分形維數

李雪 鄧捷 吳春菊 李學彬

摘? 要：基于盒維數法，分析了分形維數量測的各種方法，從二維的盒維數法到三維的立方體覆蓋法（CCM）、改進立方體覆蓋法（ICCM）、差分立方體覆蓋法（DCCM）以及相對差分立方體覆蓋法（RDCCM），并解釋了各種方法對二維曲線以及三維粗糙面的覆蓋原理。其次案例分析了四種三維分形量測方法的異同以及選用原則。最后總結展望了實際工程中分形維數對機械加工、三維重建的指導以及微觀分析的輔助作用。

關鍵詞：分形維數;立方體覆蓋法;粗糙度

中圖分類號：O24 文獻標志碼：A? ? ? ? ?文章編號：2095-2945（2019）11-0115-03

Abstract： This paper analyses various methods of measuring fractal dimension quantitativealy， from two-dimensional box dimension method to three-dimensional CCM cube coverage method， ICCM improved cube coverage method， DCCM differential cube coverage method and RDCCM relative differential cube coverage method， and explains the coverage principle of various methods for rough surface. Secondly， the similarities and differences of the four three-dimensional fractal measurement methods and the selection principles are analyzed. Finally， the guidance of fractal dimension to machining， three-dimensional reconstruction and micro-analysis in practical engineering are summarized and prospected.

Keywords： fractal dimension; vox-counting method; roughness

1 概述

材料的破壞與變形一直都是固體力學工作者所關心的重要問題，多年來對它們進行了廣泛的研究。近幾年來，隨著非線性科學的發展，一些新理論和新概念已廣泛的應用于材料的破壞和變形的研究中。例如分形、混沌、符號動力學、小波分析等等，特別是分形幾何的引入，使斷裂力學的研究展現出新的前景。

大量觀察表明：相當多的材料展現出非常相似的開裂圖形，在微觀薄膜沉積，油漆薄膜到幾千米尺度的基石等差別懸殊的材料系統中，在一定尺度范圍內形成一些非常相似的裂紋斑圖。這種相似性可能提示我們在材料斷裂和變形過程中存在某種普適性的系統。人們通過對材料斷口形貌、裂紋擴展路徑、位錯分布形態的仔細觀察、測量和分析發現：分形作為一種新的手段可以定量地表征斷口形貌、裂紋擴展路徑和材料的破碎與能量耗散。分形維數能定量刻畫斷口剖面的彎曲程度以及斷裂表面的粗糙度。

2 二維分形量測法

分形維數的計算方法比較多，雖然準確度各不相同，但結果都大同小異。對于二維曲線來說，用不同的碼尺去量測海岸線是分形量測中最早使用的方法，但盒維數法比碼尺法使用更廣。該法是將圖像看作三維的曲面或者二維曲線，然后一定碼尺的盒子去覆蓋該面或者該線，最后計算盒子總數，然后根據碼尺和盒子總數的關系得出分形維數。[1]用正方形的格子（δ*δ）去覆蓋需要計算的曲線，格子的大小是變化的。給定盒子的尺碼δ，可以數出覆蓋該二維曲線所需的總盒子數目N。

因此，得出格子尺寸δ和覆蓋所需總盒子數目N的數據，線性擬合，繪出雙對數圖，其斜率即為該幾何的分形維數D。當格子越小的時候，得到的分形維數越能描述該曲線的各個細節，因此D=-limδ→0■

3 三維分形量測法

3.1 立方體覆蓋法（Cubic covering method）

目前在所有用于估算粗糙表面真實分形維數的計算方法中，最具代表性的是立方體覆蓋法[2]。立方體覆蓋法（CCM）使用邊長為δ的立方體去覆蓋整個曲面，每一處都從最低處開始擺放立方體，直到覆蓋住曲面最高點。改變觀測尺度再次覆蓋，再計算覆蓋整個粗糙表面所需的立方體總數，若粗糙表面具有分形性質，按分形理論，立方體總數N（δ）與尺度δ之間應存在N=aδ-D的關系。

3.2 改進立方體覆蓋法（Improved cubic covering method）

在文章[3]中周宏偉，謝和平等教授研究發現，在第i，j個網格內，覆蓋的立方體個數由這個網格4個角點的最高值減去最低值，除以立方體單位邊長再加1取整得到的。這意味著覆蓋總是從網格的最低角點處的高度開始。由于不同的網格最低角點的高度不同，覆蓋起始點就各有不同。這樣覆蓋不利于體現粗糙表面的復雜性和真實性。針對這個問題，幾位研究者又提出了改進的立方體覆蓋法（ICCM）[5]。

3.3 差分立方體覆蓋法（Differential cubic covering method）

由于表面形狀的復雜性，當所取立方體邊長δ大于激光掃描的采樣間隔時，無法保證立方體四個角點的高度最大（最小）值恰好是這個刻度內整個粗糙表面的最大（最小）高度，即出現無法完全覆蓋的情況。因此，嚴格地說，CCM和ICCM都不能完全覆蓋。考慮到這一點，文章[6]的幾位研究學者提出了兩種新的立方體覆蓋方法，即差分立方體覆蓋法（DCCM）和相對差分立方體覆蓋法（RDCCM）。當CCM和ICCM使用大尺寸進行覆蓋時，如果覆蓋立方體的尺寸大于采樣間隔S0，則整個粗糙面覆蓋的格子數取決于某些特定的取樣點[6]。

3.4 相對差分立方體覆蓋法（Relative differential cubic covering method）

在差分立方體覆蓋法（DCCM）的基礎上，相對差分立方體覆蓋法是從粗糙表面特定取樣的最低點開始覆蓋，直到覆蓋完所有特定點的最高點。

4 各量測法對比分析

四種三維量測方法各有優劣，CCM方便計算，ICCM在CCM的基礎上可以進一步體現粗糙表面的復雜性和真實性。DCCM可以覆蓋住CCM、ICCM無法覆蓋的部分，最后RDCCM從最低點量測到最高點，得出其相對的高差所需的覆蓋格子數，算法較RDCCM快一些。因此對于同一個粗糙面各種分形量測方法得到的分形維數相差有多大？分別適用于什么情況？粗糙程度是否是各種方法的選用依據？計算所得分形維數D的大小以及所得數據變化趨勢如何與材料微觀組織建立聯系？

從北京房山縣的一個采石場開采的砂巖取樣，通過激光表面儀測量該砂巖的表面形貌，再使用以上介紹的四種三維分形量測方法進行計算，所得尺寸δ與盒子總數N（δ）關系如表1所示。

分析以上數據發現，同一個尺寸下四種量測方法對比，覆蓋的立方體數N（δ）：DCCM≥ICCM≥RDCCM≥CCM;DCCM數量最多，因為DCCM差分立方體覆蓋法能捕捉不只立方體的四個角點信息，還能捕捉一系列特定點的信息，得到的粗糙面的信息最為完整，能覆蓋幾乎所有的最高點和最低點，因此所需的立方體數最多。其次ICCM改進立方體覆蓋法，從統一最低平面開始覆蓋，所需立方體量也比較大。CCM立方體覆蓋法，當立方體尺寸與采樣間隔相差較大時，可能會出現漏覆蓋一些部分，因此立方體數最小。

通過數據處理發現，四種量測方法所得的盒子總數N（δ）都是隨著盒子尺寸δ的增大而減小。擬合得到CCM立方體覆蓋法的分形維數D為2.1655;ICCM改進立方體覆蓋法的分形維數D為2.1662;DCCM差分立方體覆蓋法的分形維數D為2.1084;RDCCM相對差分立方體覆蓋法的分形維數D為2.1524。DCCM測出的D值最小，即反映曲面粗糙度最大，這也進一步證明了DCCM差分立方體覆蓋法更能捕捉斷面的更多粗糙點，獲取更多信息。

5 結束語

從二維到三維的分形量測方法，各算法在不斷的調整優化，目前得出DCCM差分立方體覆蓋法能捕捉斷面更多的信息，更適合粗糙情況較為復雜的斷面;如果是粗糙斷面較為平整光滑，則采用其他三種方法是可行的，這三種方法里相比較而言算法最為簡單的應該是CCM立方體覆蓋法，直接捕捉立方體四個角點的最大值最小值進行取整相減便可得到所需盒子總數，可節約計算時間。

此外，分形維數得出之后，對機械上進行二維表面輪廓仿真進行數控加工、掃描電鏡下斷口表面三維重建都有較大的指導作用。在分析微觀性能方面，上海交通大學通過分形理論來對土體進行微觀結構的探究，揭示其內在特性，目前已在應力路徑影響、膨脹土分類、孔隙分維變化與土體演化等取得較多成果。謝和平在巖石斷口定量分析上也取得一些成就，于是利用分形維數將其與金屬材料的微觀幾何、疲勞斷裂機理、疲勞斷裂過程以及材料斷裂性質等建立聯系，幫助我們進行斷裂機理分析、材料性能估計，還值得我們繼續研究探索。

參考文獻：

[1]謝和平.分形-巖石力學導論[M].北京：科學出版社，2005：18.

[2]張亞衡，周宏偉，謝和平.粗糙表面分形維數估算的改進立方體覆蓋法[J].巖石力學與工程學報，2005，24（17）：3193.

[3]周宏偉，謝和平，KWASNIEWSKIMA.粗糙表面分維計算的立方體覆蓋法[J].摩擦學學報，2000，20（6）：455-458.

[4]Zhou H W， Xie H. Direct Estimation of the Fractal Dimensions of a Fracture Surface of Rock[J].Surface Review and Letters，2003，10（5）：751-762.

[5]Zhang Y H， Zhou H W， Xie H P. Improved cubic covering method for fractal dimensions of a fracture surface of rock[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering，2005，24（17）：3192-3196.

[6]Ai T， Zhang R， Zhou H， Pei J. Box-counting methods to directly estimate the fractal dimension of a rock surface[J]. Applied Surface Science，2014，3114：610-621.