當楔角α=2.86°時，P1-3的樁底反射信號已十分微弱，而P2-3的樁底反射仍然顯著，驗證了樁身越長，臨界楔角越小，臨界樁徑比越大. 因此上述原理和方法能較好地預測楔形樁的動力響應規律，在工程實踐中具有指導意義.

4? ?結? ?論

通過以上理論計算、模型試驗可以得出：

1）對楔形樁引入樁徑比η的概念，表示樁底部樁徑d與頂部樁徑D的比值，即η = d/D. 隨著楔形樁的楔角增大，存在一個臨界樁徑比η0，使得楔形樁時域響應曲線中樁底反射信號無法顯著地顯示，導致對樁長、樁身完整性等信息判斷不準確. 且本文研究表明，樁長越長，臨界樁徑比越大.

2）楔角對楔形樁的縱向振動響應有較大影響.楔角越大，時域響應曲線的上抬量越大，樁底反射信號越弱，頻域響應曲線震蕩幅值越小，同階共振頻率會發生不同程度的偏移，且對于樁尖直徑為0的楔形樁，頻域響應曲線會在短暫震蕩后快速衰減為水平直線. 另一方面，樁長的增加使楔形樁的樁底反射信號漸弱，且會造成頻域響應曲線的震蕩幅值減小，特殊地，對樁尖直徑為0的小直徑楔形樁，樁長變化對縱向振動響應幾乎不產生影響. 大直徑楔形樁需考慮三維效應重新建模.

3）土體條件會對基樁的縱向振動響應產生較大的影響. 均質土下，土體剪切波速越大，時域響應曲線下沉越多，樁底反射信號越弱，頻域響應曲線的震蕩幅度越小，且在低頻區同階共振頻率越大，對于樁尖直徑為0的楔形樁，頻域響應曲線會更快地趨向穩定. 非均質土條件下，土層剪切波速的差別越大，時域響應曲線的浮動也越大，樁底發射信號會發生縱向的平移，而其信號峰幾乎不受影響. 另一方面，隨著土層剪切波速的差異增大，低頻區頻域響應曲線的震蕩幅值會變大，高頻區幅值減小. 4）通過模型試驗發現理論解和實測結果表現一致，驗證了上述理論和方法的正確性.

參考文獻

[1]? ? 徐祖元. 錐形樁的使用經驗[J]. 建筑技術，1980（2）：53—55.

XU Z Y. Usage experience of taper pile [J]. Architecture Technology，1980（2）：53—55. （In Chinese）

[2]? ? KODIKARA J K，MOORE I D. Axial response of tapered piles in cohesive frictional ground [J]. Journal of Geotechnical Engineering，1993，119（4）：675—693.

[3]? ? 劉杰，何杰，閔長青. 楔形剛性樁與樁周土的非線性相互作用[J]. 鐵道學報，2010，32（2）：137—140.

LIU J，HE J，MIN C Q. Nonlinear interaction between the rigid taper pile and pile-surrounding soil [J]. Journal of the China Railway Society，2010，32（2）：137—140. （In Chinese）

[4]? ? NOVAK M，ABOUL-ELLA F. Impedance functions of piles in layered media [J]. Journal of the Engineering Mechanics Division，1978，104（3）：643—661.

[5]? ? GOUGH W，RICHARDS J P G，WILLIAMS R P，et al. Vibrations and waves [J]. Physics Today，1996，49（12）：53—54.

[6]? ? KOTEN H V，MIDDENDORP P，BREDERODE P V. An analysis of dissipative wave propagation in a pile [C]//Proceedings of International Seminar on the Application of Stress Wave Theory on Piles. Stockholm，1980：22—40.

[7]? ? 郭平. 敲擊法測樁的波動原理[J]. 湖南大學學報（自然科學版），1992，19（4）：82—88.

GUO P. The wave-theoretical principle of the impact method of testing piles [J]. Journal of Hunan University （Natural Sciences），1992，19（4）：82—88. （In Chinese）

[8]? ? 王奎華，謝康和，曾國熙. 變截面阻抗樁受迫振動問題解析解及應用[J]. 土木工程學報，1998，31（6）：56—67.

WANG K H，XIE K H，ZENG G X. An analytical solution to forced vibration of foundation pile with variable section impedance and its application [J]. China Civil Engineering Journal，1998，31（6）：56—67. （In Chinese）

[9]? ? 王奎華，張宏志，李振亞，等. 樁底土對既有承臺單樁縱向振動特性的影響研究[J]. 湖南大學學報（自然科學版），2017，44（11）：170—176.

WANG K H，ZHANG H Z，LI Z Y，et al. Study on influence of pile subsoil on vertical vibration characteristic of single pile with cushion cap [J]. Journal of Hunan University （Natural Sciences），2017，44（11）：170—176. （In Chinese）

[10]? 王奎華，高柳，肖 ，等. 考慮樁周土豎向作用大直徑楔形樁縱向振動特性[J]. 巖土力學，2016，37（S2）：223—231.

WANG K H，GAO L，XIAO S，et al. Dynamic characteristic of large diameter tapered pile considering vertical reaction of pile surrounding soil [J]. Rock and Soil Mechanics，2016，37（S2）：223—231. （In Chinese）

[11]? 陳安國，劉東甲. 基樁低應變檢測的波動方程法數值計算[J]. 合肥工業大學學報（自然科學版），2007，30（10）：1336—1340.

CHEN A G，LIU D J. Numerical computation of the wave equation for low strain test piles [J]. Journal of Hefei University of Technology（Natural Science），2007，30（10）：1336—1340. （In Chinese）

[12]? 吳文兵，王奎華，武登輝，等. 考慮橫向慣性效應時楔形樁縱向振動阻抗研究[J]. 巖石力學與工程學報，2011，30（S2）：3618—3625.

WU W B，WANG K H，WU D H，et al. Study of dynamic longitudinal impedance of tapered pile considering lateral inertial effect [J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering，2011，30（S2）：3618—3625. （In Chinese）

[13]? 吳文兵，王奎華，竇斌. 任意層地基中粘彈性楔形樁縱向振動響應研究[J]. 振動與沖擊，2013，32（8）：120—127.

WU W B，WANG K H，DOU B. Vertical dynamic response of a viscoelastic tapered pile embedded in layered foundation [J]. Journal of Vibration and Shock，2013，32（8）：120—127. （In Chinese）

[14]? 吳文兵，謝幫華，黃生根，等. 考慮擠土效應時楔形樁縱向振動阻抗研究[J]. 地震工程學報，2015，37（4）：1042—1048.

WU W B，XIE B H，HUANG S G，et al. Vertical dynamic impedance of tapered piles considering compacting effects [J]. China Earthquake Engineering Journal，2015，37（4）：1042—1048. （In Chinese）

[15]? 張獻民，蔡靖，王建華. 基樁缺陷逐步能量恢復遞推定量分析

[J]. 巖土力學，2003，24（S2）：481—484.

ZHANG X M，CAI J，WANG J H. Quantitative recurrence analysis to determine defects of piles by energy recovery method [J]. Rock and Soil Mechanics，2003，24（S2）：481—484. （In Chinese）

收稿日期：2018-05-05

基金項目：國家自然科學基金資助項目（51779217），National Natural Science Foundation of China（51779217）

作者簡介：王奎華（1982—），男，江蘇濱海人，浙江大學教授，博士生導師

通訊聯系人，E-mail：zdwkh0618@zju.edu.cn