基于MM估計的轉子不平衡量的識別研究

柳林沖 張海鵬

摘? 要：旋轉機械轉動質量的不平衡分布是造成其運行振動過大影響安全運行、加工設備制造精度不穩定等問題的重要因素，如何準確識別轉子不平衡量的大小及相位是動平衡問題研究的重點。利用傳統的最小二乘法計算的轉子不平衡量受異常值影響較大。加權最小二乘法需要對振動數據的處理較為繁瑣并且權重大小難以確定。現提出基于MM估計的轉子不平衡量的識別方法，MM估計是同時基于M估計和S估計并吸收兩者的優點以獲得高的崩潰點和高的漸近效率的穩健回歸方法，具有高效且穩健的優點。通過實驗證明，該方法可以較準確的得到轉子的不平衡量，從而提高動平衡校準精度。

關鍵詞：轉子動平衡;最小二乘法;MM估計;穩健回歸方法

中圖分類號：TH17? ? ? ? ?文獻標志碼：A? ? ? ? ? ?文章編號：2095-2945（2019）11-0015-04

Abstract： The unbalanced distribution of rotating mass of rotating machinery is an important factor that causes the excessive vibration of rotating machinery to affect the safe operation and the unstable manufacturing accuracy of processing equipment. How to accurately identify the size and phase of rotor unbalance is the focus of dynamic balancing research. The rotor unbalance calculated by the traditional least square method is greatly affected by the abnormal value. The weighted least square method needs to deal with the vibration data more tedious and the weight is difficult to determine. In this paper， a rotor unbalance identification method based on MM estimation is proposed. MM estimation is a robust regression method based on both M estimation and S estimation and absorbing the advantages of both to obtain high collapse point and high asymptotic efficiency. It has the advantages of high efficiency and robustness. The experimental results show that this method can accurately obtain the unbalance of the rotor， thus improving the accuracy of dynamic balance calibration.

Keywords： rotor dynamic balance; least square method; MM estimation; robust regression method

引言

機械結構產生振動的原因各種各樣，但對于旋轉機械來說轉動質量分布不平衡是造成轉子不平衡振動的主要原因之一，過大的不平衡量引起結構振動值增大影響設備使用壽命、無法達到要求的加工精度甚至會直接損壞機器造成重大事故等嚴重后果，所以研究轉子不平衡量的準確識別并尋求控制和消除振動的方法，以減少振動的不良后果和危害具有很大的意義。在多年的研究過程中，國內外學者總結出了以響應系數法和模態平衡法為主的眾多平衡識別技術方法，傳統的影響系數法可以簡單方便識別，但存在病態方程。最小二乘法和影響系數法的結合能夠解決病態方程，但不具有穩健性;之前對于現代穩健回歸方法各種估計量研究得出許多結論，例如LAV和M估計量的崩潰點相對較低但受數據具體形式的影響大，有時甚至比OLS估計量還差。本文通過研究MM估計對轉子的不平衡量進行識別，具有較好的穩健性和高效特性，通過搭建實驗平臺設計特定實驗證明，MM估計能夠有效的識別轉子的不平衡量。

1 理論依據及回歸模型的建立

基于模型的轉子不平衡量識別以實際轉子系統為標準，建立有限元模型，然后根據初始狀態下轉子的振動信號和設定不平衡量后的振動信號得出振動信號差值[3]。已知轉子不平衡量時可以求得不平衡響應，因此不平衡量識別實際是其逆運算。通常利用最小二乘法或加權最小二乘法求解，但其受噪聲和測量誤差影響較大。影響系數法也是轉子動平衡理論運用中最常用的方法之一。

1.1 影響系數法

假設轉子軸承系統是線性彈性系統，在平衡時已選定q個校準平面，n個測振點和m個平衡轉速。如果各個校正平面上都沒有加試重，在平衡轉速wk時測出第i個測振點的初始振動適量，在第j個校正平面上半徑為rj，角度為φj的地方加一個試重mj。但影響系數法存在病態方程，所以現經常采用影響系數法和最小二乘法相結合[4]。影響系數矩陣可采用有限元模型或歷史平衡記錄獲得。

其中，[L]為各測點的殘余振動;[L0]為轉子在不平衡量下引起的各測點的初始振動;[A]為影響系數;[W]為校正質量。

1.2 最小二乘法

假設我們有n對觀察值，圖1給出了一個典型數據散點圖和回歸直線的估計，為了達到最好的擬合效果，德國科學家Karl Gauss提出了使垂直方向差異平方和最小的方法，即最小二乘法。

2 MM估計理論及方法

MM估計量最早由約哈依（Yohai，1987）提出，現在已經變得越來越流行，是目前使用最多的穩健回歸技術。MM估計是在M估計基礎上的穩健估計。這種估計使用了一個以上的M估計程序來計算最終的估計，用迭代再加權最小二乘法來求解最終估計，具有高崩潰點和良好的效率[5]。

通常取a=1.5，b=3，c=8，Hampel函數更為復雜一些，但當|u|>c時權因子取到了0，因此它具有更好的穩健性。

MM估計使用一種以上的M估計來計算估計值，保留了M估計的優點，成為目前應用最多的估計方法，MM估計采用的目標函數為Tukey雙核函數（k=4.685）。MM估計的步驟如下：

（1）利用高失效點估計得到不平衡量的一個初始估計■0和對應殘差r0;

（2）利用M估計得到殘差r0尺度的穩健估計s0;

（3）利用殘差r0及其尺度估計sn進行加權最小二乘的第1次迭代，得到轉子不平衡量的M估計■1及殘差r1，更新殘差;

（4）重復2、3步，直到滿足條件。

3 平衡試驗及數據分析

通過搭建轉子試驗平臺進行動平衡進行基于穩健回歸分析的不平衡量估計方法的驗證。考慮到轉子支撐各項異性因素的干擾，分別在測振點設置相互垂直的傳感器，轉子實驗臺如圖2所示。

完成轉子實驗平臺搭建后，首先檢查試驗系統各項指標合格后測試轉子平衡狀態下的波特圖以確保轉子無故障，如圖3所示。

轉子影響系數矩陣通過多次實驗得到。在確定轉子無故障前提下，在平衡面A處0°位置添加已知不平衡量0.8g，測量轉子在此不平衡下兩個測點的振動信息如圖4所示。

通過以上結果可知，利用MM估計可以更好地識別轉子的不平衡量，相對誤差大大減少。根據MM估計得到的權重在轉子一階臨界轉速下減小，與轉子一階臨界轉速下轉子振動數據存在異常值一致。

4 結論

在綜合考慮計算效率和穩健性等因素，采用MM估計。通過MM估計得到的不平衡質量與傳統的最小二乘法影響系數法相比較，具有更高的精確度，相對誤差大大降低。應用MM估計識別轉子不平衡量，降低了轉子一階臨界轉速附近的權重，與轉子一階臨界轉子下振動數據存在異常一致。在綜合考慮計算效率和穩健性程度的情況下，基于MM估計的方法能夠取得較為理想的不平衡量識別的效果。

參考文獻：

[1]繆海林.基于模型的轉子系統不平衡量識別的魯棒方法研究[D].南京航空航天大學，2012.

[2]王海娜.線性回歸模型的若干穩健估計方法及應用實例[D].山東大學，2013.

[3]臧延朋，溫廣瑞，廖與禾.基于穩健回歸分析的轉子系統不平衡量識別[J].振動、測試與診斷，2016.

[4]魏巍，張海鵬，談演.基于M估計的轉子不平衡量的識別[J].科技創新與應用，2018.

[5]羅伯特·安德森.現代穩健回歸方[M].李丁，譯.上海：上海人民出版社，2012：87-88.

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[7]楊慶華.用最小二乘法影響系數法對高速柔性轉子的動平衡研究[J].機電工程，1998.

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