功能梯度梁振動問題的研究

吳明明

摘? 要：采用微分求積法研究不同高階剪切變形理論下功能梯度梁的自由振動問題。假設功能梯度梁的材料參數按照組分的體積分數梯度變化，根據微分求積法原理，給出了考慮高階剪切變形的功能梯度梁自由振動離散化代數方程。通過對數值計算結果分析與討論，研究了不同邊界條件對功能梯度梁固有頻率的影響規律。

關鍵詞：功能梯度梁;高階梁理論;微分求積法;自由振動

中圖分類號：TU311.1? ? ? ?文獻標志碼：A? ? ? ? ? ? ? 文章編號：2095-2945（2019）16-0076-02

Abstract： This paper studies the free vibration of functionally graded beams based on High-order Shear Deformation Theory （HSDT） of different kinds by using the Differential Quadrature Method （DQM）. It is assumed that the material properties of the functionally graded beam vary according to the gradient distribution of the volume fraction of the components. Based on the basic principle of DQM， the discretization equation for the free vibration of high-order shear deformed beams is presented. Through the analysis and discussion of numerical calculation results， the influence law of different boundary conditions on the natural frequency of functionally graded beams is studied.

Keywords： functionally graded beam; Higher-order Beam Theory; differential quadrature method

引言

梁是一種常見的工程結構，廣泛應用于土木工程、水利工程等領域。

科學家和工程師們提出了許多梁模型來預測梁結構的力學響應。其中，Euler-Bernoulli梁是研究較多也最為成熟的淺梁理論，但其僅適用于細長梁。為了避免采用一階剪切變形理論需引入剪切修正因子問題，人們已經提出了多種高階剪切變形理論。

功能梯度材料（FGM）[1]是新型復合材料，其材料特性從一個表面到另一個表面連續變化，因此消除了層狀復合材料中界面處的應力集中。微分求積法[2，3]（DQM）被認為是一種需要的離散點少而數值精度又較高的數值方法，它的基本思想是把解的函數在給定離散點上的導數值用計算域內全部離散點處函數值的加權和近似地表示。

本文將采用微分求積法求解高階剪切變形功能梯度梁的自由振動問題。重點分析各種不同邊界條件、不同高階梁理論和Winkler地基參數對梁自由振動的影響規律。

1 基本理論

由上表可以看出，本文DQM解與精確的結果非常接近。這說明微分求積法有很高的精度，對于解決本文研究問題是一種有效的數值方法。

4.2 不同邊界條件的自由振動結果分析

為了說明不同邊界條件對FGM梁自由振動的影響， 圖2給出了跨深比L/h=5時，不同邊界條件下FGM梁的一階固有頻率隨功能梯度指數變化曲線。

可以看出，簡支邊界條件時一階固有頻率數值最小，固支邊界對應的數值最大。一端簡支一端固支條件下的數值介于二者之間。

5 結論

本文采用微分求積法，對Winkler彈性地基上的高階剪切變形FGM梁的自由振動問題進行了研究，得出以下結論。

（1）數值結果證實了DQM解決高階剪切變形理論下的梁自由振動問題的有效性，是一種精度較高的數值方法。

（2）通過對不同邊界條件分析，可知簡支邊界條件下固有頻率數值最大，固支邊界對應的數值最小，而一端簡支一端固支條件下的數值介于二者之間。

參考文獻：

[1]Suresh S， Mortensen A. 功能梯度材料基礎[M].北京：國防工業出版社，2000.

[2]王鑫偉.微分求積法在結構力學中的應用[J].力學進展，1995，25（2）： 232-240.

[3]Bert C W， Malik M. Differential quadrature method in computational mechanics a review [J]. Applied Mechanics Reviews， 1996， 49（1）： 1-28.

[4]Thai H T， Vo T P. Bending and free vibration of functionally graded beams using various higher-order shear deformation beam theories [J]. International Journal of Mechanical Sciences， 2012， 62： 57-66.