三次樣條函數及其在薄壁曲梁彎扭分析中的應用

郭新宇 胡啟平

摘? 要：橋梁是組成線路的重要部分，為了可以滿足不同地形和地貌變化的要求，曲線梁橋便應運而生了，曲梁由于受到初始曲率的影響，其分析研究往往會比較復雜。分析的難點在于其縱向位移場函數的不確定性，而樣條理論便是函數逼近的一個重要工具，文章對樣條函數、薄壁曲線梁的彎扭分析分別進行了介紹，并將三次樣條插值函數應用到了曲線梁的彎扭分析上，為曲線梁彎扭分析提供了一個新途徑。

關鍵詞：三次樣條函數;曲線梁;彎扭分析

中圖分類號：U448.21 文獻標志碼：A 文章編號：2095-2945（2019）16-0179-02

Abstract： Bridge is an important part of the line， in order to meet the requirements of different terrain and geomorphological changes， curved beam bridge arises at the historic moment. Due to the influence of initial curvature， the analytical research of curved beam is often more complex. The difficulty of analysis lies in the uncertainty of its longitudinal displacement field function， and spline theory is an important tool of function approximation. In this paper， the bending and torsion analysis of spline function and thin-walled curved beam are introduced respectively. The cubic spline interpolation function is applied to the bending and torsion analysis of curved beams， which provides a new way for the bending and torsion analysis of curved beams.

Keywords： cubic spline function; curved beam; bending and torsion analysis

1 概述

隨著我國公路工程以及橋梁工程的快速發展，出現了大量的曲線梁橋[1]。曲線梁橋造型優美，對周圍環境適應能力強，與建筑或者環境共同組成了一幅美麗的圖畫。但曲線橋梁的受力較直線梁的研究卻更加復雜，特別是其縱向位移場函數的研究一直是眾多學者們所關注的熱點問題。樣條函數經常出現在數學學科的數值分析之中，隨著研究的深入，人們發現樣條插值通常會比多項式插值好用，而將樣條函數應用于薄壁曲線梁的縱向翹曲位移場函數便是一個很好的途徑。

2 三次樣條函數概況

二十世紀六十年代的時候，放樣工人參照曲線的函數表，利用壓鐵將有彈性的細長木條固定于幾個相近的點上，而其他位置使其自由彎曲，然后沿著木條畫下曲線，便形成了一條光滑的曲線，該曲線便稱之為樣條曲線。而三次樣條函數的構造方法便與上述方法類似，三次樣條函數要求指定點上具有連續的一階導數和二階導數。在計算機被廣泛使用之前，數字的演算需要手工完成，雖然分段定義的階梯函數或符號函數等有時也會被用到，但人們還是傾向于多項式函數，因為這類函數更加容易計算。而隨著計算機問世和廣泛使用，樣條函數變得越發重要，分段三次樣條函數作為人們經常使用的一類樣條函數，具有較好的數值穩定性和收斂性，它不會出現高次多項式插值中的振蕩現象。樣條函數[2]在數學上有明確嚴格的定義：

3 薄壁曲線梁彎扭分析概況

薄壁曲線梁在外荷載的作用下主要會發生彎曲和扭轉兩種變形，薄壁梁的彎曲理論建立在平截面假定之上，對于扭轉則分為自由扭轉和約束扭轉兩種，扭轉理論主要建立在一個最基本的假定，即符拉索夫剛周邊假定[3]。這一假定的內容是：在小變形的情況下，可以認為桿件扭轉后的截面在其原來平面上的投影形狀與原來截面的形狀相同。最初彎曲和扭轉是分開考慮的，而隨著研究的不斷深入，人們發現，對于一般的非對稱截面形式，兩個方向的彎曲和扭轉還會產生耦合的效應，也為更為準確的曲線梁彎扭分析帶來了一定的難度。

剪力滯后效應也是曲線梁彎扭分析時學者所關心的一個問題，什么樣的縱向翹曲位移函數才能更好的描述剪力滯后效應一直是眾多學者們研究的熱點，目前比較常用的翹曲位移函數形式包含有二次曲線、三次曲線、四次曲線、懸鏈線函數、余弦三角函數等，但是即便采用了相同類型的函數形式，各個學者的修正方式也不盡相同。

4 結束語

本文對樣條函數以及曲線梁的彎扭分析進行了講述，并指出樣條函數作為插值函數可以用于薄壁曲線梁的位移場表達中，為薄壁曲線梁分析提供了一個新的途徑。

參考文獻：

[1]胡人禮.橋梁力學[M].北京：中國鐵道出版社，1999.

[2]秦榮，李秀梅.結構力學的樣條函數方法及程序[M].北京：科學出版社，2015.

[3]姚玲森.曲線梁[M].北京：人民交通出版社，1989.