小心分式方程中的“坑”

嚴(yán) 莉

一、解分式方程過程中的易錯(cuò)問題

解分式方程的基本思想為把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，即分式方程解分式方程的步驟：（1）去分母，轉(zhuǎn)化為整式方程；（2）解整式方程，得根；（3）檢驗(yàn)，看分式是否有意義；（4）確定方程的根。在方程變形時(shí)，有時(shí)可能產(chǎn)生不適合原方程的根，這種根叫作方程的增根。解分式方程時(shí)，有可能產(chǎn)生增根（使方程中有的分母為零的根），因此解分式方程要驗(yàn)根（其方法是代入最簡(jiǎn)公分母中，使分母為零的是增根）。

1.忽視不含分母的項(xiàng)。

【錯(cuò)解】方程兩邊同乘x-5，得x+4=9。解得x=5。

檢驗(yàn)：當(dāng)x=5時(shí)，x-5=0，所以原方程無解。

【錯(cuò)因剖析】錯(cuò)誤的原因是去分母時(shí)，漏乘了不含分母的常數(shù)項(xiàng)。

【正解】方程兩邊同乘x-5，得

x+4=9（x-5）。

2.忽視對(duì)根的檢驗(yàn)。

去分母得y-3+1=3（y-2），

解得y=2。

【錯(cuò)因剖析】分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，由于去分母過程中使未知數(shù)的取值范圍發(fā)生了變化，有可能產(chǎn)生增根，因此在解分式方程時(shí)一定要驗(yàn)根。本題的錯(cuò)解正是因?yàn)楹雎粤诉@一點(diǎn)。

【正解】原方程可變形為：

去分母，得y-3+1=3（y-2），解得y=2。

檢驗(yàn)：當(dāng)y=2時(shí)，y-2=0，

所以y=2是原方程的增根，即原方程無解。

3.解分式方程中造成失根。

【錯(cuò)解】方程兩邊同除以x-2，

去分母，得x-3=x+3，

所以原方程無解。

【錯(cuò)因剖析】方程兩邊同除以x-2，相當(dāng)于默認(rèn)了x-2的值不等于零，而實(shí)際上x=2是原方程的解，上述變形造成了失根。

【正解】方程兩邊同乘（x+3）（x-3），得

（x-2）（x-3）=（x-2）（x+3），

去括號(hào)，得x2-5x+6=x2+x-6。

解得x=2，

所以原方程的解是x=2。

經(jīng)檢驗(yàn)，x=2是原方程的解。

二、與增根有關(guān)的易錯(cuò)問題

1.分式方程的增根必須同時(shí)滿足兩個(gè)條件：（1）是由分式方程化成的整式方程的根；（2）使最簡(jiǎn)公分母為零。

2.增根在含未知數(shù)的分式方程中的應(yīng)用：由增根求未知數(shù)的值。

解答思路為：（1）將原方程化為整式方程；（2）確定增根；（3）將增根代入變形后的整式方程，求出未知數(shù)的值。

【錯(cuò)解】去分母，得5x=a-3，

∴a＜3，

即當(dāng)a＜3時(shí)，原方程的解為負(fù)數(shù)。

【錯(cuò)因剖析】若x的取值使得原分式方程中的分母為零，即為增根，因此還必須考慮分式方程中的分式有意義，所以還要x≠2且x≠-3，

【正解】當(dāng)a＜3且a≠-12時(shí)，原方程的解為負(fù)數(shù)。

三、鞏固練習(xí)

答案：x=3。

A.a≥1 B.a＞1

C.a≥1且a≠4 D.a＞1且a≠4

答案：C。

通過上面幾例分析，我們發(fā)現(xiàn)，解分式方程過程中出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因很大程度上取決于對(duì)核心知識(shí)的理解和掌握。因此同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)要重視對(duì)課本上核心知識(shí)的學(xué)習(xí)，解題時(shí)要認(rèn)真審題，理清思路再動(dòng)手解題，從而避開分式方程中的“題坑”，大大提高準(zhǔn)確率。