一種基于泰勒級(jí)數(shù)展開的衛(wèi)星FDOA地面干擾源定位算法

張 威，馬 宏，吳 濤，李貴新

(航天工程大學(xué) 電子與光學(xué)工程系,北京 101416)

0 引言

隨著空間應(yīng)用研究的不斷拓展，空間系統(tǒng)正朝著空間組網(wǎng)的方向迅速發(fā)展，呈現(xiàn)出海量空間布點(diǎn)、分布式星群組網(wǎng)和立體多層分布的新發(fā)展趨勢(shì)[1-2]，對(duì)衛(wèi)星的管理控制帶來(lái)了巨大的挑戰(zhàn)。由于衛(wèi)星數(shù)量的急劇增長(zhǎng)、地面無(wú)線設(shè)施的普遍使用，衛(wèi)星在軌運(yùn)行所面臨的電磁環(huán)境日益惡化，很容易受到各種輻射源有意或無(wú)意的干擾。那么，如何利用干擾信號(hào)的特點(diǎn)，對(duì)衛(wèi)星干擾源進(jìn)行準(zhǔn)確、快速的定位，是衛(wèi)星管理控制中需要解決的關(guān)鍵問(wèn)題之一。

由于衛(wèi)星干擾源是非合作對(duì)象，所以對(duì)其定位是被動(dòng)定位[3-4]。目前對(duì)衛(wèi)星干擾源進(jìn)行定位主要是利用干擾信號(hào)到達(dá)受擾衛(wèi)星及其鄰星的信號(hào)參數(shù)，主要包括干擾信號(hào)的到達(dá)時(shí)差(Time Difference of Arrival，TDOA)和干擾信號(hào)的到達(dá)頻差(Frequency Difference of Arrival,FDOA)[5-8]。基于干擾信號(hào)到達(dá)時(shí)差的定位技術(shù)，以美國(guó)海軍海洋監(jiān)視系統(tǒng)“NOSS”系列衛(wèi)星為典型代表[9]。TDOA定位技術(shù)已經(jīng)相對(duì)成熟，主要的算法有平面相交[10]、球面相交[11]、球面內(nèi)插[12]、泰勒級(jí)數(shù)[13]、最小二乘[14]、粒子濾波[15]和二次優(yōu)化[16]。而基于信號(hào)到達(dá)頻差的定位方程較為復(fù)雜，解算較為困難。但隨著定位參數(shù)測(cè)量技術(shù)的發(fā)展，F(xiàn)DOA定位技術(shù)成為目前衛(wèi)星無(wú)源定位技術(shù)研究的熱點(diǎn)之一。目前有文獻(xiàn)[17]對(duì)僅利用FDOA的輻射定位技術(shù)進(jìn)行研究，但其解算方式采用的是牛頓迭代方式，定位過(guò)程中綜合利用了多個(gè)輻射源。

由于FDOA定位方程組一般具有非線性的特點(diǎn)，泰勒級(jí)數(shù)展開算法是求解非線性方程的有效方法，具有精度高、頑健性強(qiáng)等特性。而傳統(tǒng)的泰勒級(jí)數(shù)展開算法[10]針對(duì)的是無(wú)地球面約束的定位方程組，需要3個(gè)以上獨(dú)立的FDOA測(cè)量值，但被定位目標(biāo)往往位于地球表面，引入地球面的約束條件與FDOA測(cè)量值構(gòu)成定位方程組，可以有效增加定位精度，減少有效定位最小觀測(cè)衛(wèi)星數(shù)量。本文針對(duì)含有地球面約束條件的FDOA定位方程組，研究該方程組泰勒級(jí)數(shù)展開算法的求解方法，推導(dǎo)了詳細(xì)的求解過(guò)程，并對(duì)算法的性能進(jìn)行了分析和仿真評(píng)估。

1 FDOA定位方程

(1)

式中，fc為輻射源信號(hào)載波頻率，c為信號(hào)傳播速度，假設(shè)地球半徑為R，將地球面的約束條件引入FDOA定位方程組，則定位方程如式(2)：

(2)

式中，ΔF1i為FDOA參數(shù)，ΔF1i=Δfi-Δf1。

2 算法描述

根據(jù)式(2)，對(duì)于一組FDOA參數(shù)估計(jì)結(jié)果，存在式(3)中所示的關(guān)系式：

(3)

其中，

即衛(wèi)星si與地面輻射源u之間的距離。泰勒級(jí)數(shù)展開算法需要一個(gè)初始估計(jì)位置，由于各觀測(cè)衛(wèi)星能同時(shí)接收到輻射源信號(hào)，則輻射源必然位于各觀測(cè)衛(wèi)星的共視區(qū)，取衛(wèi)星共視區(qū)內(nèi)的某一地面接收站的位置ur=[xryrzr]T作為初始估計(jì)位置(x(1),y(1),z(1))，將增大算法收斂的概率，將式(3)在初始位置(x(1),y(1),z(1))進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開，忽略二階以上的分量，得到式(4)為：

ψ1=h1-G1δ1，

(4)

其中,

(5)

(6)

其中，對(duì)應(yīng)量為：

(7)

式中，

式(4)的加權(quán)最小二乘解如式(8)所示，

(8)

式中，Qf為FDOA測(cè)量值的協(xié)方差矩陣。由于所有的FDOA測(cè)量值有一個(gè)公共的主星多普勒頻移做參考，因此各個(gè)ΔF1i之間具有一定的相關(guān)性，因此FDOA的協(xié)方差矩陣Qf如式(9)所示：

(9)

式中，σ2為FDOA的測(cè)量誤差方差。

uTu=R2。

(10)

ψ2=h2-G2δ2，

(11)

其中

(12)

(13)

(14)

(15)

3 算法性能仿真分析

3.1 均方根定位誤差與克拉美羅下限

為了更好地評(píng)價(jià)算法性能，引入2個(gè)概念，分別為均方根定位誤差(Root Mean Square Error，RMSE)與FDOA定位算法的克拉美羅下限(Cramer-Rao Lower Bound，CRLB)，表達(dá)式如式(16)和式(17)所示：

(16)

式中，(x0,y0,z0)為輻射源的真實(shí)位置，(x,y,z)則為輻射源估計(jì)位置。

(17)

(18)

式中，JFDOA為FDOA定位算法的Fisher信息矩陣，如式(19)所示：

(19)

(20)

式中，F(xiàn)為與約束有關(guān)的未知參數(shù)的梯度矩陣，當(dāng)F為零向量時(shí)，式(20)退化為式(18)，對(duì)于有地球約束的FDOA定位，F(xiàn)=[2x0,2y0,2z0]T，CRLB是任何無(wú)偏參數(shù)估計(jì)均方根誤差的下限。

3.2 仿真分析

為便于仿真，選取4顆高軌觀測(cè)衛(wèi)星的星歷，如表1所示，輻射源位于廣州(東經(jīng)113.3°、北緯23.1°、高程0 km)，地面接收站位于北京(東經(jīng)116.4°、北緯39.9°、高程0 km)，設(shè)FDOA測(cè)量時(shí)刻為1 Jul 2011 12:00:00.000，則經(jīng)過(guò)計(jì)算可得，衛(wèi)星、輻射源及地面接收站該時(shí)刻在ECEF坐標(biāo)系中的位置矢量如表2所示，衛(wèi)星的速度矢量如表3所示。

表1 4顆觀測(cè)衛(wèi)星的星歷

衛(wèi)星半長(zhǎng)軸/km偏心率軌道傾角/(°)近地點(diǎn)幅角/(°)升交點(diǎn)赤經(jīng)/(°)平近點(diǎn)角/(°)Sat_142165.03.021×10-44.8508349.663060.3944185.147Sat_243387.410.439×10-44.0394281.546065.3245207.999Sat_342166.42.134×10-42.93697.298145.9889160.899Sat_442166.42.134×10-450.93690.2981140.989060.899

表2 FDOA測(cè)量時(shí)刻衛(wèi)星、輻射源及地面接收站在ECEF坐標(biāo)系下的位置矢量

實(shí)體X坐標(biāo)/kmY坐標(biāo)/kmZ坐標(biāo)/km衛(wèi)星Sat_1-30427.52329329206.706987295.468928衛(wèi)星Sat_2-4409.34822543141.0431962312.750032衛(wèi)星Sat_3-17931.09925938171.098956401.791048衛(wèi)星Sat_4-459.92456630921.94046128657.538871地面輻射源-2321.7621435391.0713802486.909653地面接收站-2178.6400274388.8418764069.473675

表3 FDOA測(cè)量時(shí)刻衛(wèi)星在ECEF坐標(biāo)系下的速度矢量

衛(wèi)星X′坐標(biāo)/km·s-1Y′坐標(biāo)/km·s-1Z′坐標(biāo)/km·s-1Sat_10.0074470.010227-0.255939Sat_20.1357870.019613-0.134817Sat_30.0039150.003678-0.152160Sat_4-0.373110-1.0720971.151666

表4 σ不同取值情況下各算法的RMSE km

由表4可見，泰勒級(jí)數(shù)展開算法及基于網(wǎng)格搜索的最大似然算法在所給的FDOA測(cè)量誤差情況下都能較好地接近克拉美羅下限，但本文研究的泰勒級(jí)數(shù)算法性能要略好于網(wǎng)格搜索算法。

表5σ=10-2Hz時(shí)2種算法的迭代性能比較

算法迭代次數(shù)迭代時(shí)間/ms泰勒級(jí)數(shù)算法1415.625網(wǎng)格搜索算法44640.625

由表5可見，泰勒級(jí)數(shù)算法無(wú)論在迭代次數(shù)與迭代時(shí)間上都優(yōu)于網(wǎng)格搜索算法。

圖1給出了泰勒級(jí)數(shù)展開算法、基于網(wǎng)格搜索的最大似然算法與CRLB曲線的比較，其中RMSE單位為km，σ單位為Hz。由圖1可知，泰勒級(jí)數(shù)展開算法與基于網(wǎng)格搜索的最大似然算法的定位性能非常接近，二者在FDOA測(cè)量誤差較低時(shí)對(duì)CRLB的接近性能較差。

圖1 各FDOA定位算法性能對(duì)比圖

當(dāng)觀測(cè)衛(wèi)星為4顆時(shí)，即Sat_1,Sat_2,Sat_3,Sat_4，對(duì)比有、無(wú)地球約束時(shí)，泰勒級(jí)數(shù)展開算法的性能。表6給出了2種情況下不同σ時(shí)的RMSE，其中，RMSE均為5 000次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。圖2給出了2種情況下泰勒級(jí)數(shù)算法與CRLB曲線的比較，其中RMSE單位為km，σ單位為Hz。

表6 σ不同取值情況下各算法的RMSE km

圖2 有、無(wú)地球面約束條件下泰勒級(jí)數(shù)展開定位算法性能對(duì)比圖

由表6及圖2可見，當(dāng)觀測(cè)衛(wèi)星數(shù)目不變時(shí)，加入地球面約束的泰勒級(jí)數(shù)展開定位算法能夠明顯地提高普通泰勒算法的定位精度，并且能有效逼近克拉美羅界。仿真結(jié)果中FDOA測(cè)量誤差的標(biāo)準(zhǔn)差σ較低時(shí)2種算法的RMSE與CRLB之間的偏離較大，本文總結(jié)其主要原因?yàn)榉抡嬷幸恍┕潭▍?shù)的選取誤差，如地球半徑、地球橢圓偏心率及坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換中的春分點(diǎn)角等參數(shù)的選取誤差。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出一種基于地球面約束的泰勒級(jí)數(shù)FDOA定位算法，經(jīng)過(guò)理論和仿真分析，獲得了如下結(jié)論：加入地球面的約束條件可以有效減少定位衛(wèi)星的需求數(shù)目，提高FDOA定位的定位精度，該算法能夠有效逼近CRLB，是最優(yōu)的定位估計(jì)器。根據(jù)多次仿真結(jié)果可知，該算法收斂速度快且定位性能略優(yōu)于網(wǎng)格搜索算法，可以用于實(shí)際工程，為研究FDOA定位的相關(guān)人員提供一定的參考。